作业06暑期培优必刷压轴题（7个考点60题专练）原卷版

完成时间：月日天气：作业06暑期培优必刷压轴题（7个考点60题专练）一．直线与平面所成的角（共13小题）1．（2023春•天宁区校级月考）已知图1中，正方形的边长为，，，，是各边的中点，分别沿着，，，将，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面部与平面垂直，再顺次连接，，，，得到一个如图2所示的多面体，则在该多面体中，有A．平面平面 B．直线与直线所成的角为 C．该多面体的体积为 D．直线与平面所成角的正切值为2．（2024春•南通期中）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则A．平面平面 B．为的中点时， C．存在点，使得直线与的距离为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为3．（2024•仪征市模拟）如图，在四面体中，，，，为的中点，点是棱的点，则A．平面 B．四面体的体积为 C．四面体外接球的半径为 D．为中点，直线与平面所成角最大4．（2023•广陵区校级模拟）如图，菱形与四边形相交于，，平面，，，，为的中点，．求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值．5．（2024•江苏模拟）如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直，长度分别为1，2，2．若，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数的值；（2）求直线与平面所成角的正弦值．6．（2024春•启东市期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，平面，，点为中点．（1）证明：平面平面；（2）若，求与所成角的余弦值；（3）求与平面所成角的正弦值的取值范围．7．（2024春•姑苏区校级月考）如图，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，是的中点．（1）在图中作出并指明平面和平面的交线；（2）求证：；（3）当时，求与平面所成角的正切值．8．（2023春•淮安月考）如图，在直棱柱中，，，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．9．（2023春•高邮市期中）已知图1中，正方形的边长为，、、、是各边的中点，分别沿着、、、把、、、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则A．平面平面 B．直线与直线所成的角为 C．直线与平面所成角的正切值为 D．多面体的体积为10．（2023春•海安市校级期中）为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．则下列结论正确的是A．经过三个顶点，，的球的截面圆的面积为 B．异面直线与所成的角的余弦值为 C．直线与平面所成的角为 D．球离球托底面的最小距离为11．（2024•烟台模拟）在正方体中，，点满足，其中，，，，则下列结论正确的是A．当平面时，与所成夹角可能为 B．当时，的最小值为 C．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 D．当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为12．（2022春•新吴区校级期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点．（1）证明：是直角三角形；（2）若，且当直线与平面所成角正切值为时，直线与平面所成角的正弦值．13．（2022秋•玄武区校级月考）如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．二．二面角的平面角及求法（共32小题）14．（2024•扬中市校级模拟）如图，在三棱柱中，平面平面，，．（1）证明：；（2）求二面角的正弦值．15．（2024•南通四模）如图，在四棱台中，平面，，，，，．（1）记平面与平面的交线为，证明：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．16．（2024•北京）已知四棱锥，，，，，是上一点，．（1）若是中点，证明：平面．（2）若平面，求面与面夹角的余弦值．17．（2024•天津）已知四棱锥中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）求点到平面的距离．18．（2024•甲卷）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．19．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求．20．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．21．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥中，，，，为中点．（1）证明；（2）点满足，求二面角的正弦值．22．（2023•南通二模）在长方体中，，，，则A．若直线与直线所成的角为，则 B．若过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则 C．若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则 D．若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则23．（2023秋•双城区校级月考）在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为、的中点．（1）证明：；（2）求二面角正弦值的大小．24．（2024•通州区开学）如图，在三棱柱中，平面平面，为等边三角形，，，，分别是线段，的中点．（1）求证：平面；（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．25．（2023秋•通州区期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，点在线段上．（1）当是中点时，求点到平面的距离；（2）当二面角的正弦值为时，求的值．26．（2023秋•江阴市期中）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．27．（2023•盱眙县校级四模）如图，在平面五边形中是边长为2的等边三角形，四边形是直角梯形，其中，，，．将沿折起，使得点到达点的位置，且使．（1）求证：平面平面；（2）设点为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面所成的二面角的正弦值．28．（2023•姑苏区校级模拟）已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，，平面平面．（1）证明：；（2）三棱锥的外接球的表面积为，求平面与平面夹角的余弦值．29．（2023•润州区校级二模）如图，，分别是圆台上、下底的圆心，为圆的直径，以为直径在底面内作圆，为圆的直径所对弧的中点，连接交圆于点，，，为圆台的母线，．（1）证明：平面（2）若二面角为，求，与平面所成角的正弦值．30．（2024春•邗江区校级期中）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；（1）证明：无论取何值，总有；（2）当取何值时，直线与平面所成角最大？并求该角取最大值时的正切值；（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．31．（2023秋•无锡期末）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．32．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在四棱锥中，直线平面，，，．求证：直线平面．（Ⅱ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．33．（2022秋•江阴市期末）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面，点满足．（1）若，求证：平面平面；（2）设平面与平面的夹角为，若，求的值．34．