预习12讲抛物线2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）预习12讲抛物线（精讲+精练）①抛物线的定义及焦半径公式的应用②抛物线的性质③抛物线的标准方程④与抛物线有关的距离和最值问题一、抛物线的定义1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).二、抛物线的标准方程设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：方程（）（）（）（）图形焦点准线特别说明：1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下).2、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.三、抛物线的简单几何性质标准方程（）（）（）（）图形范围，，，，对称轴轴轴轴轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径长四、直线与抛物线的位置关系设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;当时,直线与抛物线相切,有一个切点;当时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.五、直线和抛物线1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.2、抛物线的焦点弦过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则①，；②；③.说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.①抛物线的定义及焦半径公式的应用策略方法抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2)．【题型精练】一、单选题1．（2324高二上·湖南永州·期末）抛物线C：上的点与焦点F的距离是2，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由抛物线的定义，列方程求解的值.【详解】由抛物线的方程可得准线方程为，根据抛物线定义有，可得.故选：D2．（2324高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根据抛物线的定义运算即可.【详解】抛物线，根据抛物线的定义，得焦点到准线的距离为.故选:B.3．（2324高二上·北京·阶段练习）点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，故，即可求解．【详解】抛物线，焦点,准线方程为.由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，到该抛物线焦点的距离，解得，∴点的横坐标为3.故选:B．4．（2324高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【答案】C【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.【详解】表示点到点的距离；表示点到直线的距离.因为，所以点到点的距离等于点到直线的距离，所以的轨迹为抛物线.故选：C.5．（2324高二下·广西·阶段练习）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意点到直线的距离和到点的距离相等，可得点的轨迹为抛物线，即可得解.【详解】根据题意，设点，且点在的下方，故点到直线的距离和到点的距离相等，所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线，所以的轨迹方程为，故选：D.6．（2324高二下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（

）.A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得.【详解】根据题意，易知，由抛物线定义可得，设准线与l的交点为，如下图所示：

因此与平行，又是边长为2的等边三角形，所以，即,可得，即.故选：A7．（2324高二下·河南·期中）设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（

）A． B．14 C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的定义先算出的坐标，然后利用两点间的距离公式求解.【详解】由题意可知，因为，准线为，设，根据抛物线的定义，，得到，于是，所以.故选：D8．（2324高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解.【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：，设点到准线的距离为，则，如图所示：

当三点共线时，取得最小值，故选：C9．（2324高二上·河北·期中）设是抛物线：上的动点，是圆：上的动点．则的最小值为（

）A． B． C． D．27【答案】C【分析】根据两点间距离公式、圆的几何性质，利用配方法进行求解即可.【详解】由，半径为，设，则，当时，取得最小值28，所以，所以．故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的几何性质和配方法.②抛物线的性质策略方法抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．【题型精练】一、多选题1．（2324高二上·河北张家口·阶段练习）对抛物线，下列描述正确的是（

）A．开口向下，准线方程为B．开口向下，焦点为C．开口向左，焦点为D．开口向左，准线方程为【答案】AB【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断.【详解】由题设，抛物线可化为，开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误.故选：AB.2．（2324高二上·云南玉溪·期末）已知抛物线的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据抛物线方程判断AB；设，由判断CD.【详解】解：因为抛物线，即，所以，准线方程为，故A正确；设，则，由题意得，且，故，则（舍）或，所以，故D正确；故选：AD．3．（2324高二上·吉林长春·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则（

）A． B．C． D．的坐标为【答案】AC【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可.【详解】由抛物线：，可得，故D错误；由抛物线的定义可得，所以，故A正确；因为点在抛物线上，所以，所以，故B错误；则，故C正确.故选：AC.4．（2223高二下·贵州黔西·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（

）A．F的坐标为 B．C． D．【答案】BCD【分析】根据抛物线的定义域标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上，则焦点，所以A错误；由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确；由，可得，所以，则，所以C正确；由，所以D正确．故选：BCD．5．（2324高二上·江苏徐州·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为，是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．过点与抛物线有唯一公共点的直线有2条C．的最小值为D．抛物线C：通径为4【答案】AD【分析】根据焦半径公式列方程求解判断A，分类讨论，设直线方程，与抛物线联立，判别式法判断B，利用三点共线距离和最短判断C，根据通径定义求解判断D.【详解】由抛物线知，，焦点为，对于A，因为，所以，所以，正确；对于B，当过点的直线斜率不存在时，即直线为y轴时，满足直线与抛物线有唯一公共点；当过点的直线斜率为0时，直线为，满足直线与抛物线有唯一公共点；当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线为，联立，得，由题意，解得，所以过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条，错误；对于C，，当且仅当三点共线时，等号成立，错误；对于D，联立，得，所以通径两端点坐标为，所以抛物线C：通径为4，正确.故选：AD6．（2223高二上·辽宁大连·阶段练习）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两动点，下列说法正确的有（

