经济数学基础（第六版）（上册）课件 第1讲1.1函数

经济数学基础辅导第1讲顾静相1.1

函数教学要求

理解函数、复合函数、初等函数的概念，了解函数性质；

掌握复合函数的复合过程．函数的概念

在日常生活经常遇到各种不同的量．这些量可以分为两类，一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们把它称作常量；另一类量在所考察的过程中是变化的，可以取不同数值，我们把它称作变量．函数的概念

在理解常量与变量时，应注意：(1)常量和变量依赖于所研究的过程．同一个量，在某种情况下可以认为是常量，而在另一种情况下则可能是变量；反过来也是同样的．这说明常量和变量具有相对性．(2)从几何意义上讲，常量对应着实数轴上的定点，变量则对应着实数轴上的动点．(3)一个变量所能取的数值的集合叫做这个变量的变动区域．函数的概念

有一类变量可以取介于两个实数之间的任意实数值，叫做连续变量，连续变量的变动区域常用区间表示．函数的定义

定义1.1

设

x和

y是两个变量，若当变量

x在非空数集

D内任取一数值时，变量

y依照某一规则

f总有一个确定的数值与之对应，则称变量

y为变量

x的函数，记作

y=f(x)．这里，

x称为自变量，

y称为因变量或函数.f是函数符号，它表示

y与

x的对应规则．有时函数符号也可以用其他字母来表示，如

y=g(x)或

y=

(x)等．函数的定义

集合

D称为函数的定义城，相应的

y值的集合则称为函数的值域．

当自变量

x在其定义域内取定某确定值

x0时，因变量

y

按照所给函数关系

y=f(x)求出的对应值

y0叫做当

x=x0时的函数值，记作

或

f(x0)．函数的概念

常用的函数表示法有三种：

解析法(又称公式法)、表格法和图形法．

当函数关系由不同的式子

(公式)分段表达的函数称为分段函数．分段函数是微积分中常见的一种函数．函数的概念例1求下列函数的定义域．(1)；(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．函数的概念例1求下列函数的定义域．(1)；(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．解(1)在分式

中，分母不能为零，所以

，解得

，且

x0，即定义域为

．函数的概念例1求下列函数的定义域．(2)；(3)f(x)=lg(4x-3)；解(2)在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有

，解得

-3

x

3，即定义城为[-3,3]．(3)在对数式中，真数必须大于零，所以有4x–3>0，解得

，即定义域为

．函数的概念例1求下列函数的定义域．(4)f(x)=arcsin(2x-1)；(5)f(x)=lg(4x-3)-arcsin(2x-1)．解(4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1，所以有

