重庆市实验学校九年级上学期第一次月考数学试题

20202021学年度九年级上期月考（一）数学试卷一．单选题1.在下列方程中，一元二次方程个数是（）①3x2+7=0；②ax2+bx+c=0；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1；④3x2﹣=0．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【详解】试题分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：①3x2+7=0，是一元二次方程，故本小题正确；②ax2+bx+c=0，a≠0时是一元二次方程，故本小题错误；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1，整理后不是一元二次方程，故本小题错误；④3x2﹣=0，是分式方程，不是一元二次方程，故本小题错误．故选A．考点：一元二次方程的定义．2.如果抛物线开口向下，那么的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线的开口向下可得不等式，解不等式即可得出结论．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．”3.已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（）A.1 B.1 C.2 D.2【答案】D【解析】【分析】把代入原方程得到关于的一元一次方程，解方程即可．【详解】解：把代入原方程得：故选D．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握方程解的含义是解题的关键．4.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是，故选：．5.将抛物线y＝－x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线解析式为（）A.y＝－（x＋2）2＋3 B.y＝－（x－2）2＋3C.y＝－（x＋2）2－3 D.y＝－（x－2）2－3【答案】A【解析】【详解】解：将抛物线y＝－x2向上平移3个单位得到：，再向左平移2个单位得到：．故选A．6.方程的解是（）A.x=0 B.x=1 C.x=0或x=1 D.x=0或x=1【答案】C【解析】【分析】根据因式分解法，可得答案．【详解】解：，方程整理，得，x2x=0

因式分解得，x（x1）=0，

于是，得，x=0或x1=0，

解得x1=0，x2=1，

故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．7.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是()A. B.且 C. D.且【答案】D【解析】【分析】根据二次项系数不能为零，结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，求解即可．【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根，

且，

解得：且．

故选D．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．8.已知二次函数中，函数值与自变量之间的部分对应值如下表所示：0120若点，在函数图象上，则当，时，与的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据表中的数据可得抛物线的对称轴及增减性，由，可知点A离对称轴的距离较近，据此可得与的大小关系．【详解】解：由表中数据可知当x=0和x=2时y的值相等，所以抛物线的对称轴为x==1，由表中数据知在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，所以抛物线开口向下，有最大值，离对称轴越近函数值越大，因为，，所以点A离对称轴x=1近，所以．故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据表中数据得出抛物线的对称轴和增减性是解决此题的关键．本题也可利用待定系数法先求出函数的解析式，然后根据二次函数的性质解答．9.肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）.A.1+x＝225 B.1+x2＝225C.（1+x）2＝225 D.1+（1+x2）＝225【答案】C【解析】【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程即可．【详解】解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．10.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据和的一次函数图象与二次函数图象的特征分析即可．【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限；函数的开口向下，对称轴在y轴的右侧；当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在y轴的左侧，故B正确．故选B．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象综合，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．11.在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（）A.x2=102+（x51）2 B.x2＝（x﹣5）2+102C.x2＝102+（x+15）2 D.x2＝（x+1）2+102【答案】C【解析】【分析】根据题意做出简图如下，在中应用勾股定理即可．【详解】根据题意做出简图如下：其中AC=x，BC=10，AB=x+15中，由得，故选C．【点睛】本题考查了列方程解应用题，实质是考查了勾股定理的应用，做题过程中要注意做出简图是本题的关键．12.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A.①②④ B.①②⑤ C.②③④ D.③④⑤【答案】A【解析】【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可．【详解】解∶∵对称轴∴，2a+b=0；故②正确；∴a、b异号，∴ab＜0，故①正确；∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误；根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确．如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．二．填空题13.写出一个一元二次方程，使其中一个根是2，这个方程可以是_____．【答案】x2+2x8=0【解析】【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，根据定义即可求解．【详解】解：答案不唯一，如x2+2x8=0．故答案是：x2+2x8=0．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，关键是灵活应用方程的解写出方程．14.如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为______．【答案】【解析】【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，所以，．故答案：．【点睛】本题考查二次函数的图象，本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键．15.若方程，则方程的根为________．【答案】，【解析】【分析】由或即可求出方程的根．【详解】，∴或，∴，．故答案：，．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，降低未知数的次数是解题的关键．16.二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为_____．【答案】或【解析】【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，而抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为，所以不等式的解集为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解．17.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0有两个相等的实数根，其中a、b、c分别为△ABC三边的长，则△ABC是__________三角形．【答案】直角．【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△＝0，即可得出a2＝b2＋c2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】∵关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a−c）＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即（2b）2−4（a＋c）（a−c）＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角【点睛】本题主要考查根的判别式，利用根的判别式得到a、b、c之间的关系式是解题的关键.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与交于点A．过点A作轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则线段BC的长为____．【答案】6【解析】【分析】设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性可得BC═2（AE+AF），即可求出结论．【详解】解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∵抛物线y＝a（x+1）2+b对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴为直线x＝2，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案：6．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键．三．解答题19.解下列方程：（1）（2）【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先整理方程，然后因式分解即可得出答案；（2）将常数项移到方程的左边，然后利用公式法求解即可．【详解】（1）解：整理得：x24x+3=0，分解因式得：（x1）（x3）=0，可得x1=0或x3=0，解得：x1=1，x2=3；（2）解：原方程可化为∵a=3，b=1，c=1，∴△==13＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．20.已知函数（1）函数图象的开口方向是，对称轴是，顶点坐标为．（2）当x时，y随x的增大而减小；（3）抛物线先向平移个单位，再向平移个单位，就可以得到抛物线．【答案】（1）向下，直线，（2，1）；（2）；（3）左，2，上，1．【解析】【分析】（1）根据题目中的函数顶点式即可解答本题；

