专题拓展三角函数的最值与值域问题（技巧解密8考点过关检测）

专题拓展：三角函数的最值与值域问题1、形如(或)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论2、形如(或型（1）先由定义域求得的范围（2）求得(或)的范围，最后求得最值3、形如型引入辅助角转化为，其中，再利用三角函数的单调性求最值。4、形如或型，可利用换元思想，设或，转化为二次函数求最值，t的范围需要根据定义域来确定．5、形如型利用和的关系，通过换元法转换成二次函数求值域6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式法考点一：求正弦型三角函数的值域例1．（2223高一下·江西·期中）函数最大值为（

）A．2 B．5 C．8 D．7【答案】B【解析】∵，∴，∴，即．∴函数最大值为5．故选：B．【变式11】（2223高一下·四川眉山·月考）已知在区间上的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】因为所以结合三角函数的图像性质，函数在单调递增，所以故选：A.【变式12】（2324高一下·北京·期中）函数的最大值和最小值分别为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，则当，即时，，当，即时，，所以所求最大值、最小值分别为.故选：A【变式13】（2324高三上·陕西咸阳·月考）函数在上的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，则.故选：A.考点二：求余弦型三角函数的值域例2．（2324高一上·四川雅安·月考）函数的最小值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】因为，所以，所以最小值为，故选：B【变式21】（2324高一下·广西·期末）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为函数在上递增，上递减，又，，，所以即.故选：A．【变式22】（2324高一下·江西吉安·月考）函数，的值域为．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以．所以函数的值域为．故答案为：【变式23】函数y=2cos(2x+)，x[，]的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，因为x[，]，所以，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即函数的值域是．故选：A．考点三：求正切型三角函数的值域例3．（2223高一·全国·课堂例题）函数，的值域为．【答案】【解析】∵函数在区间上单调递增，∴函数在区间上的值域为．故答案为：.【变式31】函数的值域为．【答案】【解析】当时，，，即的值域为.故答案为：.【变式32】（2324高一下·安徽亳州·月考）函数，的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，因为，所以．因为正切函数在上单调递增，且，，所以．故选：A．【变式33】（2324高一下·江西·月考）函数，的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C.考点四：利用辅助角公式求值域例4．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由，则，所以，.故选：D.【变式41】（2324高三下·陕西咸阳·二模）已知函数，若时，函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,因为，所以，则，所以函数的值域为.故选：A.【变式42】（2324高一下·江苏连云港·月考）函数的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】所以函数的最大值为.故选：C.【变式43】（2324高一下·江苏宿迁·月考）已知函数，，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知：，当时，则，所以故选：B.考点五：与二次函数复合的三角函数值域例5．（2223高一上·吉林长春·期末）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数，∵，∴当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为2，故函数的值域为，故选：A．【变式51】（2324高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，由，故，即.故选：B.【变式52】（2324高一下·江苏宿迁·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数，因为，当时，可得；当时，可得，所以函数的值域为.故选：D.【变式53】（2324高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为.【答案】【解析】令，，，则，因为对称轴为，所以，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当时，，函数的最大值与最小值之和为.故答案为：.考点六：y=sinx·cosx±（sinx±cosx）的值域例6．（2324高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则，则，令，所以，，则，则，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，当时，；当时，，则.因此，当时，则函数的值域为.故选：D.【变式61】（2324高一上·湖南衡阳·期末）函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，由，故，即，由，故的最大值为.故选：B.【变式62】（2223高一上·吉林白城·期末）已知函数，则的最大值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，即，由，则.故选：A.【变式63】（2223高一下·云南曲靖·月考）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】则且，令，则，则，，当时，，当时，，故的值域为.故选：D.考点七：分式型三角函数的值域例7．（2223高一下·安徽芜湖·月考）已知，则函数（

