水运动学基础

第三章水运动学基础

第一节描述液体运动的两种方法

液体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时空而变，而液体又是众多质点组成的连

续介质，怎样描述整个液体的运动规律呢？

一、拉格朗日法

拉格朗日法：质点系法

把液体质点作为研究对象，跟踪每一个质点，描述其运动过程，获得整个液体运动的规

律。

Z

X

图拉格朗日法

设某-一液体质点在，=内占据起始坐标（a,b,c）

zO：微团占据起始坐标（a,b,c）

t：微团运动到空间坐标（x,y,z）

z

式中，(mb,c,t)=拉格朗日变数

(a,b,c)对应液体微团或液体质点

给定b,c),该质点的轨迹方程

不同(。，h,c),不同质点的轨迹方程

对上式求导，得到液体质点的速度

dx(a,b,c,t)

x=x(a,h,c,t)dt

ddy(a、b,c,t)

<y=y(a,bc,t)=>=>u

dt9ydt

z=z(a,b,cj)

dz(a,b,c,t)

u

7dt

2

x=x(a,b,c,t)

<y=y(a,b,c,t)

z=z(a,b,c,t)

dx(a,b,c,t)

u=

Yx

x=x(a,h,c,t)dt

ddy(a,b,c,t)

----<y=y(a,b,c,t)=>=><Uy

dt~dt

z=z(a,h,c,t)

dz(a,b,c,t)

巩=

7dt

对速度求导,得到液体质点的加速度

dx(a,b,c,t)d2x(a,h,c,t)

ur-=短

xdt

ddy(a,b,c,t)d2y(a,b,c,t)

—《u=---------------=>=><Q、=-------o------

dtyvdtydt2

dz(a,b,c,t)d2z(a.h,c,t)

[dt力2

对速度求导，得到液体质点的加速度

dx(a,b,c,t)

uY=---------------

\x=x(a,b,c,t)xdt

d/,、dy(a、b,c,t)

—<y=y(a,b.c,t)=>=>jUy

atdt

z=z(a,b,c,t)

dz(a,b,c,t)

dt

dx(a,b,c,t)d2x(a,h,c,t)

dtdt1

dy(a,b,c,t)d2y(a,b,c,t)

-------------=>=><4,=--------o-----

dt-----------------ydt

dz(a,b,c,t)d2z(a,b,c,t)

问题

x=x(a,b,c,t)

<y=y(a9b9c9t)(a,b,c)wlimitedfluidpoints

z=z(a,b,c,t)

每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点数学上存在难以克服的困难。实用上，不

需要知道每个质点的运动情况因此，该方法在工程上很少采用，但在波浪运动，piv量测等

问题中用这个方法。

3

二、欧拉法

2.1欧拉法：流场法，核心是研究运动要素分布场

考察固定空间点(x,y,z),不同液体质点通过的情况，了解整个流动空间的流动。相当于

在流场中设置许多观察点(x,y,z),研究不同时刻t、不同观察点(无，y,z)上，不同液

体质点的运动，将各观察点的运动信息加以综合，可了解整个流场的运动。

采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐标(x,y,z)和时间，的函数。

液体质点通过任意空间固定点(x,y,z)时的流速

dx(x,y,z,t)

“L山

_dy(x,y,z,t)

<Uy~dt

dz(x,y,z,t)

u.=-----------

zdr

式中，(x,y,z,t):欧拉变数(〃xuyuz):通过固定点的流速分量

拉格朗日法

(a,b,c):质点起始坐标/:任意时刻

(x,y,z):质点运动的位置坐标

(a.b,c.t):拉格朗日变数

欧拉法

(xjz):空间固定点(不动)

t:任意时刻

(x,y,z,t):欧拉变数

/=/0=给定时刻，(x,y,z)=变数

同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分布，即流场。

(x,y,z)=给定点，/=变数

不同液体质点通过给定空间点的流速变化

液体质点通过任意空间坐标时的加流速

du(x,y,z,t)

a--;x---------

、rAt

du(x,y,z,t)

\a=-1r---------

vd/

dT

式中，(ax,ay,az)为通过空间点的加速度分量

流场中任一物理量，如压强、密度，则

p^p(x,y,z,t)

p=p(x,y,z,t)

