数学（选修45）练习4.2三个正数平均值不等式的实际应用举例

第4章4.2一、选择题1．周长为24的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱，该圆柱的体积的最大值是()A．256π B．216πC．108π D．864π解析：设矩形的两边分别为x，y，则2x＋2y＝24，圆柱的体积为V，则V＝π·x2y＝eq\f(π,2)x·x·2y≤eq\f(π,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋2y,3)))3＝256π.当且仅当x＝8，y＝4时，等号成立．答案：A2．某公司租地建仓库，每月占地费用y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离的平方成正比，如果在距车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为20万元和80万元，那么要使两项费用之和最小，A．5km处 B．C．3km处 D．解析：设距离为x，y1＝eq\f(k,x)，y2＝mx2，由x＝10时，y1＝20，y2＝80，得k＝200，m＝eq\f(4,5).y1＋y2＝eq\f(200,x)＋eq\f(4,5)x2＝eq\f(100,x)＋eq\f(100,x)＋eq\f(4,5)x2≥3eq\r(3,8000)＝60，当且仅当eq\f(100,x)＝eq\f(4,5)x2，即x＝5时等号成立．答案：A二、填空题3．圆柱的体积为16π，则其表面积的最小值为__________.解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则πr2h＝16π，h＝eq\f(16,r2).S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2π×eq\f(16,r)＝2πr2＋eq\f(16π,r)＋eq\f(16π,r)≥3πeq\r(3,2×162)＝24π，当且仅当2r2＝eq\f(16,r)，即r＝2时等号成立．答案：24π4．26辆汽车运送一批救灾物资从某市以xkm/h的速度匀速开往相距400km的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,20)))3km，则这批物资全部到达灾区最少需要__________解析：设全部物资到达灾区所需时间为th，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(25×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,20)))3＋400))km所用的时间，因此，t＝eq\f(25×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,20)))3,x)＋eq\f(400,x)＝eq\f(25x2,203)＋eq\f(200,x)＋eq\f(200,x)≥3eq\r(3,\f(25×2002,203))＝15(h)．当且仅当eq\f(25x2,203)＝eq\f(200,x)，即x＝40时等号成立．答案：15三、解答题5．设圆锥的母线长为1，问圆锥的底面半径为多少时，圆锥的体积最大？解法一：设底面半径为r，高为h，则r2＋h2＝1，圆锥的体积为V＝eq\f(1,3)πr2h，∴V2＝eq\f(π2,9)r4h2＝eq\f(π2,18)(r2·r2·2h2)≤eq\f(π2,18)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2＋r2＋2h2,3)))3＝eq\f(4π2,35).即V≤eq\f(2\r(3),27)π，当且仅当r2＝2h2，即r＝eq\f(\r(6),3)时，等号成立．∴V最大时，r＝eq\f(\r(6),3)，Vmax＝eq\f(2\r(3),27)π.解法二：如图，设母线与底面所成的角为θ，则底面半径为cosθ，高h＝sinθ.∵圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πcos2θsinθ＝eq\f(π,3)cos2θsinθ，记μ＝cos2θsinθ，则μ2＝cos4θsin2θ＝eq\f(1,2)[cos2θ·cos2θ·(2sin2θ)]≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos2θ＋cos2θ＋2sin2θ,3)))3＝eq\f(4,27)，∴μ≤eq\f(2,9)eq\r(3)，当且仅当cos2θ＝2sin2θ时，等号成立．∴V≤eq\f(2\r(3),27)π，即V的最大值为eq\f(2\r(3),27)π，此时cos2θ＝2sin2θ.∴cosθ＝eq\f(\r(6),3)，即圆锥的底面半径为eq\f(\r(6),3).6．将半径为R的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷成一个圆锥．当剪去的扇形中心角α的弧度数为多大时，圆锥的体积最大？