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文档简介
四川省泸县重点达标名校2024-2025学年下学期初三数学试题第一次联考考试试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,正方形ABCD的顶点C在正方形AEFG的边AE上,AB=2,AE=,则点G到BE的距离是()A. B. C. D.2.一元二次方程mx2+mx﹣=0有两个相等实数根,则m的值为()A.0 B.0或﹣2 C.﹣2 D.23.在平面直角坐标系中,点P(m,2m-2),则点P不可能在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知☉O的半径为5,且圆心O到直线l的距离是方程x2-4x-12=0的一个根,则直线l与圆的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定5.已知抛物线y=(x﹣)(x﹣)(a为正整数)与x轴交于Ma、Na两点,以MaNa表示这两点间的距离,则M1N1+M2N2+…+M2018N2018的值是()A. B. C. D.6.在△ABC中,∠C=90°,,那么∠B的度数为()A.60° B.45° C.30° D.30°或60°7.若一个多边形的内角和为360°,则这个多边形的边数是(
)A.3
B.4
C.5
D.68.如图,若△ABC内接于半径为R的⊙O,且∠A=60°,连接OB、OC,则边BC的长为()A. B. C. D.9.如图,小桥用黑白棋子组成的一组图案,第1个图案由1个黑子组成,第2个图案由1个黑子和6个白子组成,第3个图案由13个黑子和6个白子组成,按照这样的规律排列下去,则第8个图案中共有(
)和黑子.A.37 B.42 C.73 D.12110.大箱子装洗衣粉36千克,把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里,装满后还剩余2千克洗衣粉,则每个小箱子装洗衣粉(
)A.6.5千克B.7.5千克C.8.5千克D.9.5千克二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如图,在中,于点,于点,为边的中点,连接,则下列结论:①,②,③为等边三角形,④当时,.请将正确结论的序号填在横线上__.12.如图,点A,B,C在⊙O上,四边形OABC是平行四边形,OD⊥AB于点E,交⊙O于点D,则∠BAD=_______°.13.抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度,得到新抛物线的表达式为_____.14.A,B两市相距200千米,甲车从A市到B市,乙车从B市到A市,两车同时出发,已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时,且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x千米/小时,则根据题意,可列方程____________.15.如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连结BD,若∠A=32°,则∠CDB的大小为_____度.16.若方程x2+(m2﹣1)x+1+m=0的两根互为相反数,则m=______17.计算:(3+1)(3﹣1)=.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)某数学兴趣小组为测量如图(①所示的一段古城墙的高度,设计用平面镜测量的示意图如图②所示,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD、CD⊥BD,且测得AB=1.2m,BP=1.8m.PD=12m,求该城墙的高度(平面镜的原度忽略不计):请你设计一个测量这段古城墙高度的方案.要求:①面出示意图(不要求写画法);②写出方案,给出简要的计算过程:③给出的方案不能用到图②的方法.19.(5分)在“双十二”期间,两个超市开展促销活动,活动方式如下:超市:购物金额打9折后,若超过2000元再优惠300元;超市:购物金额打8折.某学校计划购买某品牌的篮球做奖品,该品牌的篮球在两个超市的标价相同,根据商场的活动方式:(1)若一次性付款4200元购买这种篮球,则在商场购买的数量比在商场购买的数量多5个,请求出这种篮球的标价;(2)学校计划购买100个篮球,请你设计一个购买方案,使所需的费用最少.(直接写出方案)20.(8分)计算:|﹣1|+(﹣1)2018﹣tan60°21.(10分)已知:正方形绕点顺时针旋转至正方形,连接.如图,求证:;如图,延长交于,延长交于,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出如图中的四个角,使写出的每一个角的大小都等于旋转角.22.(10分)已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果∠BDC=30°,DE=2,EC=3,求CD的长.23.(12分)如图,BD是矩形ABCD的一条对角线.(1)作BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,垂足为点O.(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)求证:DE=BF.24.(14分)如图,△ABC的顶点坐标分别为A(1,3)、B(4,1)、C(1,1).在图中以点O为位似中心在原点的另一侧画出△ABC放大1倍后得到的△A1B1C1,并写出A1的坐标;请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、A【解析】