一维流动，则

4

U-"(sj)

p=pG,。

用欧拉法研究液体运动的例子

2.2用欧拉法表达加速度

从欧拉法来看，不同空间位置上的液体流速可以不同；在同一空间点上，因时间先后不

同，流速也可不同。因此，加速度分

•迁移加速度（位变加速度）同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度

•当地加速度（时变加速度）同一空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度

图时变加速度产生说明

5

利用复合函数求导法,将(xfyfz)看成是时间，的函数,则

du(x,y,z,f)_dudududu..

xxxY+〃z-

drdt'Sxydydz

du(x,y,z,f)四,

《明二—;-v--------------------duvduv

----+W---:—FII-+--〃_--

1d/dtdx7dy-dz

di/:(x,y,z,t)_duzdu,du.du.

+人--+^v—+〃——

d/dtxdxydy"dz

对于一维流动，加速度可简化为

a'd」(s,/)_配।现

‘一山一九'ds

对于二元流动

6

du

_犯।〃s।uM

dtdt'ds〃dn

dz，“(s,〃,/)dudu

-----：-------..n.r——n

dtdt6sdn

第二节液体运动的基本概念

一、恒定流和非恒定流

1.1恒定流

运动要素之一不随时间发生变化的流动，即所有运动要素对时间的偏导数恒等于零

2=a=%=2=迦=

dtdtdtdtdt

1.2非恒定流

运动要素之一随时间而变化的流动，即运动要素之一对时间的偏导数不为零

河道中水位和流量的变化

洪水期中水位、流量有涨落现象一非恒定流

平水期中水位、流量相对变化不大一恒定流

水静力学就是恒定流

•容器中液体

当容器中液体处于相对平衡一恒定流。当容器的旋转角速度突然改变，容器中液体变

速运动一非恒定流.

大海中潮起潮落现象一非恒定流

闸门迅速开启时引起的非恒定流

闸门突然关闭时，管道中水流的运动随时间变化

二、流线与迹线

2.1迹线和迹线方程

液体质点不同时刻所流经的空间点所连成的线，即液体质点运动的轨迹线。由拉格朗日法

引出的概念。

迹线方程

x=x(a,b,c,t)dx=u(a,b,c,t)dt

xdrdydz

«y=y(a,ac,7)nrdy=%,(a,6,c/)d/n=f(x,y,z,t)

M

uxVux

.z=z(a,b,c,t)dz-uz(a,b,c,t)dt

7

2.2流线

某瞬时在流场中的•条空间曲线，曲线上所有液体质点的速度向量都与该曲线相切。

流线画法

7.

图流线画法

2.2.1流线方程

drdydz...,、

—=—=—=/（x，V，z,/o）

UxUy%

ijk

u\\ds=>uxuyu2=0

dxdydz

流函数

dxdydz,、

——-——-——=./（xJ,z,/（,）:>

U

孙y"z

W=Jd"（x,y）=\uxdy-uydx=C

2.2.2流线的基本性质

1）恒定流时，流线形状和位置不随时间改变

原因：恒定流时，流速向量不随时间改变

2）恒定流时，流线与迹线重合

8

i"2

Ai一--

y•4

"/sT/s?

