习题课 椭圆的综合问题及应用教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

习题课椭圆的综合问题及应用教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容为《椭圆的综合问题及应用》，对应人教A版（2019）选择性必修第一册第四章第4节。教学内容主要包括椭圆的标准方程、椭圆的性质、椭圆与坐标轴的交点以及椭圆在实际问题中的应用。通过这些内容的学习，使学生深入理解椭圆的概念及其在实际生活中的运用。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了椭圆的基本概念、简单性质以及平面坐标系中的表示方法。在此基础上，本节课将引导学生运用所学的理论知识解决椭圆综合问题，如求椭圆与坐标轴的交点、判断点与椭圆的位置关系等，进一步巩固和提高学生对椭圆知识点的理解和应用能力。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和数据分析。通过椭圆综合问题及应用的探究，培养学生逻辑推理能力，让学生在解决问题的过程中学会运用数学语言和符号进行逻辑论证；同时，强化数学建模能力，使学生能够将现实问题抽象为椭圆数学模型，并用所学知识进行分析和解决；此外，注重数据分析能力的培养，让学生在处理椭圆相关数据时，能够准确提取信息，进行合理的数学解释，从而提升学生的数学核心素养。重点难点及解决办法本节课的重点在于椭圆综合问题的求解方法和椭圆在实际问题中的应用。难点主要体现在对椭圆性质的理解和运用，以及将实际问题抽象为椭圆模型的建立。

解决办法及突破策略：

1.针对重点，通过典型例题的讲解和练习，引导学生掌握椭圆问题的解题思路和方法，如利用椭圆标准方程、性质等进行求解。

2.对于难点，采用以下策略：

a.利用几何画板或实物模型，帮助学生直观理解椭圆的性质，提高对椭圆概念的认识。

b.通过小组讨论、合作探究的方式，让学生在交流中学会将实际问题抽象为椭圆模型，培养学生数学建模能力。

c.设计具有梯度的问题，由浅入深地进行引导，使学生逐步克服难点，提高解题能力。教学资源1.软件资源：几何画板软件、数学公式编辑器。

2.硬件资源：多媒体教学设备、投影仪、白板。

3.课程平台：校园网络教学平台、数字化教室。

4.信息化资源：电子教案、PPT课件、教学视频、数字化教材。

5.教学手段：讲授、示范、小组讨论、合作探究、任务驱动、反馈评价。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过校园网络教学平台，发布预习PPT和探究性问题，要求学生预习椭圆的标准方程和性质。

-设计预习问题：围绕椭圆的定义和应用，设计问题，如“椭圆在日常生活中有哪些应用？”

-监控预习进度：通过平台数据和学生反馈，了解预习情况，确保学生对基础知识有所了解。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生按照要求阅读资料，理解椭圆的基本概念和性质。

-思考预习问题：学生尝试回答预习问题，记录疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题通过平台提交。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生独立思考和自主学习的能力。

-信息技术手段：利用平台共享资源，提高预习效率。

作用与目的：

-为课堂学习椭圆综合问题做好准备。

-培养学生自主探究和问题提出的能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示地球绕太阳运动的椭圆轨道视频，引出椭圆的应用。

-讲解知识点：详细讲解椭圆综合问题的求解方法和实际应用。

-组织课堂活动：设计小组讨论，探讨如何将实际问题转化为椭圆数学模型。

-解答疑问：针对学生问题，给予及时解答。

学生活动：

-听讲并思考：积极参与课堂，思考椭圆问题的解决策略。

-参与课堂活动：在小组讨论中，共同解决如何建立椭圆模型的问题。

-提问与讨论：对疑难问题进行提问，与同学和老师共同讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：系统讲解椭圆综合问题的求解方法。

-实践活动法：通过小组讨论，将理论知识应用于实际问题。

-合作学习法：加强团队合作，提高解决问题的能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解椭圆综合问题的求解策略。

-通过实践活动，培养学生数学建模和数据分析的能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据课堂内容，布置相关习题，巩固椭圆综合问题的解决方法。

-提供拓展资源：推荐与椭圆相关的拓展阅读和视频，丰富学生知识面。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生个性化反馈。

学生活动：

-完成作业：认真完成作业，巩固学习成果。

-拓展学习：利用拓展资源，加深对椭圆知识点的理解。

-反思总结：对学习过程进行反思，提出改进措施。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和深入学习。

-反思总结法：帮助学生通过反思，提升学习效果。

作用与目的：

-巩固课堂所学，提高解题技能。

-拓宽知识视野，促进个性化学习。

-通过反思，培养学生自我监控和自我提升的能力。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-《圆锥曲线与几何光学》：介绍椭圆、双曲线和抛物线在几何光学中的应用，深化学生对椭圆在实际问题中应用的理解。

