1.1.1空间向量及其运算（7大题型提分练）

1.1.1空间向量及其运算题型一空间向量的概念理解1．（2324高二上·陕西咸阳·月考）在长方体中，下列向量与是相等向量的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示的长方体中，A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确；C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确，故选：B2．（2324高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．任意两个空间向量总是共面的C．零向量没有方向D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】B【解析】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误，对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确，对于C，零向量的方向是任意的，故C错误，对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误，故选：B3．（2324高二上·黑龙江肇东·月考）给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】对于①，，故①为真命题；对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题；对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题；对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题；对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题．故假命题的个数为4.故选：C4．（2324高二下·云南保山·开学考试）（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（

）A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量B．平行且模相等的两个向量是相等向量C．若，则D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同【答案】BCD【解析】对于选项A：由相等向量的定义知A正确；对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错；对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错；对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错，故选：BCD．题型二空间向量的线性运算1．（2324高二上·广东佛山·月考）在长方体中，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A2．（2324高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则，所以.故选：C3．（2324高二上·河南开封·期末）（多选）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确；对于B，，错误；对于C，，正确；对于D，，错误.故选：AC4．（2324高二上·贵州·月考）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为分别为的中点，所以.因为为的重心，所以，所以.故选：B.题型三向量共线的判断与应用1．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为.【答案】－/【解析】由题意知，存在实数λ使得，即，解得.故答案为：2．（2324高二上·全国·课后作业）已知三点共线，为空间任意一点，，则.【答案】【解析】因为三点共线，∴，即，，又，所以，所以.故答案为：.3．（2324高二上·福建泉州·月考）设是不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数k为．【答案】【解析】由，，得，由A，B，D三点共线，得，而，因此，解得，所以实数k为.故答案为：4．（2324高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为，，所以，因为三点共线，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故选：A.题型四求空间向量的数量积1．（2324高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】A【解析】由题意可知：，所以.故选：A.2．（2324高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由正三棱柱可得，，而，故，故选：A.3．（2324高二上·辽宁沈阳·期中）如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【解析】，．故选：C．4．（2324高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（

）A．48 B．32 C． D．【答案】C【解析】.故选：C题型五空间向量的长度问题1．（2324高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则.【答案】【解析】单位向量两两夹角均为，则，所以.故答案为：2．（2324高二上·福建泉州·月考）已知单位向量，，中，，，则．【答案】【解析】因为，，且，，为单位向量，则.故答案为：3．（2324高二上·河北石家庄·期中）已知空间中三个单位向量两两夹角均为60°．OA的中点为M，BC的中点为N，则．【答案】【解析】如图，,所以，所以，故答案为:.4．（2324高二上·山东济宁·期中）如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，，，，，则，因为，所以，，因此，.故选：D.题型六求空间向量的夹角1．（2324高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解析】由题设，则，所以，又，可得，即.故选：C2．（2324高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为所以，.故选：B.3．（2324高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（

）A． B． C． D．0【答案】D【解析】如图所示，∵，又，，则∴，∴，.故选：D4．（2324高二上·山西吕梁·期中）在四面体中，，，，，则．【答案】【解析】因为，所以，又，所以，所以.又，，所以，所以.又，所以．故答案为：题型七求空间向量的投影向量1．（2324高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由题意，，，，则空间向量在向量方向上的投影数量为.所以所求投影向量的模长为2.故选：A2．（2223高二上·北京朝阳·期中）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】四棱锥如图所示，底面是矩形，∴，底面，底面，∴，过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形,，故选：B3．（2223高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，与夹角的余弦值为，在上的投影向量为.故选：D．4．（2223高二上·广东佛山·月考）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是

.【答案】【解析】在中，由余弦定理得，，而平面ABC，，故，，在中，，即，得故向量在向量上的投影向量是故答案为：1．（2324高二上·江西新余·期末）如图，在四棱柱中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，与交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在四棱柱中，四边形是平行四边形，又与交于点，所以是的中点，所以，又，，所以，即，故选：A．2．（2324高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设，由于，所以即为直线，所成的角,故,又，所以，因此异面直线，成角余弦值为，故选：A3．（2324高二上·青海·期中）（多选）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（

）A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上【答案】ABD【解析】作出三棱柱，如图，对于A，当时，，则，所以点在棱上，故A正确；对于B，当时，，所以点在线段上，故B正确；对于C，当时，由B知，所以为棱的中点，故C错误；对于D，当时，，所以，则，即，所以点在线段上，故D正确.故选：ABD.4．（2324高二上·江西·月考）已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则．【答案】/【解析】如下图所示：因为为的重心，则，可得，则，所以，，故.故答案为：.5．（2324高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是．【答案】【解析】如图，设，，在中，