X------------------------------------------------

X

3）流线不能相交

原因：相交点流线有两个方向

3.4质点与控制体的概念

控制体

在某一坐标系下的个不动的封闭空间体

控制体外表面称控制面，控制体可根据需要将其取成不同形状。

流体可自由进出控制体

一个微分控制体

9

一段渠道的控制体

一段管道的控制体

控制体：控制面组成：

过水断面、壁面、自由水面

10

2

•段渠道的控制体

过水断面

一段管道的控制体

三、流管、元流和总流

3.1流管

在流场中，任取一个面积A,通过其周界上的每一个点，均可作一条流线。这些流线

围成的一个封闭管状曲面

微小流管：在流场中，任取一个微分面积dA,通过其周界上的每一个点，均可作一

11

条流线，这样构成的一个封闭的管状曲面，称微小流管。

注意

流管中液体不会穿过管壁（流管）向外流，流管外液体不会穿过管壁向流管内部流动。

恒定流时，流束形状和位置不会随时间改变。非恒定流时，流束形状和位置随时间改变。流

管中液体不会穿过管壁（流管）向外流，流管外液体不会穿过管壁向内流。恒定流时，流束

形状和位置不会随时间改变。非恒定流时，流束形状和位置随忖间改变。

3.2流束

充满以流管为边界的一束液流，称流束。

充满以微小流管为边界的一束液流，称微小流束。

3.3总流

任何一个实际水流都具有一定规模的边界，在边界约束之内的水流，称总流。

总流可看成是又无限多个微小流束组成。

四、过水断面、流量和断面平均流速

4.1过水断面

与微小流束，或流线，或流速正交的横断面为过水断面，该断面面积用山或/表

示，单位：n?

过水断面可能是曲面，或平面。当水流的流线为平行线时，过水断面为平面，否则，

就是曲面。

12

4.2流量

单位时间内通过某一过水断面的液体体积为流量，用符号。表示，有三种表示方法。

体积流量Q(m3/s)

质量流量PQ(kg/s)

重量流量YQ(N/s)或(kN/s)

从总流中任取一个微小流束，过水断面为dA,其上的流速为"，则微小流束通过的

流量为

从总流中任取一个微小流束，其过水断面为dA,其上流速为"，则微小流束通过的

流量为

dQ=uAA

通过总流过水断面的流量为

0=Jd。=J

QA

4.2断面平均流速

在过水断面上，液体质点流速分布是不均匀的。例如，管道中的流速分布，边壁流速为

零，管心最大。

整个过水断面上，流速分布是曲面，在平面上看，流速分布是曲线。

13

引入断面平均流速

使液体运动得到简化（使三元流动变成了一维流动）。在实际工程中，断面平均流速

非常重要的。

五、一元流、二维流、三维流

“元”是指空间自变量的个数

5.1一元流

运动要素只与一个空间自变量有关

5.2二元流

运动要素只与一个空间自变量有关任何运动要素与两个空间自变量有关，

此水流称二元流。

一矩形顺直明渠

当渠道很宽，两侧边界影响可忽略不计时，任一点流速与流程s,距渠底铅垂距离z有

关，而沿横向y方向，流速几乎不变。

5.3三元流

任一运动要素与三个空间坐标有关

一矩形明渠

当宽度由从突扩为62时，突变的局部范围内，水流中任一点流速，不仅与断面位置坐

标有关，还和坐标y、z有关。

山于问题非常复杂，数学上求解三维问题的困难，所以水力学中，常用简化方法，尽量

减少运动要素的“元“数。

例如，用断面平均流速代替实际流速，把总流视为一元流。

水利工程的实践证明，把三维水流简化成•元流，或二元流是可以满足生产需要的，但

存在一些问题。

存在的问题

1、一元流分析法回避了水流内部结构和运动要素的空间分布。

2、不是所有问题都能简化为一元流，或二元流的。例如，掺气，水流的脉动、水流空化等

问题。所以，简化是针对水力学具体问题而言（相对的）。

六、均匀流与非均匀流

6.1定义

当流线为相互平行的直线时，或不存在位变加速度的流动

mdudu八

u--+i/„--Y+»,―工r三0

Ydxydydz

Suyduvduv

--+w--+u1三0

dxyvdydz

du.du.du.

