云南省福贡县第一中学高一（重点班）下学期第二次月考数学试题

福贡县第一中学20222023学年下学期第二次月考高一数学（重点班）一、单选题（本题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数的实部与虚部之和为（）A. B. C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】根据复数运算法则可求得z，由实部和虚部定义求得结果.【详解】因为，所以复数的实部与虚部分别是，，则复数的实部与虚部之和为．故选：C2.在中，记，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的运算，用表示出即可.【详解】因为在中，若，所以点为中点，所以.故选：D3.如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】借助余弦定理计算可得直观图中的长度，结合斜二测画法可知形状及边长，即可得.【详解】在，，，由余弦定理可得：，即，而，解得，由斜二测画法可知：中，，，，故.故选：C.4.若△ABC为钝角三角形，且，，则边c的长度可以为（）A.2.5 B.3 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由于钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，分类讨论为最长边和为最长边两种情况，即可得出结论.【详解】因为钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，因此有两种情况：若为最长边，由，可得，又，所以，可得C正确；若为最长边，由，可得，又，所以，此时没有选项符合.故选：C5.设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果.【详解】∵在上投影向量为，，，又是两个单位向量，即，.故选：.6.空间中有平面和直线，，若，，则下列说法中一定错误的是（）A.直线平行于平面 B.直线在平面内C.直线与平面交于一点 D.直线和共面【答案】C【解析】【分析】根据线面平行及两直线平行得到与平面平行或直线在平面内，根据，可得直线和共面，从而判断出答案.【详解】因为，所以与平面平行或直线在平面内，AB正确，C错误；因为，所以直线和共面，D正确.故选：C7.如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为，圆柱部分的高为，底面圆的半径为，则该组合体的体积为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圆柱和圆锥的体积公式即可求解.【详解】依题意可知，底面圆的半径为圆柱部分的高为，圆锥部分的高为，所以圆柱部分的体积为，圆锥部分的体积为，所以该组合体的体积为.故选：C.8.在正方体中，点M是棱的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连，，，（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，解三角形可得解.【详解】取的中点，连，，，则，，所以四边形是平行四边形，所以，所以（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，设正方体的棱长为，则，，则.所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为.故选：C二、多选题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9.的内角，，的对边分别为，，，，，，则（）A.B.C.外接圆的面积为D.的面积为【答案】ABD【解析】【分析】设的外接圆的半径为,利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出以及即得解.【详解】解：设的外接圆的半径为,因为，所以，所以，则外接圆的面积为.因为，所以所以,所以ABD正确，C错误.故选：ABD10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为【答案】CD【解析】【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积公式，结合圆柱、圆锥、球的体积公式逐一判断即可.【详解】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则圆柱的侧面积为，A错误；圆锥的母线长，侧面积为，B错误；球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；，，，D正确．故选：CD．11.下列命题中成立的是（）A.b，cB.，bC.，，且，D.，且【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由平行公理可判断；对于B，由可得与的关系可能平行、相交或异面，从而可判断；对于C，由若一条直线上有两点在一个平面内，则整条直线就在平面内可判断；对于D，由若两平面有公共点，则两平面有且仅有一条经过公共点的交线可判断.【详解】对于A，由平行公理可得，，故A正确；对于B，由，可得与的关系有三种，分别为平行、相交或异面，故B错误；对于C，若一条直线上有两点在一个平面内,则整条直线就在平面内，即，且，，故C正确；对于D，若两平面有公共点，则两平面有且仅有一条经过公共点的交线，即且,故D正确.故选：ACD12.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（）A.B.平面C.与平面所成角是D.与所成角等于与所成的角【答案】ABC【解析】【分析】利用线面垂直的性质可判断A选项；利用线面平行的判定定理可判断B选项；利用线面角的定义可判断C选项；利用线线角的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，因为四边形为正方形，则，因为平面，平面，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，A对；对于B选项，因为四边形为正方形，则，又因为平面，平面，所以，平面，B对；对于C选项，因为平面，所以，与平面所成角是，C对；对于D选项，因为，平面，平面，所以，，所以，为锐角，所以，与所成的角为直角，与所成的角为锐角，故与所成的角不等于与所成的角，D错.故选：ABC.三、填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.已知数（为虚数单位），且的共轭复数为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据复数模长的性质求解【详解】由得，所以，即，所以.故答案为：14.已知，则______【答案】1【解析】【分析】根据诱导公式直接求解即可.【详解】.故答案为:1.15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的周长为_____________.【答案】【解析】【分析】用余弦定理求得后可得周长．【详解】已知，，，由余弦定理得，所以，即，则，三角形周长为．故答案为：．16.若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．【答案】##【解析】【分析】利用性质，将已知条件转化为数量积求解即可.【详解】设向量，的夹角为，因为，所以．又，所以，所以．

故答案为：四、解答题（本题共6个小题，共60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，分别是角所对的边，且满足．（1）求角的大小；（2）设向量，向量，且，判断的形状．【答案】（1）；（2）直角三角形.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）由，可得，即有，，即可得结论.【小问1详解】解：因为，所以，因为，所以；【小问2详解】解：因为，，且，所以，所以，所以或（舍），当时，，所以为直角三角形．18.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理计算可得；（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由两角差的正弦公式计算可得.【小问1详解】由余弦定理知，，所以，即，解得或（舍负），所以．【小问2详解】由正弦定理知，，所以，所以．【小问3详解】由余弦定理知，，所以，，所以.19.在中，角所对的边分别，且（1）求角A的值；（2）已知在边上，且，求的面积的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化结合和差角关系可得，即可得，进而可求，（2）根据向量的线性表示以及模长公式可得，结合不等式即可求解最值成立的条件,由面积公式即可求解.【小问1详解】在中因为．由正弦定理得，所以，因为，所以．故又是的内角，所以．从而．而A为的内角，所以；【小问2详解】因为所以,所以，从而，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.20.如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．（1）求三棱锥的体积；（2）若，且为锐角，求证：平面．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，即为体高，利用棱锥体积公式求体积即可；（2）由三角形面积公式可得，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求，易知，再由线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论.【小问1详解】面面，，面面，面，所以面，又的面积为6，所以三棱锥的体积.【小问2详解】由题设，即，又为锐角，所以，由，故，所以，由（1）知面，面，故，，面，故平面.21.如图，已知点是正方形所在平面外一点，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）若中点为，求证：平面平面.（3）若平面，，求直线与面所成的角.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）.【解析】【详解】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，所以，从而得证；（2）依题意可得即可得到平面，再结合（1）的结论，即可得证；（3）依题意可得平面平面，由面面垂直的性质得到平面，则即为直线与面所成的角，再根据边长的关系得解.（1）取的中点，连接，，因为是的中点，所以且，又是的中点，是正方形，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为为的中点，是的中点所以，又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面.（3）因为平面，平面，所以平面平面，又为正方形，所以，因为平面，平面平面，所以平面，所以即为直线与面所成的角，又，所以为等腰直角三角形，所以，即直线与面所成的角为.22.如图，在正四棱锥中，.（1）求侧棱与底面所成角的大小；（2）求二面角的大小的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据线面角的定义可证得为所求