）A．抛物线准线方程为B．若，则线段中点到轴距离为C．以线段AF为直径的圆与x轴相切D．以线段为直径的圆与准线相切【答案】BC【分析】根据抛物线的定义以及焦半径公式一一求解.【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，焦点，故A错；对于B选项，设点、，由抛物线的定义可得，可得，所以，线段的中点到轴的距离为，故B对；对于C选项，,的中点为，的中点到轴的距离为，所以以线段AF为直径的圆与x轴相切，故C对；对于D选项，因为点、没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，所以以线段为直径的圆与准线不一定相切，故D错.故选：BC.③抛物线的标准方程策略方法求抛物线标准方程的方法(1)先定位：根据焦点或准线的位置．(2)再定形：即根据条件求p．【题型精练】一、解答题1．（2324高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为；(2)准线方程为.【答案】(1)(2)【分析】（1）由抛物线焦点坐标确定抛物线的焦准距p，即可得标准方程；（2）由抛物线准线方程确定其焦点位置，求得p，即得答案.【详解】（1）因为抛物线焦点为在y轴的负半轴上，设焦准距为p，则，即.因此，所求抛物线的标准方程为.（2）由抛物线准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且，即，因此，所求抛物线的标准方程为.2．（2324高二上·河北保定·阶段练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程：(1)准线方程为；(2)焦点在轴上且其到准线的距离为6；(3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；(4)对称轴是轴，经过点．【答案】(1)(2)或(3)或(4)【分析】根据题意结合抛物线的标准方程分析求解.【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，则，可得，所以抛物线的方程是．（2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，可知，所以抛物线的方程是或．（3）因为对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2，可知，即，所以抛物线的方程是或．（4）因为对称轴是轴，设抛物线方程为，因为抛物线经过点，可得，解得，所以抛物线的方程是．3．（2223高二·全国·课堂例题）分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：(1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上．(2)抛物线的焦点是双曲线的焦点之一．【答案】(1)，(2)答案见解析【分析】（1）确定抛物线的焦点，求得p，即可得答案；（2）求出双曲线的焦点坐标，分2种情况确定抛物线焦点坐标，即可得答案.【详解】（1）由已知可得焦点坐标为，因此抛物线的标准方程具有的形式，且，从而所求抛物线的标准方程是．（2）因为双曲线中，，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以的焦点坐标为或．如果抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程具有的形式，且，此时抛物线的标准方程是；如果抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程具有的形式，且10，此时抛物线的标准方程是．4．（2324高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为；(2)顶点在原点，且过点；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案.【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为，可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，故抛物线标准方程为；（2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线标准方程为或，分别将代入，求得，故抛物线标准方程为或；（3）由于直线与x轴的交点为，由题意可知抛物线焦点为，则，故抛物线标准方程为；（4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，则设抛物线方程为，焦点为，准线为，故，故抛物线标准方程为.5．（2324高二上·新疆和田·期末）若双曲线与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线.(1)求双曲线的标准方程;(2)求过点的抛物线标准方程．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）由题意得，设双曲线的标准方程为，由平方关系即可得解.（2）设过点的抛物线标准方程为或，代入即可得解.【详解】（1）由题意在椭圆中有，，焦点在x轴上，而双曲线与双曲线有相同渐近线，所以设双曲线的标准方程为，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）设过点的抛物线标准方程为或，所以有或，解得或，所以过点的抛物线标准方程为或.④与抛物线有关的距离和最值问题策略方法抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。【题型精练】一、单选题1．若点坐标为，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使取得最小值，点坐标应为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用抛物线的定义得到，结合图像可得，从而得解.【详解】因为抛物线，所以其准线为，由向准线作垂线，垂足为，由抛物线的定义可得，再由定点向准线作垂线，垂足为，如图，因为点在该抛物线上移动，所以，所以当且仅当三点共线时，取得最小值，此时的纵坐标与的纵坐标相同，即，将代入，得，所以点的坐标为.故选：A.2．（2223高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点，点P在抛物线上，则点P到x轴的距离与到点Q的距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可知抛物线焦点为，准线为，过点P做准线垂线，垂足为N，由抛物线定义可知，.点P到x轴的距离与到点Q的距离为.【详解】由题可得