U--+M„—^+Uzk三°

xrdxydydz

6.2均匀流的特征

1、过水断面为平面，且其形状和尺寸沿程不变

14

2、同一流线上不同处的流速相等，沿程各过水断面的流速分布形状相同、断面平均流速相

等。

3、过水断面上动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点的测

压管水头相等，但不同流程的过水断面上的测压管水头不相同。

6.3非均匀流

若流线不是相互平行的直线，称非均匀流。

按流线不平行和弯曲的程度，可将非均匀流分为两种类型

（1）渐变流（缓变流）流线虽不平行，但接近平行直线；流线之间夹角小，或流线曲率半

径较大，均可视为渐变流。渐变流的极限就是均匀流

（2）急变流标准

通过试验比较确定。如果假定的渐变流断面上，动水压强分布近似为静水压强分布规律，并

且所求出的动水压力和实际情况（试验）较为吻合，则可视为渐变流断面。

本质

沿流动垂直的方向惯性力（加速度）可以忽略不计。例如，离心力。

判断

渐变流与水流边界关系密切

渐变流：水流边界平行的直线边界处的水流，渐变流断面上动水压强分布规律固体边界约

束的渐变流过水断面动水压强符合静水压强分布规律。渐变流断面上动水压强分布规律：

水流射入大气中时的渐变流断面，动水压强不服从静水压强分布规律

渐变流断面上动水压强分布规律

固体边界约束的渐变流过水断面，动水压强符合静水压强分布规律

水流射入大气中时的渐变流断面，动水压强不服从静水压强分布规律。

流线间交角很大，或流线曲率半径很小的流动

本质沿流动垂直方向存在惯性力，如离心力

特征急变流断面上动水压强不符合静水压强分布规律

例如，孔口收缩断面，其上流线近似平行，各点均与大气接触，压强约为大气压强。

急变流：管道转弯断面突然扩大或缩小明渠水面急剧变处

第三节恒定总流的连续方程

液体运动必须遵循：质量守恒的普遍规律，液体的连续方程就是质量守恒定律的一种形式

现推导如下：

从恒定流中取一微小束，其中符号见图

15

I\/?W]d4d/="，2以2出

化简得/〃]必=u2dA2

n/恒定微小流束的连续方程

将上式沿总流过水断面进行积分

Q=Jd^=,训=J”2dz2

Q44

0=Jd°=4K=A2V2

Q

移动得—=—

岭4

流量一定时，断面平均流速与断面面积成反比。在过水断面积小处，流速大；过水断面面积

大处，流速小。管道越粗，流速越小，管道细，流速越大。

3.8理想液体运动的微分方程

理想液体的概念

液体的主要物理性质影响液体的运动。特别是液体粘滞性存在，使水流运动的分析变得

非常复杂。为简化起见，引入“理想液体”概念。

不可压缩、不能膨胀、连续介质、没有粘滞性、没有表面张力。实际液体的压缩性和膨

胀性很小，表面张力也很小，与理想液体没有很大的差别。所以，理想液体和实际液体主要

16

差别是液体粘滞性。理想液体得出的液体运动结论，必须对未考虑粘滞性而引起的偏差进行

修正。

虽然并不存在理想液体，但有些问题，如粘滞力比其他力要小得多时，为了分析问题筒

单起见，可把粘滞力略去不计，用理想液体去代替实际液体，其结果有足够的准确性。所以

研究理想液体动力学是有实际意义的。

dy

在运动的液体中取出一块平行六面微元体

该六面体受质量力和表面力作用

设形心点：A=A(x,y,z),边长：dr,dy,dz

1、表面力

压强面积

左侧面dxdz

x,y-d-yzdudy

9u,---x

*dy2dy2

右侧面dydxdz

xzdudy

>y+—^4---Y-p+曳虫

Sy2dy2

2质量力

17

X：

pKdxdvdz

J：

z：

z

X

考虑微元体的受力平衡，则

zdpdr.,,,dpdx.,力」，八

(p-不了加峰一(p+——)xdydz+pZdxdydz=0

dx2

zdpdy」,AA

Cp---------)AdJrdz-(p+-------)dydz+pYdxdydz=pt?dxdydz

dy2dy2v

)dxdy-(/7+^--)dxdy+/iZdxd^dz=0

dz2Gz2

18

z

X

以pdxdydz除上式，并化简，则

X」曳』

pdx

y15p

v-Pdy

71dp

Z一一二=4

IPSz

_duxdurduYdux

+Ux--+w--+ll.

