第二学期高二年级数学周考详细答案

20232024学年第二学期高二年级数学周考考试范围：解析几何、统计案例、概率（满分150分，用时120分钟）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校地理小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图，则下列说法正确的是（

）A．气压与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈负相关C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很弱【答案】C【详解】由图1知气压随海拔高度的增加而减小，由图2知沸点随气压的升高而升高，所以气压与海拔高度呈负相关，沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关．由于两个散点图中的点都呈线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故选：C．2．圆的圆心到直线的距离为（

）A．0B．1 C． D．【答案】D【详解】圆化简为标准方程为，圆心为，则圆心到直线的距离.故选：D3.现有1000名学生参加数学测试，其中测试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示测试成绩优秀（高于135分）的人数占总人数的，则此次测试成绩在85分到110分之间的人数约为（）A.200 B.300 C.400 D.500【答案】B【解析】,，所以此次测试成绩在85分到110分之间的人数约为人.故选：B4．已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，P为椭圆上一点，的最大值为3，且，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为的最大值为3，所以．因为，所以，即，所以，．又，所以，所以椭圆的标准方程为故选：B5．用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，则，即，即，所以.故选：A.6.直线与曲线的公共点的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】当时，曲线，即，双曲线右半部分；一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行；当时，曲线，即，椭圆的左半部分；画出曲线和直线的图像，如图所示：根据图像知有个公共点.故选：B

7.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如下图所示：因为，则，，所以，，因为，则，设，则，则，由勾股定理可得，即，整理可得，因为，解得，所以，，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B8.抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，事件与事件独立C．当时， D．当时，事件与事件独立【答案】D【详解】当时，表示一正一反，故，故A错误；此时，，，故B错误；当时，表示并非每次都是正面朝上，故，故C错误；此时，，，所以，故D正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是（

）

A．相关系数的绝对值变小B．决定系数变大C．残差平方和变大D．解释变量与响应变量的相关性变强【答案】BD【解析】由图可知：较其他的点偏离直线最大，所以去掉后，回归效果更好.对于选项A：相关系数越接近于1，线性相关性越强，所以去掉后，相关系数的绝对值变大，故A错误；对于选项B：决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以去掉后，决定系数变大，故B正确；对于选项C：残差平方和变大，拟合效果越差，所以去掉后，残差平方和变小，故C错误对于选项D：由选项A可知：去掉后，相关系数的绝对值变大，所以解释变量与响应变量的相关性变强，故D正确；故选：BD.10．设、是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列选项一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因为，，所以,，故A正确，B错误；又且，所以，故C正确，D正确.故选：ACD11.已知动直线：和：，是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（

）A．点的坐标为 B．点的坐标为C．的最大值为10 D．的轨迹方程为【答案】AC【详解】直线的方程可化为，所以直线过定点，直线的方程可化为，所以直线过定点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以A正确,B错误，由已知，所以直线与直线垂直，即，因为，所以，故，所以，当且仅当时等号成立，C正确；因为，故，设点的坐标为，则，化简可得，又点不是直线的交点，点在圆上，故点的轨迹为圆除去点，D错误；故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为．【答案】【解析】依题意，是直线的一个方向向量，所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为．13.在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则．【答案】16【详解】设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，因为所以，则，又这两对数据为，所以，所以，所以14．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分．已知该卫星接收天线的口径，深度．信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该抛物线上一点，则点到直线和直线的距离之和的最小值是，若以为直径的圆与y轴的公共点坐标为，则点的横坐标为．【答案】2【详解】由图2，可设抛物线方程为，过点，∴，抛物线方程为，∴，是抛物线的准线，∴到的距离等于．（1）过作于，则到直线和直线的距离为之和∵抛物线的焦点∴过F作于，和抛物线的交点就是，∴（当且仅当三点共线时等号成立）∴点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线距离，∴最小值．（2）取中点为，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为则为梯形的中位线，由抛物线的定义可得，所以，所以，以为直径的圆与y轴相切，所以点为圆与y轴的切点，所以D点的纵坐标为，又D为中点，所以P点纵坐标为，又点P在抛物线上，则有，解得，所以P点横坐标为．故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）平面直角坐标系中，动点到的距离比到直线：的距离小2.(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点且倾斜角为60°的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.（1）由题意动点到的距离比到直线：的距离小2，即动点到的距离与点到直线：的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，所以，则，所以动点M的轨迹方程是.………………5分（2）由已知可得直线的方程是即，设，由得，，所以，则，故.………………13分16．（15分）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，则，，所以第二题抽到的是概念叙述题的概率.………………6分（2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，此时乙箱中有4道概念叙述题，3道计算题，故有，此时乙箱中有2道概念叙述题，5道计算题，故有，，此时乙箱中有3道概念叙述题，4道计算题，故有.………………15分17．（15分）己知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．(1)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．【详解】（1）由题意可得，解得，因此，双曲线的方程为设，则，渐近线为，P到两条渐近线的距离之积.………………7分（2）由已知，得，设或，在双曲线上，所以，因此或，对称轴为，由于或，所以当时，取得最小值为.………………15分18．（17分）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小赵同学对某品牌新能源汽车近5年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，数据见下表：年份代号12345广告费投入4.85.66.27.68.8并随机调查了200名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表认可不认可50岁以下市民703050岁以上市民6040(1)求广告费投入与年份代号之间的线性回归方程，并求在样本点处的残差；(2)依据小概率值的独立性检验，分析市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度是否有关.(3)若以这200名市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度情况估计整体情况，则从全市市民中随机选取20人，记选到认可该品牌新能源汽车且50岁以上的市民人数为，求的数学期望与方差.附：①回归直线中，，；②，.0.10.010.0012.7066.63510.828【详解】（1），，则，则，故；………………5分当时，，所以残差.………………7分（2）零假设为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关.根据列联表中的数据，经计算得到.根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关.………………12分（3）若以这200名市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度情况估计整体情况，则从全市市民中随机选取1人，记选到认可该品牌新能源汽车且50岁以上的市民的概率为，若从全市市民中随机选取20人，记选到认可该品牌新能源汽车且50岁以上的市民人数为，则，所以数学期望与方差分别为.………………17分19．（17分）已知椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆上点处的切线方程是，过直线上一点引C的两条切线，切点分别是，①求证：直线恒过定点；②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【详解】（1）由题意可知：，所以，所以，所以椭圆的方程为；……