4.2.1等差数列的概念（第1课时等差数列的概念及通项公式）课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列

等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式人教A版

数学选择性必修第二册1.理解等差数列的概念,理解等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法.课程标准基础落实·必备知识一遍过关知识点1等差数列一般地,如果一个数列从

起,每一项与它的前一项的差都等于

,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的

,公差通常用字母

表示.

第2项同一个常数公差d名师点睛等差数列概念的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.(4)公差可以是正数、负数、零.思考辨析已知a1,a2,a3,…,an是公差为d的等差数列,an,an-1,…,a2,a1也是等差数列吗?如果是,试求出公差.提示

数列an,an-1,…,a2,a1是公差为-d的等差数列.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)常数列是等差数列.(

)(2)等差数列的公差不能为负数.(

)(3)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(

)(4)若数列{an}满足an+1-an=1(n>1,n∈N*),则数列{an}是等差数列.(

)√×××2.[苏教版教材习题]已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数:(1)(

),5,10;(3)31,(

),(

),10.024173.[北师大版教材习题]全国统一鞋号中,成年男鞋共有14种尺码,其中最小的尺码是235mm,相邻的两个尺码都相差5mm.把全部尺码从小到大列出.解全部尺码从小到大为235,240,245,250,255,260,265,270,275,280,285,290,295,300.4.判断下列数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.(1)1,3,5,7,9,…;(2)9,6,3,0,-3,…;(3)1,3,4,5,6,…;(4)7,7,7,7,7,…;解(1)是,a1=1,d=2;(2)是,a1=9,d=-3;(3)不是;(4)是,a1=7,d=0;(5)不是.知识点2等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,

叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,

.

任意两个数均有等差中项且唯一

A

2A=a+b思考辨析1.a与b的等差中项即为a和b的平均数,这种说法正确吗?2.在数列{an}中,当n≥2时,an是an-1和an+1的等差中项,那么数列{an}是等差数列吗?为什么?提示

正确.提示是.当n≥2时,因为an是an-1和an+1的等差中项,所以an-an-1=an+1-an,由等差数列的定义知数列{an}是等差数列.自主诊断[北师大版教材习题]求下列各题中两个数的等差中项.(1)100与180;(2)-2与6.知识点3等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为

.

名师点睛1.等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.2.等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.an=a1+(n-1)d思考辨析观察等差数列的通项公式,从函数的角度来看,an是n的哪一类函数?提示

当d=0时,an是n的常函数;当d≠0时,an是n的一次函数.自主诊断1.若数列{an}满足a1=2,an+1-an=1,则数列{an}的通项公式为an=(

)A.n2+1

B.-n+3D解析

因为an+1-an=1,所以{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,所以an=2+(n-1)·1=n+1.故选D.2.[苏教版教材例题]在等差数列{an}中,(1)已知a1=3,公差d=-2,求a6;(2)已知a3=10,a9=28,求an.解

(1)由等差数列的通项公式,得a6=3+(6-1)×(-2)=-7.(2)设等差数列的公差为d,那么

重难探究·能力素养速提升重难探究·能力素养速提升探究点一等差数列的通项公式及其应用【例1】

(1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2022,则n=(

)A.504 B.505

C.506

D.507C解析

根据题意,数列{an}是首项a1=2,公差d=4的等差数列,则an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2

022,则有4n-2=2

022,解得n=506.(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是(

)A.第13项

B.第14项C.第15项

D.第16项C解析

设数列为{an},则由已知得首项a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.令an=43-3n<0,解得n>.因为n∈N*,所以n≥15,即第一个负数项是第15项.(3)[人教B版教材例题]已知等差数列10,7,4,….①求这个数列的第10项;②-56是不是这个数列中的项?-40呢?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.解①记数列为{an},则由题意知a1=10,公差d=7-10=-3,因此数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-3)=-3n+13.当n=10时,有a10=-3×10+13=-17,因此第10项为-17.②设-56是数列中的第n项,则-3n+13=-56,解得n=23,所以-56是数列的第23项.设-40是数列中的第k项,则-3k+13=-40,解得k=∉N*,由此可知-40不是此数列中的项.规律方法

等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称为“知三求一”.(3)等差数列{an}的通项公式可变形为an=dn+(a1-d),当d≠0时,可把an看作自变量为n的一次函数.变式训练1在等差数列{an}中,求解下列各题:(2)已知a3=0,a7-2a4=-1,则公差d=

;

1010(3)已知a1=3,an=21,d=2,则n=

.解析

由a1=3,an=21,d=2,则an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=21,解得n=10.探究点二等差中项及其应用【例2】

(1)若一个三角形的三个内角的度数成等差数列,且最小内角为30°,则最大内角的度数是(

)A.120° B.90° C.80°

D.60°B(3)[人教B版教材例题]如图所示,已知某梯子共有5级,从上往下数,第1级的宽为35cm,第5级的宽为43cm,且各级的宽度从小到大构成等差数列{an},求其余3级的宽度.解

由题知a1,a3,a5成等差数列,所以2a3=a1+a5=35+43=78,即a3=39.类似地,有2a2=a1+a3=35+39=74,2a4=a3+a5=39+43=82,所以a2=37,a4=41.因此,其余3级的宽度分别为37

cm,39

cm,41

cm.规律方法

等差中项的应用策略(1)求两个数x,y的等差中项A,根据等差中项的定义得A=.(2)证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.变式训练2(1)等差数列1,2a,4a2,…的第5项等于(

)B解析

因为1,2a,4a2,…成等差数列,所以4a=1+4a2,解得a=,所以这个等差数列的每一项均为1.故选B.(2)已知△ABC中三边a,b,c成等差数列,也成等差数列,则△ABC的形状为

.

等边三角形

探究点三等差数列的判断与证明角度1.等差数列的判断【例3-1】

[北师大版教材例题]判断下面数列是否为等差数列.(1)an=2n-1;(2)an=(-1)n.解

(1)由an=2n-1,得an+1=2(n+1)-1,于是an+1-an=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2.由n的任意性知,这个数列是等差数列.(2)a2-a1=1-(-1)=2,a3-a2=-1-1=-2.因为a2-a1≠a3-a2,所以这个数列不是等差数列.规律方法

用定义法判定数列{an}是不是等差数列的基本步骤(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.变式训练3判断下列数列是不是等差数列.(1)在数列{an}中,an=3n+2;(2)在数列{an}中,an=n2+n.解(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,故该数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.★角度2.等差数列的证明

(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.规律方法

证明等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列的概念,等差中项的概念.(2)等差数列通项公式的推导.(3)等差数列通项公式的应用.(4)利用定义判断或证明等差数列.2.方法归纳:定义法、列方程组法、累加法、公式法.3.常见误区:(1)等差数列的下标的取值范围易出错;(2)误认为等差数列通项公式是关于n的一次函数.学以致用·随堂检测促达标12341.(多选题)下列数列中,是等差数列的是(

)A.1,4,7,10 B.lg2,lg4,lg8,lg16C.25,24,23,22

D.10,8,6,4,2ABD解析

选项A,B,D满足等差数列的定义,是等差数列;选项C中,因为24-25≠23-24,不满足等差数列的定义,