见一d/二17dxvdz

d/.(x,y,z")5uv5uva”,.duv

=----+〃、—

<av=-----------------+w

yd/dtdxSydz

du.(x,:y,z,t)du.du.du_du.

a.=-=——-------—+z心-^+z/—二十〃一—

Atdtdxrdz

时变加速度分量（三项）位变加速度分量（九项）

理想液体的运动微分方程

19

-A、

P^y

1dp

Z7——f=4-

〔pbz

方程中未知数为：

p,UX,uy,〃z=4方程数目：3连续方程：1微分方程组可解

第四节恒定元流的能量方程

一、理想液体的恒定元流的能量方程

从理想液体恒定流中取出一柱状微小流束，并截取1-1和2-2断面之间的流段ds来研究,

流段可以看作横断面为必的柱体。

对微分段应用s方向的牛顿第二定律，则

20

yd〃

—（p+dp）（L4—;1L4d5cosa=—dAds——

gd/

AuAudsAud/〃2

_______“________〃，，-------f,J

dzdsdrdsd§22

rp、th）p7u2

ydAds^stk-xl4dz--=ZH-----+-—9

Pg2g2pg2g

化筒得

色（z+3+心=0

dsy2g

2

积分上式得到z+^+—=C

/2g

对微小流束上两个过水断面则有

22

Z[H上--P-T-41--〃-]-=H-,-P--2-,1--〃-2-

y2gy2g

不可压缩理想液体恒定流微小流束的能量方程（伯努里方程）,瑞士科学家伯努里（Bernoulli,

1738）

二、理想液体元流能量方程的意义

2.1物理意义

z：单位重量液体所具有的平均位能

-——单位重量液体所具有的平均压能

P

Z+-——单位重量液体所具有的平均势能

———单位重量液体所具有的平均动能

2g

表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断面上，单位重量液体所具

有的机械能保持相等（守恒）。

2.2几何意义

Z一位置水头

P——压强水头

21

z+£・测压管水头

Y

——一一表示在不计外界阻力的情况下，液体质点以铅垂向上的速度u所能达到的高度,

2g

称为流速水头。

故该式表明：不可压缩理想液体恒定流情况下，在不同元流的过水断面上，位置水头、压强

水头和流速水头之间可以相互转化，但总水头沿程不变。

三、毕托管测流速原理

毕托管测流速是常用的用来测量液体点流速的一种仪器。其测量流速原理就是液体的能

量转换和守恒原理。简单的毕托管是•根很细的90弯管，它由双层套管组成，并再两管末

端连接测压管（测压计）。弯管顶端处A开个小孔与内管相连，直通测压管2,再弯管前

端B处，沿外套管周界均匀地开一排与外管壁相垂直的小孔，直通测压管1.测量流速时，

将毕托管前端放置再被测点A处，并且正对水流方向，只要读出这两根测压管的液面高差，

即可求得所测点的流速。现将原理用公式表示。

〃=w2g=川2gAh

22

A

四、实际液体元流的能量方程

由于实际液体存在粘滞性，在流动过程中液体内部要产生摩擦阻力，液体运

动时克服摩擦阻力要消耗一定的机械能。而且是转化热能而散逸，不再恢复成为

其他的能量。对水流来说就是损失了一定的机械能，液体在流动过程中机械能要

沿程减少。因此，对实际液体而言，总是

令hw为元流实际液体单位重量从上游1-1断面流至下游2-2断面的能量损失,也称为元流的

水头损失，根据能量守恒原理可得不可压缩实际液体恒定元流的能量方程（伯诺里方程）。

它表明：在不可压缩实际液体恒定流情况下，元流中不同的过水断面上总能量是不相等的,

而且总能量沿流程减少。

23

第五节恒定总流的能量方程

一、恒定总流的能量方程

(1)作用于理想液体的质量力是有势的

(2)液体是不可压缩的，其密度是常数

(3)存在下列条件之一，使上述行列式为零，方程可积

不可压缩实际液体恒定流微小流束的能量方程为

22

22

Z+a+JZ+也+尘+0'

Z1十十C十十十

12gy2g

产+2沙„+小2方呢

22

卜+争领+期口”?施+吃超+汽施

QQ2gQ

上式共含三类积分：

1、第一类积分在渐变流过水断面条件

24

f(z+—)ydQ^(z+—)fydg=(z+—}yQ

QyrQr

2、第二类积分：f—yd2=f—

W2g22g

引入动能修正系数。＞1,则

U

式中，为动能修正系数，其值取决于过水断面上流速分布情况。断面流速分布完全均匀,

。=1;流速分布越不均匀，。越大；渐变流时，a=1.05~1.10；一般取a=1。

3、第三类积分：Jhw'ydQ

Q

假定各个微小流束的单位重量液体所损失的能量。用〃犷用某一个平均值〃w代替，则

JJ网。=泮“。

Q2

将三种类型的积分结果代入，各项同除以YQ，则

22

f(Z|+a+2)NQ=J⑵+乙+2+6「)网。

QV2g1y2g

.22.