（2023春•雨花台区校级月考）如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点是的中点．（1）证明：；（2）求点到的距离；（3）求二面角的大小．35．（2023春•宿城区校级月考）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连结，，得到图②的四棱锥．（1）求四棱锥的体积的最大值；（2）若棱的中点为，求的长；（3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．36．（2023春•鼓楼区校级月考）正三棱柱底边长为2，，分别为，的中点．已知为线段上的点，且，求证：面；若二面角所成角的余弦值为，求的值．37．（2023春•金坛区校级期末）在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，．（1）若为的中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比；（2）若四棱锥的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值；（3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围．38．（2023春•宝应县期中）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；（Ⅰ）证明：无论取何值，总有；（Ⅱ）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；（Ⅲ）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．39．（2023春•天宁区校级月考）如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，异面直线和所成角等于．（1）求直线和平面所成角的正弦值的大小；（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点在棱上的位置；若不存在，说明理由．40．（2023•徐州开学）如图正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．41．（2023秋•工业园区月考）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．42．（2023春•润州区校级月考）在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点，分别在线段，上，二面角的大小为．（1）若，，，证明：平面；（2）若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．43．（2024春•海州区校级月考）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．（1）求证：平面，并求直线和平面的距离；（2）求二面角的大小；（3）试在线段上确定一点，使与所成的角是．44．（2023秋•京口区校级月考）如图，四棱锥中，为矩形，平面平面．（1）求证：；（2）若，，，问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值．45．（2023春•扬中市校级期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，分别是棱，的中点．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）若二面角为，证明平面平面；求直线与平面所成角的正弦值．三．离散型随机变量及其分布列（共1小题）46．（2024春•锡山区校级期中）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中．（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值；（3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．四．离散型随机变量的期望与方差（共8小题）47．（2024•扬中市校级模拟）甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击．（1）设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量，求；（2）甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙．48．（2024•江苏模拟）某足球训练基地有编号为1，2，3，，的位学员，在一次射门考核比赛中，学员有两次射门机会．每人第一次射中的概率为，第二次射中的概率为，假设每位学员射门过程是相互独立的，比赛规则如下：①按编号从小到大的顺序进行，第1号学员开始第1轮比赛，先第一次射门；②若第，2，3，，号学员第一次射门未射中，则第轮比赛失败，由第号学员继续比赛；③若第，2，3，，号学员第一次射门射中，再第二次射门，若该学员第二次射门射中，则比赛在第轮结束，该学员第二次射门未射中，则第轮比赛失败，由第号学员继续比赛；④若比赛进行到了第轮，则不管第号学员的射门情况，比赛结束．（1）当时，设随机变量表示3名学员在第轮比赛结束，求随机变量的分布列；（2）设随机变量表示名学员在第轮比赛结束．①求随机变量的分布列；②求证：单调递增，且小于3．49．（2024•如皋市模拟）如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求的分布列和数学期望．50．（2024•鼓楼区校级模拟）某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为，（元．（1）求，的分布列；（2）求；（3）若，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．参考数据：．51．（2024•江苏模拟）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动．（1）某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止．求该顾客取到写有卡片的概率．（2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条．设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为．①若，，求；②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值．（取52．（2024•苏州模拟）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）．（1）比较三种随机变量的数学期望大小；（2）现单独研究棱长，记且，其展开式中含项的系数为，含项的系数为．①若，对，3，4成立，求实数，，的值；②对①中的实数，，用数字归纳法证明：对任意且，都成立．53．（2024•武进区校级一模）七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型．为研究此类题型的选拔能力，建立以下模型．有数组，，，和数组，，，，规定与相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”．设为时，对于任意都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数．（1）请直接写出（1），（2）的值；（2）已知．①对，，，和，，，进行随机配对，记为“正确配对”的个数．请写出的分布列并求；②试给出的证明．54．（2022秋•玄武区校级期末）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中两次的概率；求该射手的总得分的分布列及数学期望．五．相关系数（共1小题）55．（2024•玄武区校级模拟）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，，2，，16．（1）求，，2，，的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在，之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在，之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到附：样本，，2，，的相