-1

2x-11，解得0

x

1，即定义域为[0,1]．(5)该函数为(3)，(4)两例中函数的代数和，此时函数的定义域应为(3),(4)两例中定义域的交集，即

．函数的概念例2设函数求

f(-

)，f(1)，f(3.5)及函数的定义域．函数的概念例2设函数求

f(-

)，f(1)，f(3.5)及函数的定义域．解

因为-

[-4,1)，所以f(-

)=sin(-

)=0；因为1[1,3)，所以f(1)=1；因为3.5[3,+)，所以

f(3.5)=5

3.5-1=16.1;函数的定义域为[-4,+)．函数的有界性

定义1.2设函数

y=f(x)在区间

D上有定义，如果存在一个正数M，对于所有的

x

D，恒有

，那么称函数

f(x)在

D上是有界的．如果不存在这样的正数

M，那么称

f(x)在

D上是无界的.函数的有界性y=f(x)在(a,b)内有界的几何意义是：曲线y=f(x)在(a,b)内被限制在

y=

M和

y=M两条直线之间.函数的有界性y=f(x)在(a,b)内有界的几何意义是：曲线y=f(x)在(a,b)内被限制在

y=

M和

y=M两条直线之间.注意：1．当一个函数

y=f(x)在区间（a,b）内有界时，正数M的取法不是唯一的．函数的有界性y=f(x)在(a,b)内有界的几何意义是：曲线y=f(x)在(a,b)内被限制在

y=

M和

y=M两条直线之间.注意：1．当一个函数

y=f(x)在区间（a,b）内有界时，正数M的取法不是唯一的．2．有界性是依赖于区间的．函数的奇偶性

定义1.3设函数

y=f(x)在集合D上有定义，如果对任意的

x

D，恒有

f(

x)=f(x)，那么称

f(x)为偶函数；函数的奇偶性

定义1.3设函数

y=f(x)在集合D上有定义，如果对任意的

x

D，恒有

f(

x)=f(x)，那么称

f(x)为偶函数；如果对任意的

x

D，恒有f(

x)=

f(x)，那么称

f(x)为奇函数．函数的奇偶性

由定义可知，对任意的x

D，必有-x

D，否则，f(

x)没有意义．因此函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的．函数的奇偶性

偶函数的图象关于

y轴对称；

由定义可知，对任意的x

D，必有-x

D，否则，f(

x)没有意义．因此函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的．函数的奇偶性

奇函数的图象关于原点对称．

由定义可知，对任意的x

D，必有-x

D，否则，f(

x)没有意义．因此函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的．函数的奇偶性例3

判断下列函数的奇偶性：（1）

；

（2）

；（3）.函数的奇偶性例3

判断下列函数的奇偶性：（1）

；

（2）

；（3）.解（1）

因为所以是偶函数.函数的奇偶性

（2）

因为同理所以既非奇函数,也非偶函数．函数的奇偶性

（2）

因为同理所以既非奇函数,也非偶函数．

（3）

因为所以是奇函数．函数的单调性

定义1.4设函数

y=f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于

(a,b)

内的任意两点x1和

x2，

当

x1<x2时，有

f(x1)<f(x2)，那么称函数

f(x)在(a,b)

内是单调增加的；函数的单调性

定义1.4设函数

y=f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于

(a,b)

内的任意两点x1和

x2，

当

x1<x2时，有

f(x1)<f(x2)，那么称函数

f(x)在(a,b)

内是单调增加的；如果对于

(a,b)

内的任意两点x1和

x2，当

x1<x2时，有

f(x1)>f(x2)，那么称函数

f(x)在(a,b)内是单调减少的．函数的单调性

单调增加或单调减少的函数，统称为单调函数，使函数保持单调的区间叫做单调区间．函数的单调性

例4验证函数

y=3x

2在区间（

,+

）内是单调增加的．函数的单调性

例4验证函数

y=3x

2在区间（

,+

）内是单调增加的．

证

在区间（

,+

）内任取两点

x1,

x2，当

x1<x2时，由f(x1)

f(x2)=(3x1

2)

(3x2

2)=3(x1

x2)<0即

f(x1)<f(x2)，所以

y=3x

2在区间（

,+

）内是单调增加的．函数的周期性

定义1.5对于函数

y=f(x)，如果存在非零常数

a，使得对于任意

x

D，有x+a

D，且f(x+a)=f(x)恒成立，那么称此函数为周期函数．满足这个等式的最小正数

a称为函数的基本周期，简称为周期．函数的周期性如

y=sinx，y=cosx是以

2

为周期的周期函数函数的周期性如

y=sinx，y=cosx是以

2

为周期的周期函数

y=tanx，y=cotx是以

为周期的周期函数反函数

定义1.6设函数

y=f(x)值域为R，如果对于R中的每一个

y值，都有一个确定的且满足

y=f(x)的

x值与之对应，那么得到一个定义在

R

上的以

y为自变量，x为因变量的新函数，我们称它为

y=f(x)的反函数，记作

x=f-1(y)．并称=f(x)为直接函数．反函数

定义1.6设函数

y=f(x)值域为R，如果对于R中的每一个

y值，都有一个确定的且满足

y=f(x)的

x值与之对应，那么得到一个定义在

R

上的以

y为自变量，x为因变量的新函数，我们称它为

y=f(x)的反函数，记作

x=f-1(y)．并称=f(x)为直接函数．当然也可以说y=f(x)是

x=f-1(y)的反函数，就是说，它们互为反函数．反函数

例5求

y=4x

1的反函数．

解

由

y=4x

1得到

，然后交换

x

和

y，得

．即

是

y=4x

1的反函数．复合函数

定义1.7设

y

是

u的函数

y=f(u)，u

是

x的函数

u=

(x)．如果

u=

(x)的值域或其部分包含在

y=f(u)的定义域中，那么

y通过中间变量

u成为x的函数，称为

x的复合函数，记作

y=f[

(x)]．其中，x

是自变量，u

称作中间变量．复合函数

例如，函数

u=x2的值域是

[0,+)，而函数

y=sinu的定义域是

(

,+)，故

y通过中间变量

u能构成

x的复合函数

y=sinu=sinx2．复合函数注意：1．不是任何两个函数都可以构成一个复合函数的．

如

，不能复合

例如，函数

u=x2的值域是

[0,+)，而函数

y=sinu的定义域是

(

,+)，故

y通过中间变量

u能构成

x的复合函数

y=sinu=sinx2．复合函数注意：1．不是任何两个函数