J(Z+a)MQ+J?>dQ=J(Z2+上力dQ+J^-yAQ+\熊'yd。

Qy%2g%yQ2sQ

22

P21处

Z]+£L+竺L_=Z?++儿

y2gy2g

naV

水力学基本方程之一：H=z+二+——

y2g

不可压缩实际液体恒定总流的能量方程

3.12.2能量方程物理意义和几何意义

H=2+C+Q

Y2g

H尸氏+hw

物理意义

25

z：单位重量液体所具有的平均位能

P

单位重量液体所具有的平均压能

/

P

Z+-：单位重量液体所具有的平均势能

—：单位重量液体所具有的平均动能

2g

hw:单位重量液体的平均能量损失

H:单位重量液体所具有的平均机械能

H1=H2+hw两断面之间单位能量守恒

几何意义

z：位置水头

P

压强水头

y

p

z+—：测压管水头

Y

CCV'

—:速度水头

2g

hw.,水头损失

H:总水头

二、能量方程的几何图示——水头线

为了形象地反映总流中各种能量的变化规律，可将能量方程用图形表示。

纵坐标——长度（方程各项都具有长度因次），铅垂方向

横坐标——流程坐标，管道：轴线；明渠：渠道底，并都将建筑物（管道、明渠）轮廓一并

画出。

代表点——过水断面上，各点位置水头、压强水头不同，所以，要在过水断面选取代表点。

管道：管中心明渠：自由表面。

26

0

水力坡度

总水头线沿流程的降低值与流程之比，为水力坡度当总水头线为直线时，其可表示为

J/--H-「--H°--hw

当总水头线为曲线时，其可表示为

27

第六节能量方程的应用

一、能量方程的应用条件及注意事项

1、水流是恒定流，并且液体是不可压缩均质的；

2、作用于液体上的质量力只有重力；

3、在所选的两个过水断面必须是符合渐变流断面或均匀流断面，以符合断面上各点

例如，管道进口上游处；水库上游来流断面；孔口出流收缩断面；管道出口等

两个断面之间可以是急变流

4、限定两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量的加入和分出（汇流和分流）

5、所取过水断面1-1及2-2之间，除了水头损失之外，没有其他机械能的输入和输出。

1.1有流量汇入或分出时的能量方程

公式推导时，限定两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量的加入和分出（汇

流和分流）但应用时,两个断面之间有汇流和分流的情况，仍可应用能量方程。

图为两支汇合的水流，每一支流量分别为Q2,根据能量守恒的物理概念，单位

时间内，从1-1断面及2-2断面流入的液体总能量应等于3-3断面输出的总能量加上两支水

流能量的损失，即

22

⑵+包+岑。阕+g+也+竽-+

y2gy2g

2

=%+—+竽-＞。3+

y2g

28

根据能量守恒的概念，单位时间内，从1-1断

面及2-2断面流入的液体总能量等于3-3断面输出

的总能量，再加上两支水流能量的损失，即

22

(^+―+3巧阕+0+匹+竽-+初)吗

y2gy2g

2

=93+—+竽-)>。3+®wl-3+也2%-3

y2g

22

/Pla.V.、c/p卬2/c

⑵+乜+-P-^yQy+(z+—2+4^-+

y2g2y2g

2

=(z3+-+-1-)yQ3+>01%-3+》。2%-3

y2g

Q+02=03=

22

阕亿+庄+平)-(马+正+*)-〃“『+

_72gy2g_

-22

yQi(^2+—+-(^3+—+-h2-3三On

_y2gy2gW_

水流汇流

29

+△+式.pa3y32

Z33

z3+—+-+4Wl-3

y2gy2g

22

a2V2

ZPl|上凸,a3V3,h

2++一+-；—+%-3

y2gy2g

水流分流

22

皿7Pla2V2

勺z十+a+十CZ2+—+~~+h〃w,\-2

