高考数学第一轮复习导学案(新高考)第28讲三角恒等变换(2)(原卷版+解析)

第28讲三角恒等变换（2）知识梳理1.在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．2.要注意对“1”的代换：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4)，还有1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).3.对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±eq\f(t2－1,2).4.要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\f(α,3)是eq\f(2α,3)的半角，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的倍角等．5.用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).则－eq\r(a2＋b2)≤y≤eq\r(a2＋b2).(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．(3)y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d))可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．6.用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．(2)y＝asinx＋eq\f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋eq\f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．1、【2023年新高考1卷】已知，则（）．A. B. C. D.2、【2021年新高考1卷】若，则（

）A． B． C． D．3、【2018年新课标1卷文科】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A． B． C． D．4、【2018年新课标1卷文科】已知函数，则A．的最小正周期为，最大值为B．的最小正周期为，最大值为C．的最小正周期为，最大值为D．的最小正周期为，最大值为1、若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，则tanβ＝.2、已知锐角α，β满足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，则α＋β等于()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4) D．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)3、已知，，则的值为_______．4、设为锐角，若，则的值为．5、（2022年福建诏安县模拟试卷）已知，，则的值为（）A. B. C. D.考向一变角的运用例1、已知α为锐角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值．变式1、（1）（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知，若，则（

）A． B． C． D．（2）（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.变式2、（1）（2021·山东烟台市·高三二模）已知，，则的值为______．（2）已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。考向二求角例2、已知锐角α，β满足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，求α＋β的值．变式1、已知α，β为锐角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．变式2、若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值为__________．变式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，则=（）A． B．C． D．或（2）（2022·河北张家口·高三期末）（多选题）已知，，则（）A． B． C． D．方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。考向三公式的综合运用例3、已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)当a＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4)时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．变式1、(1)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为；(2)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是．变式2、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（）A．B．是图象的一条对称轴C．的最小正周期为D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．1、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.2、（2022年福建连城县模拟试卷）已知，且，则（）A. B.C. D.3、（2022年广东揭阳市模拟试卷）已知，则A. B. C. D..4、（2022年福建上杭县模拟试卷）已知，，则（）A. B. C. D.05、（2022·江苏宿迁·高三期末）已知，则____________.6、（2022·江苏通州·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.7、（2022·江苏如东·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.8、（2022·江苏南京·模拟预测）已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．第28讲三角恒等变换（2）知识梳理1.在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．2.要注意对“1”的代换：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4)，还有1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).3.对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±eq\f(t2－1,2).4.要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\f(α,3)是eq\f(2α,3)的半角，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的倍角等．5.用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).则－eq\r(a2＋b2)≤y≤eq\r(a2＋b2).(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．(3)y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d))可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．6.用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．(2)y＝asinx＋eq\f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋eq\f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．1、【2023年新高考1卷】已知，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B2、【2021年新高考1卷】若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．3、【2018年新课标1卷文科】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.【详解】由三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.4、【2018年新课标1卷文科】已知函数，则A．的最小正周期为，最大值为B．的最小正周期为，最大值为C．的最小正周期为，最大值为D．的最小正周期为，最大值为【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.1、若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，则tanβ＝.【答案】eq\f(1,7)【解析】tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).2、已知锐角α，β满足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，则α＋β等于()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4) D．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)【答案】C【解析】由sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，且α，β为锐角，可知cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，3、已知，，则的值为_______．【答案】3【解析】．4、设为锐角，若，则的值为．【答案】【解析】因为为锐角，cos(=，∴sin(=，∴sin2(cos2(，所以sin(5、（2022年福建诏安县模拟试卷）已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，所以，，所以，.故选：B.考向一变角的运用例1、已知α为锐角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值．【解析】设β＝α＋eq\f(π,6)，则β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以sinβ＝eq\f(3,5)，sin2β＝2sinβcosβ＝eq\f(24,25)，cos2β＝2cos2β－1＝eq\f(7,25)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)－\f(π,4)))＝sin（2β－eq\f(π,4)）＝sin2βcoseq\f(π,4)－cos2βsineq\f(π,4)＝eq\f(17\r(2),50).变式1、（1）（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.（2）（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.【答案】【解析】因为，，所以，故答案为：变式2、（1）（2021·山东烟台市·高三二模）已知，，则的值为______．【答案】【解析】，而，∴，∴.故答案为：.（2）已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.【答案】－eq\f(4,5)【解析】由题意知，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)＜0，所以cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，因为β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(7,25)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(4,5).方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。考向二求角例2、已知锐角α，β满足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，求α＋β的值．【解析】因为α，β为锐角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\f(9,10))＝eq\f(\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).由0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，得0＜α＋β＜π.又cos(α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝eq\f(π,4).变式1、已知α，β为锐角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．【解析】因为α，β为锐角，所以由sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，得cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以α＜β，所以－eq\f(π,2)＜α－β＜0，所以cos(α－β)＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＋eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，故α－β＝－eq\f(π,4).变式2、若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值为__________．【答案】eq\f(7π,4)【解析】因为α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，所以2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π)).又sin2α＝eq\f(\r(5),5)，所以2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，故cos2α＝－eq\f(2\r(5),5).又β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，故cos(β－α)＝－eq\f(3\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－eq\f(2\r(5),5)×（－eq\f(3\r(10),10)）－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又α＋β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，2π))，故α＋β＝eq\f(7π,4).变式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，则=（）A． B．C． D．或【答案】C【解析】因，则，，因，，则，又，有，于是得，因此，，所以.故选：C（2）（2022·河北张家口·高三期末）已知，，则（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】，故，所以或，故或.又，所以或，故选：BD.方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。考向三公式的综合运用例3、已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)当a＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4)时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．【解析】(1)由题意，得f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)cos（x＋eq\f(π,2)）＝eq\f(\r(2),2)(sinx＋cosx)－eq\r(2)sinx＝eq\f(\r(2),2)cosx－eq\f(\r(2),2)sinx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).因为x∈[0，π]，所以eq\f(π,4)－x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，故f(x)在区间[0，π]上的最大值为eq\f(\r(2),2)，最小值为－1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，,f(π)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ(1－2asinθ)＝0，,2asin2θ－sinθ－a＝1.))由θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))知cosθ≠0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,θ＝－\f(π,6)．))变式1、(1)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为；【答案】1【解析】因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)，且－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.(2)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(