）．A．有最小值4 B．有最大值4 C．无最小值 D．有最大值5【答案】C【解析】因为，令，则，由于在单调递减，在单调递增，故在单调递减，故，故选：C．【变式71】（2223高一下·河南南阳·月考）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解法一：因为，所以∴或，∴或故的值域为解法二：由，得，易知，所以，则，解得或故的值域为．故选：B．【变式72】（2223高三上·河南郑州·月考）函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，可得，，，故.故选：B.【变式73】函数的最大值为．【答案】/【解析】∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：考点八：根据三角函数的值域求参数例8．（2324高一下·河北承德·月考）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的周期为，由，得，即，解得，在长为一个周期的区间上，取，得，当时，，显然函数在上单调递减，在上单调递增，由在上的值域为，则当时，，于是，当时，，于是，所以的取值范围是.故选：B【变式81】（2324高三下·广东佛山·模拟预测）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上，，在上，，由题意，函数在两个区间上最值相同，且最小值为，即两区间左端点函数值均为最小值，所以两区间右端点函数值不能小于，但两区间内最大值相同，如图的部分图象，数形结合得且，即.故选：A【变式82】（2223高一下·江苏苏州·月考）设函数在上单调且值域为,，则函数的值域为（

）A．, B．, C． D．【答案】D【解析】函数在上单调，所以，且，，可得，，所以，故选：D．【变式83】（2223高一下·辽宁大连·月考）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，设，，函数的对称轴为且，，，因为函数在区间的值域为，所以在区间上能取得，但是不能小于0，所以.故选：C一、单选题1．（2223高一下·四川眉山·期中）已知函数，则的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，所以的值域是.故选：C.2．（2223高一上·河南三门峡·期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设,因为，所以，因为正切函数在上为单调递增函数，且,所以．∴函数的值域为，故选：A．3．（2324高三下·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，其中，而，等号成立当且仅当，此时.故选：B.4．（2324高一下·山东德州·月考）函数的最小值为（

）A．1 B．2 C．－2 D．－4【答案】D【解析】由题，因为，所以，所以，所以函数的最小值为.故选：D.5．（2023·四川成都·模拟预测）当时，函数的值域是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知，因为且，要使的值域是，只要，即；解法二：由题，可知，由的图象性质知，要使的值域是，则，解之得．故选：D.6．（2324高三上·河南·月考）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，且，则，令，则，所以，，对称轴为，当时，，当时，，即函数的值域为.故选：B7．（2223高一下·安徽阜阳·月考）已知函数的值域是，则实数的值等于（

）A．2 B．2 C． D．【答案】C【解析】当时，由，得，因为的值域为，所以，解得，当时，显然不符合题意；当，由，得，因为的值域为，所以，解得，故选：C8．（2223高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数在上的最小值为，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】因为，所以．由于函数在上的最小值为，则在上的最小值为，又所以，解得．故选：C.二、填空题9．（2324高一下·安徽亳州·月考）函数的最小值为.【答案】【解析】令，，，结合二次函数图象知，当，即，时，有最小值，所以.故答案为：10．（2324高一下·安徽蚌埠·月考）已知函数，，则其值域为.【答案】【解析】令，，显然在上单调递增，因此，，则原函数化为：，而在上单调递增，于是当，即时，，当，即时，，所以原函数的值域为.故答案为：11．（2324高一下·江苏南通·月考）已知函数，则的最小值为.【答案】【解析】由，因，故，当且仅当时，即时，.故答案为：.12．（2324高一上·广东广州·期末）函数在区间上的值域是．【答案】【解析】令，因为，，所以，，设，显然一元二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以函数的值域为.故答案为：.13．（2324高一下·江西南昌·月考）函数的值域为．【答案】【解析】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.14．（2324高一上·安徽阜阳·期末）函数在区间上的最小值为.【答案】1【解析】，由，得，所以，令，则在上单调递减，所以时，y取最小值1，故的最小值为1．故答案为：1.15．（2324高一上·湖北荆州·期末）若函数的