-《椭圆轨道与天体力学》：探讨椭圆轨道在天体运动中的应用，如行星运动、卫星轨道设计等，帮助学生了解椭圆在物理学中的重要性。

-《椭圆方程的几何解释》：从几何角度解释椭圆方程，提供对椭圆性质和方程关系的深入理解。

-《椭圆的对称性和旋转曲面》：探讨椭圆的对称性质及其与其他旋转曲面的关系，扩展学生对椭圆几何特征的认识。

2.课后自主学习和探究

-研究椭圆的极坐标方程及其应用，探究极坐标方程与直角坐标方程之间的转换方法。

-分析椭圆在不同领域的应用，如建筑、艺术、工程等，并撰写研究报告。

-探索椭圆与双曲线、抛物线之间的关系，理解它们在数学和物理学中的不同作用。

-研究椭圆的面积计算方法，包括利用积分和几何方法，并比较各自的优缺点。

-设计一个实际问题，要求学生运用椭圆知识建立数学模型，并解决该问题，如椭圆跑道的设计、椭圆窗口的优化等。典型例题讲解例题1：求椭圆的标准方程。

给定椭圆的两个焦点坐标分别为(-2,0)、(2,0)，且椭圆上一点P(x,y)到两焦点的距离之和为6，求椭圆的标准方程。

解答：设椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（a>b>0）。

由题意知，椭圆的焦距为4，即2c=4，所以c=2。

又因为椭圆上一点P到两焦点的距离之和为6，即2a=6，所以a=3。

根据椭圆的性质，有\(a^2=b^2+c^2\)，代入已知数据，得\(b^2=a^2-c^2=9-4=5\)。

因此，椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)。

例题2：求椭圆与坐标轴的交点。

已知椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)，求椭圆与x轴、y轴的交点。

解答：令y=0，得\(\frac{x^2}{4}=1\)，解得x=±2，所以椭圆与x轴的交点为(2,0)、(-2,0)。

令x=0，得\(\frac{y^2}{9}=1\)，解得y=±3，所以椭圆与y轴的交点为(0,3)、(0,-3)。

例题3：判断点与椭圆的位置关系。

判断点P(1,2)是否在椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)上。

解答：将点P的坐标代入椭圆方程，得\(\frac{1^2}{4}+\frac{2^2}{9}=\frac{1}{4}+\frac{4}{9}\neq1\)，所以点P不在椭圆上。

例题4：求椭圆的切线方程。

求椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)在点P(1,2)处的切线方程。

解答：首先，求椭圆在点P(1,2)处的导数。

对椭圆方程两边同时对x求导，得\(\frac{2x}{4}+\frac{2y\cdoty'}{9}=0\)，其中y'为y对x的导数。

在点P(1,2)处，y'的值为\(-\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{2}/\frac{4}{9}=-\frac{9}{4}\)。

所以，切线的斜率为\(-\frac{9}{4}\)。

根据点斜式，切线方程为y-2=-\(\frac{9}{4}\)(x-1)，整理得9x+4y-18-8=0，即9x+4y-26=0。

例题5：椭圆的实际应用问题。

某体育馆的椭圆跑道长轴为60米，短轴为40米，求跑道的周长。

解答：椭圆的周长公式为\(C=\pi(a+b)\)。

代入长轴60米，短轴40米，得\(C=\pi(60+40)=100\pi\)米。

所以，跑道的周长为100π米。教学反思与改进在本次教学过程中，我深刻反思了教学内容、方法以及学生的学习效果，发现了一些需要改进的地方。

首先，在教学内容的安排上，我发现学生对椭圆综合问题的理解还有待加强。在今后的教学中，我计划更加注重引导学生从直观的几何角度理解椭圆的性质，比如通过几何画板动态展示椭圆的面积、周长变化，帮助学生形成直观的认知。

其次，在教学方法上，我发现部分学生对课堂讨论的参与度不高，可能是因为讨论问题过于抽象或难度较大。为了解决这个问题，我计划设计更加贴近学生生活实际的问题，降低讨论难度，激发学生的学习兴趣。同时，我还会增加小组合作学习的比重，让学生在合作中互相学习，共同进步。

此外，在教学过程中，我还发现部分学生对椭圆的实际应用了解不够深入。为了提高学生的应用能力，我计划在今后的教学中增加一些实际应用案例的讲解，让学生了解椭圆在实际生活中的应用，如椭圆轨道的设计、椭圆窗口的优化等。

在学生作业方面，我发现部分学生对椭圆综合问题的解题思路不够清晰。为了帮助学生提高解题能力，我计划在今后的教学中加强对解题思路的讲解，让学生掌握解题的关键步骤。同时，我还会加强对学生作业的批改和反馈，及时了解学生的学习情况，给予个性化的指导。

在教学评价方面，我发现部分学生对自我评价的能力较弱。为了提高学生的自我评价能力，我计划在今后的教学中引导学生进行自我反思，让学生在学习过程中不断总结经验，找到自己的不足，并提出改进措施。

在今后的教学中，我将以这些问题为导向，不断调整和优化教学方法，以提高教学效果，帮助学生更好地掌握椭圆知识。同时，我也会关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，以更好地满足学生的学习需求。教学评价与反馈2.小组讨论成果展示：在小组讨论环节，大部分学生能够积极参与讨论，共同解决椭圆综合问题。然而，部分小组的讨论成果展示不够清晰，可能是因为讨论过程中缺乏有效的组织和引导。在未来的教学中，我将加强小组讨论的组织和指导，提高讨论效果。

3.随堂测试：通过随堂测试，我发现大部分学生对椭圆综合问题的解答能力有所提高，但仍有一部分学生在解题过程中存在困难。在今后的教学中，我将加强对解题思路的讲解，帮助学生掌握解题关键步骤。

4.课后作业：在课后作业环节，大部分学生能够认真完成作业，巩固课堂所学知识。然而，也有部分学生在作业中出现了一些错误，说明对椭圆综合问题的理解还有待加强。在今后的教学中，我将加强对学生作业的批改和反馈，及时了解学生的学习情况，给予个性化的指导。

5.教师评价与反馈：针对本次教学，我认为在教学内容和方法上还存在一些不足，需要进一步改进。在今后的教学中，我将根据学生的学习情况和反馈，调整教学策略，以提高教学效果。同时，我也会关注学生的学习进步，及时给予鼓励和表扬，激发学生的学习积极性。内容逻辑关系2.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\fra