并求出这个最大体积．解：设卷成的圆锥底面半径为r，则圆锥高为eq\r(R2－r2).V圆锥＝eq\f(1,3)πr2eq\r(R2－r2)＝eq\f(π,3)eq\r(r2·r2·R2－r2)＝eq\f(π,3\r(2))eq\r(r2·r2·2R2－2r2)≤eq\f(π,3\r(2))eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2＋r2＋2R2－2r2,3)))3)＝eq\f(2\r(3),27)πR3.当且仅当r2＝2R2－2r2，即r＝eq\f(\r(6),3)R时等号成立，这时V圆锥最大．此时，圆锥侧面展开的扇形的中心角为eq\f(2πr,R)＝eq\f(2\r(6),3)π，∴剪去的扇形中心角α为2π－eq\f(2\r(6),3)π.∴当剪去的扇形中心角α＝2π－eq\f(2\r(6),3)π时，卷成的圆锥体积最大，这个最大体积是eq\f(2\r(3),27)πR3.1.现在一些家庭常常在圆桌上方装一只“拉灯”，由于灯到桌面的距离可以调节，这样桌面上的光线亮度可以根据不同需要加以选择．根据光学定律，电灯A到圆桌边缘B的照度i＝eq\f(ksinφ,l2)，其中k为电灯的发光强度，l为电灯到圆桌边缘的距离，φ为电灯到圆桌边缘光线与桌面所成的角．半径为r的圆桌上方多高作为灯的位置(如图)，才能使桌子边缘上的照度最大？解：在公式i＝eq\f(ksinφ,l2)中，0＜φ＜eq\f(π,2)，在Rt△AOB中，l＝eq\f(r,cosφ)，代入上式，得i＝eq\f(k,r2)sinφcos2φ＝eq\f(k,r2)eq\r(\f(1,2)·2sin2φ·cos2φ·cos2φ)≤eq\f(k,r2)eq\r(\f(1,2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sin2φ＋cos2φ＋cos2φ,3)))3)＝eq\f(2\r(3)k,9r2).当且仅当2sin2φ＝cos2φ，即tanφ＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立．∴当h＝rtanφ＝eq\f(\r(2),2)r时，圆桌边缘的照度最大，最大值为eq\f(2\r(3)k,9r2).2.如图所示，已知圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x，下底面半径与上底面半径之比为λ(0＜λ＜1)的内接圆台．当x为何值时，圆台的体积最大？并求出这个最大的体积．解：设内接圆台的上底面半径为r，则下底面半径为λr，由相似三角形的性质，得r＝Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,H))).∴V圆台＝eq\f(1,3)πx(r2＋r×λr＋λ2r2)＝eq\f(1,3)πR2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,H)))2·(1＋λ＋λ2)＝eq\f(1,6)πR2H(1＋λ＋λ2)eq\f(2x,H)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,H)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,H))).∵0＜eq\f(x,H)＜1，∴1－eq\f(x,H)＞0.又eq\f(2x,H)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,H)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,H)))＝2.∴V圆台≤eq\f(1,6)πR2H(1＋λ＋λ2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\f(2x,H)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,H)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,H))),3)))3＝eq\f(4,81)πR2H(1＋λ＋λ2)．当且仅当eq\f(2x,H)＝1－eq\f(x,H)，即x＝eq\f(H,3)时，等号成立．∴当x＝eq\f(H,3)时，Vmax＝eq\f(4,81)πR2H(1＋λ＋λ2)．3．无论是工业设备还是家庭生活用具，圆柱形的容器都不少见．你是否留心了多数圆形柱容器不是细细长长的，也不是扁扁的，而是高和底面直径大致相等，你是否想过这是为什么？当然，高和底面直径大致相等的圆柱形看上去比较匀称，这是一条理由．但更主要的原因似乎不在这里．我们知道，容器的容积往往是一定的，但表面积却随着形状而改变，这就意味着同样容积的圆柱形容器有的用料较省而有的则费料，如果仅从成本角度考虑，自然应制造用料最省的，那么究竟怎样的圆柱形容器用料最省呢？(假设容器是密闭的)解：如图所示，设容器的高为h，底面半径为r，表面积为S，容积为V，V为定值．于是有V＝πr2h，①及S＝2πr2＋2πrh.②根据三个正