根据平行线的判定,可得AB与GE的关系,根据平行线间的距离相等,可得△BEG与△AEG的关系,根据根据勾股定理,可得AH与BE的关系,再根据勾股定理,可得BE的长,根据三角形的面积公式,可得G到BE的距离.【详解】连接GB、GE,由已知可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线,∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵AE=4,AB与GE间的距离相等,∴GE=8,S△BEG=S△AEG=SAEFG=1.过点B作BH⊥AE于点H,∵AB=2,∴BH=AH=.∴HE=3.∴BE=2.设点G到BE的距离为h.∴S△BEG=•BE•h=×2×h=1.∴h=.即点G到BE的距离为.故选A.本题主要考查了几何变换综合题.涉及正方形的性质,全等三角形的判定及性质,等积式及四点共圆周的知识,综合性强.解题的关键是运用等积式及四点共圆的判定及性质求解.2、C【解析】
由方程有两个相等的实数根,得到根的判别式等于0,求出m的值,经检验即可得到满足题意m的值.【详解】∵一元二次方程mx1+mx﹣=0有两个相等实数根,∴△=m1﹣4m×(﹣)=m1+1m=0,解得:m=0或m=﹣1,经检验m=0不合题意,则m=﹣1.故选C.此题考查了根的判别式,根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于0,方程没有实数根.3、B【解析】
根据坐标平面内点的坐标特征逐项分析即可.【详解】A.若点P(m,2m-2)在第一象限,则有:m>02m-2>0解之得m>1,∴点P可能在第一象限;B.若点P(m,2m-2)在第二象限,则有:m<02m-2>0解之得不等式组无解,∴点P不可能在第二象限;C.若点P(m,2m-2)在第三象限,则有:m<02m-2<0解之得m<1,∴点P可能在第三象限;D.若点P(m,2m-2)在第四象限,则有:m>02m-2<0解之得0<m<1,∴点P可能在第四象限;故选B.本题考查了不等式组的解法,坐标平面内点的坐标特征,第一象限内点的坐标特征为(+,+),第二象限内点的坐标特征为(-,+),第三象限内点的坐标特征为(-,-),第四象限内点的坐标特征为(+,-),x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0.4、C【解析】
首先求出方程的根,再利用半径长度,由点O到直线a的距离为d,若d<r,则直线与圆相交;若d=r,则直线与圆相切;若d>r,则直线与与圆相离.【详解】∵x2-4x-12=0,
(x+2)(x-6)=0,
解得:x1=-2(不合题意舍去),x2=6,
∵点O到直线l距离是方程x2-4x-12=0的一个根,即为6,
∴点O到直线l的距离d=6,r=5,
∴d>r,
∴直线l与圆相离.故选:C本题考核知识点:直线与圆的位置关系.解题关键点:理解直线与圆的位置关系的判定方法.5、C【解析】
代入y=0求出x的值,进而可得出MaNa=-,将其代入M1N1+M2N2+…+M2018N2018中即可求出结论.【详解】解:当y=0时,有(x-)(x-)=0,解得:x1=,x2=,∴MaNa=-,∴M1N1+M2N2+…+M2018N2018=1-+-+…+-=1-=.故选C.本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征以及规律型中数字的变化类,利用二次函数图象上点的坐标特征求出MaNa的值是解题的关键.6、C【解析】
根据特殊角的三角函数值可知∠A=60°,再根据直角三角形中两锐角互余求出∠B的值即可.【详解】解:∵,∴∠A=60°.∵∠C=90°,∴∠B=90°-60°=30°.点睛:本题考查了特殊角的三角函数值和直角三角形中两锐角互余的性质,熟记特殊角的三角函数值是解答本题的突破点.7、B【解析】
利用多边形的内角和公式求出n即可.【详解】由题意得:(n-2)×180°=360°,解得n=4;故答案为:B.本题考查多边形的内角和,解题关键在于熟练掌握公式.8、D【解析】