y2gy2g

22

马+且+笋=马+正+平+〃,

y2gy2g\rl-3

1.2流程中有能量输入或输出

以上所推导的总流能量方程，没有考虑由1-1断面到2-2断面之间，中途有能量输入水

流或从水流内部输出能量的情况。有些情况下，两个断面之间有能量的输入和输出，例如，

•抽水管路系统中设置的抽水机，是通过水泵叶片转动向水流输入能量。

30

如果选择的断面1-1到2-2之间有能量输入或输出时，水流能量方程为:

22

4+口+±a=z)+—+--+/?,

V2gy2g

式中，H为水力机械对单位重量液体所作的功。

当为输入能量时，H前符号为“+”，如水泵，，计算公式为

乩=

yQ

式中，M为马达功率

〃P为马达和抽水机总机械效率

单位：Ht(m)

总和7VP(N-m.s-1)=(W),或(kW)

1马力=735(W)=0.735(kW)

所以流程中有能量输入或输出

22

4+且+也±乩=22+口+。+〃

12gy2g

1、不可压缩恒定流

2、所选的两个过水断面必须是渐变流断面

3、水流汇流

31

+△+式.pa3y32

Z33

z3+—+-+4Wl-3

y2gy2g

22

Pl|a2V2上凸,a3V3,h

Z2++一+-；—+%-3

y2gy2g

水流分流

22

皿7Pla2V2

勺z十+a+十CZ2+—+~~+h〃w,\-2

y2gy2g

22

必+皿

勺Z十+2+十皿CZ3++〃“l-3

y2gy2g

4能量输入或输出

22

，.P\.a\VCLT-,正+侬j

Z|+一+——±+H~Z72+w

y2gy2g

1.3应用能量方程注意事项

1）选择一个任意的水平面，作为基准面，一般z>0公式中压强项取相对压强；

2）计算断面上z+p/Y值可取断面任一点的数值，但是习惯上，明渠取水面点，管道取管心

点值为代表；

3）平均流速是断面平均流速，与代表点和基准面选择无关。在渐变流的条件下，大部分情况

下的动能修正系数可取1:

4）两个断面之间的水头损失不要遗漏。

二、能量方程的应用举例

2.1判别水流运动方向

由于实际水流在运动过程中存在能量损失，根据恒定总流的能量方程，水流一定是从总

机械能高处流向总机械能低处。

2.2文丘里流量计

文丘里流量计是用于测量管道中流量大小的一种装置，它包括“收缩段”、“喉管”和“扩散

段”三部分。安装在需要测定的管段中。其测量原理就是恒定总流的能量方程。

•­•Pi+^-/n,h-r(z2-h)=p2

.M+且-%+正)=今〃

YYY

22

...Z”+以=Z2+&小

y2gY2g

Q=冰(d”%)Jl2.6〃(〃=0.95〜0.98)

Q=vcAc=&pAyj2^H0=ju.

32

2.3孔口恒定出流

Q=vA=£(PA、2gH。=〃Aj2gHo

cc

根据试验研究，对于小孔口

。〃e

0.97〜0.980.60〜0.620.63〜0.64

不同孔口形式的流速系数、收缩系数、流量系数是不同的，可参考有关手册。

2.4管咀恒定出流问题

33

22

+儿

2gY2g

>=

匕=/1广J2g=>Q=vcAc

也.+1

A1

£=Uc，。=/”，〃=£。

"J&C+7o

Q=匕4=£（P2g（H「Pc）=〃（J2g（%一氏）

34

要求管咀的长度（3〜4）d,管咀太短，管咀真空度受到破坏；管咀过长，管段阻力增

加，减弱流量。

可以比较一下，孔口和管嘴的流量大小，假定两者的水头和管径相同。

第七节恒定总流的动量方程

一、恒定总流的动量方程

由理论力学可知，质点系的动量定律为

质点系的动量在某个方向的变化，等于作用在质点系上所有外力的冲量在同一方向投影

的代数和。依据动量原理，推求液体运动的动量变化规律。

在恒定总流中，取一流段研究，如下图所示。

经过时间后，流体从1-2运动至1'-2'