延长BO交圆于D,连接CD,则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°;又BD=2R,根据锐角三角函数的定义得BC=R.【详解】解:延长BO交⊙O于D,连接CD,则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°,∴∠CBD=30°,∵BD=2R,∴DC=R,∴BC=R,故选D.此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理,注意:作直径构造直角三角形是解决本题的关键.9、C【解析】解:第1、2图案中黑子有1个,第3、4图案中黑子有1+2×6=13个,第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6=37个,第7、8图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6=73个.故选C.点睛:本题考查了规律型:图形的变化类:通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.10、C【解析】【分析】设每个小箱子装洗衣粉x千克,根据题意列方程即可.【详解】设每个小箱子装洗衣粉x千克,由题意得:4x+2=36,解得:x=8.5,即每个小箱子装洗衣粉8.5千克,故选C.【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题,弄清题意,找出等量关系是解答本题的关键.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、①③④【解析】
①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①;②先证明△ABM∽△ACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②;③先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°,再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°,从而得到∠MPN=60°,又由①得PM=PN,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③;④当∠ABC=45°时,∠BCN=45°,进而判断④.【详解】①∵BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,∴PM=BC,PN=BC,∴PM=PN,正确;②在△ABM与△ACN中,∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°,∴△ABM∽△ACN,∴,错误;③∵∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,∴∠ABM=∠ACN=30°,在△ABC中,∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°,∵点P是BC的中点,BM⊥AC,CN⊥AB,∴PM=PN=PB=PC,∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM,∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°,∴∠MPN=60°,∴△PMN是等边三角形,正确;④当∠ABC=45°时,∵CN⊥AB于点N,∴∠BNC=90°,∠BCN=45°,∵P为BC中点,可得BC=PB=PC,故④正确.所以正确的选项有:①③④故答案为①③④本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质,相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键.12、15【解析】
根据圆的基本性质得出四边形OABC为菱形,∠AOB=60°,然后根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系得出答案.【详解】解:∵OABC为平行四边形,OA=OC=OB,∴四边形OABC为菱形,∠AOB=60°,∵OD⊥AB,∴∠BOD=30°,∴∠BAD=30°÷2=15°.故答案为:15.本题主要考查的是圆的基本性质问题,属于基础题型.根据题意得出四边形OABC为菱形是解题的关键.13、y=2(x+2)2+1【解析】试题解析:∵二次函数解析式为y=2x2+1,∴顶点坐标(0,1)向左平移2个单位得到的点是(-2,1),可设新函数的解析式为y=2(x-h)2+k,代入顶点坐标得y=2(x+2)2+1,故答案为y=2(x+2)2+1.点睛:函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.14、200x【解析】
直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可.【详解】解:设乙车的速度是x千米/小时,则根据题意,可列方程:200x故答案为:200x此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,正确表示出两车所用时间是解题关键.15、1【解析】
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°,根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=1°.【详解】∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ABC=∠ACB=74°,又∵BC=DC,∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=1°,故答案为1.本题主要考查等腰三角形的性质,三角形外角的性质,掌握等边对等角是解题的关键,注意三角形内角和定理的应用.16、﹣1【解析】
根据“方程x2+(m2﹣1)x+1+m=0的两根互为相反数”,利用一元二次方程根与系数的关系,列出关于m的等式,解之,再把m的值代入原方程,找出符合题意的m的值即可.【详解】∵方程x2+(m2﹣1)x+1+m=0的两根互为相反数,∴1﹣m2=0,解得:m=1或﹣1,把m=1代入原方程得:x2+2=0,该方程无解,∴m=1不合题意,舍去,把m=﹣1代入原方程得:x2=0,解得:x1=x2=0,(符合题意),∴m=﹣1,故答案为﹣1.本题考查了根与系数的关系,正确掌握一元二次方程两根之和,两个之积与系数之间的关系式解题的关键.若x1,x2为方程的两个根,则x1,x2与系数的关系式:,.17、1.【解析】
根据平方差公式计算即可.【详解】原式=(3)2-12=18-1=1故答案为1.本题考查的是二次根式的混合运算,掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)8m;(2)答案不唯一【解析】
(1)根据入射角等于反射角可得∠APB=∠CPD,由AB⊥BD、CD⊥BD可得到∠ABP=∠CDP=90°,从而可证得三角形相似,根据相似三角形的性质列出比例式,即可求出CD的长.(2)设计成视角问题求古城墙的高度.【详解】(1)解:由题意,得∠APB=∠CPD,∠ABP=∠CDP=90°,∴Rt△ABP∽Rt△CDP,∴,∴CD==8.答:该古城墙的高度为8m(2)解:答案不唯一,如:如图,在距这段古城墙底部am的E处,用高h(m)的测角仪DE测得这段古城墙顶端A的仰角为α.即可测量这段古城墙AB的高度,过点D作DCAB于点C.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,tanα=,∴AC=αtanα,∴AB=AC+BC=αtanα+h本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.19、(1)这种篮球的标价为每个50元;(2)见解析【解析】
(1)设这种篮球的标价为每个x元,根据题意可知在B超市可买篮球个,在A超市可买篮球个,根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可;(2)分情况,单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.【详解】(1)设这种篮球的标价为每个x元,依题意,得,解得:x=50,经检验:x=50是原方程的解,且符合题意,答:这种篮球的标价为每个50元;(2)购买100个篮球,最少的费用为3850元,单独在A超市一次买100个,则需要费用:100×50×0.9-300=4200元,在A超市分两次购买,每次各买50个,则需要费用:2(50×50×0.9-300)=3900元,单独在B超市购买:100×50×0.8=4000元,在A、B两个超市共买100个,根据A超市的方案可知在A超市一次购买:=44,即购买45个时花费最小,为45×50×0.9-300=1725元,两次购买,每次各买45个,需要1725×2=3450元,其余10个在B超市购买,需要10×50×0.8=400元,这样一共需要3450+400=3850元,综上可知最少费用的购买方案:在A超市分两次购买,每次购买45个篮球,费用共为3450元;在B超市购买10个,费用400元,两超市购买100个篮球总费用3850元.本题考查了分式方程的应用,弄清题意,找准等量关系列出方程是解题的关键.20、1【解析】
原式利用绝对值的代数意义,乘方的意义,以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.【详解】|﹣1|+(﹣1)2118﹣tan61°=﹣1+1﹣=1.本题考查了实数的运算,涉及了绝对值化简、特殊角的三角函数值,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.21、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)连接AF、AC,易证∠EAC=∠DAF,再证明ΔEAC≅ΔDAF,根据全等三角形的性质即可得CE=DF;(2)由旋转的性质可得∠DAG、∠BAE都是旋转角,在四边形AEMB中,∠BAE+∠EMB=180°,∠FMC+∠EMB=180°,可得∠FMC=∠BAE,同理可得∠DAG=∠CNF,由此即可解答.【详解】(1)证明:连接,∵正方形旋转至正方形∴,∴∴在和中,,∴∴(2).∠DAG、∠BAE、∠FMC、∠CNF;由旋转的性质可得∠DAG、∠BAE都是旋转角,在四边形AEMB中,∠BAE+∠EMB=180°,∠FMC+∠EMB=180°,可得∠FMC=∠BAE,同理可得∠DAG=∠CNF,本题考查了正方形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质
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