35

V

1

经过时间△/后，流体从1-2运动至r-25

At忖间内水流动量变化AK

因为断面上的流速分布•般不知道，所以上述积分不能完成。如何解决这个积分问题？

比较式(2-68)和式(2-69)可知,

用断面平均流速代替点流速，造成的误差用一个动量修正系数修正，则

36

K\.v-J〃[CL4]d/=%d/

44

KI.T-J?%"2ddi2=BipV]jM2(142d/=pQ2/32v2dt

A24

J”必必Jii2U2dA2

法=5---------J3,=2---匕---。-----

按照动量原理，则

\K=K2-T-K\-\=pQ2P2v2dz-pQP\匕df=ZFdf

P2（AV2-AVI）=EF

写成投影式，则

PQ（02V2X-0MX）=£FX

<必必-。、5£月,

式中,Fx,Fy,Fz为作用于控制体上所有外力在三个坐

标方向的投影（不包括惯性力）；

B动量系数：对于渐变流断面£=1.02〜1.05

一般取£=1

二、动量方程的应用

1、方程中流速和作用力都是有方向的。写动量

方程之前，首先选择坐标轴，并注明其正向。

凡是和坐标轴方向一致的力和流速为正，反之，则为负。坐标轴是可以任意选择的（但

是必须是笛卡儿坐标），以计算方便为宜。

坐标轴的选择是有技巧的，坐标轴的选择应使得未知数数目越少越好，最好一个方程一

个。

2、取一个控制体。控制体可任意选择，通常由下列部分组成：

底部、侧部：固体边壁，例如，管壁，渠底

控制体表面：自由水面等

、横向边界：过水断面

例如，明渠水流：控制体包括有底板、侧边界，自由水面，过水断面

控制体取出后，在控制面上画出未知力

37

3、做出受力图，图上画上所有受力、流量、流速、压力等矢量。

4、动量方程是输出项减去输入项，不可颠倒。

况（仅2%-£册）=汇理

，闻电/a%

V

pQ（B1zz-P\V\，=£F]

5、未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假定正确：反之，则说明实际力的方向

和假定相反。

6、动量方程只能求解三个未知数（或者三个分量），如果未知数的数目多于三，必须联合其

他方程（连续方程、或能量方程）方可求解。

7、动量方程推导时，要求流量沿程相等。但是，实际应用时，流量沿程可不等（例如，有

汇流或分叉情况），但动量方程应改为下列形式

Z（阕外Z（即血匕）=ZK

,£（区/产Q2NS湛A'=£Fy

ji

E（pQ。。-Z（阕£%）1=Z£

38

x：Z（阕，,沙）2-Z（区n

E（PQJ外jx）2=PQ1脏2x+PQ3P3V3X

,/

Z（PQ/MX）I=PQI0FIX

2.1弯管水流对立面管壁的作用力

有一垂直立面90°弯管，轴线弧长A=3.14m,两断面高程差△z=2m,1—1断面中心压

强/?1=117.6kN/m2,水头损失〃w=0.1m,管径c/=0.2m,Q=0.06m3/s,试求

水流对弯管的作用力。

X：短(0-自h)=£FX=P「R,

Z：PQ(-0V-O)=EF,=P2-G-R:

39

22

av4P2.a2V，

7+h+'—+

Z.H1-----------Z)d------1---------Fnx

y2gy2g

%=?(及+且一为J

y

R,=卜仇pQvR=P-G+/3pQv

2尸_，/

D_Pi/p_P2加2

14巴一下

2.2水流对溢流坝的水平作用力

pQ(。期工-即0=%,=片比+尺

%=匕温

%=匕=—

2*'bh,

仇=B\=B

如。喘+T("W>R、n

凡若耐-硝-即Q喘福-

2.3水流对垂直固定平面壁的冲击力

从喷嘴中喷出的水流以速度V0射向与水流方向垂直的固定平面壁，当水流被平面阻挡

后，对称地分开。沿壁面的流速为V,若所考虑的流动在一个水平面上，重力不起作用，求

此时射流对壁面的冲击力。