（2）根据二次函数的性质可以解答本题；

（3）根据平移的性质可以解答本题．【详解】（1）∵函数，

且，∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是（2，1），

故答案为：向下，直线，（2，1）；（2）∵函数，

且，∴当时，随的增大而减小，

故答案为：；（3）把抛物线就先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到抛物线．【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21.根据要求，解答下列问题．（1）根据要求，解答下列问题．①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；…………（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．【答案】（1）①；②；③．（2）①，②；（3）．【解析】【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.【详解】（1）①；②；③．（2）①；②．（3）x2－9x＋＝－8＋(x－)2＝∴x－＝±．∴．【点睛】本题考查解一元二次方程.根据系数和解的特征找出规律是解题的关键.22.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根．【答案】（1）＜；（2）当时，．【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到＞0，然后解不等式即可得到k的范围；（2）先确定整数k的值为1或2，然后把k=1或k=2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程，确定方程的整数解即可．【详解】解：（1）因为有两个不相等的实数根，所以＞0，即＞0，所以＜20，解得：＜（2）因为＜且为正整数，所以=l或2，当=l时，方程化为，△=12，此方程无整数根；当=2时，方程化为解得，所以=2，方程的有整数根为．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了不等式的正整数解及解一元二次方程，掌握基础是关键．23.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（3）若抛物线与直线相交于，两点，写出抛物线在直线下方时的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；（2）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围；（3）根据题意作图，由图象即可得到抛物线在直线下方时的取值范围．【详解】（1）∵函数图象与轴的两个交点坐标为(1，0)(3，0)，∴方程的两个根为，；（2）∵二次函数的顶点坐标为(2，2)，∴若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为．（3）∵抛物线与直线相交于，两点，由图象可知，抛物线在直线下方时的取值范围为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．24.根据学习函数的经验，探究函数（b＜0）的图象和性质：（1）下表给出了部分x，y的取值；x…﹣3﹣2﹣1012345…y…30﹣1030﹣103…由上表可知，a＝，b＝；（2）用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4的图象；（3）若方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出m的取值范围．【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）画出函数图象见解析；（3）．【解析】【分析】（1）将点（0，0）、（1，3）代入函数y＝x2＋ax−4|x＋b|＋4，得到关于a、b的一元二次方程，解方程组即可求得；（2）描点法画图即可；（3）结合图象，当−≤m≤2时，方程x2＋ax−4|x＋b|＋4＝x＋m至少有3个不同的实数解．【详解】（1）将点（0，0）、（1，3）代入函数y＝x2＋ax−4|x＋b|＋4（b＜0），得，解得a＝−2，b＝−1，故答案为：2，1；（2）画出函数图象如图：（3）如下图，直线y＝x＋m与抛物线y＝x2＋2x（x＜0）相切时，以及经过点（1，3）时有3个的交点，当y＝x＋m与抛物线y＝x2＋2x（x＜0）相切时，即只有一个解，整理得x2+x−m=0，解得，当经过（1，3），3＝1＋m，解得m=2，∴当−≤m≤2时，方程x2＋ax−4|x＋b|＋4＝x＋m至少有3个不同的实数解，故答案为：−≤m≤2．【点睛】本题考查二次函数综合．掌握描点法画函数图象，结合函数图象，从图象中获取信息，数形结合的解题是关键．25.自2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑．据统计：某超市2020年1月10日这天猪肉售价为每千克56元，比去年同一天上涨了40%．（1）求2019年1月10日，该超市猪肉的售价为每千克多少元？（2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年月10日价格出售，平均一天能销售100千克．为促进消费，超市决定对这批猪肉进行降价销售，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加18千克．为了实现平均每天有950元的销售利润，超市应将每千克猪肉定为多少元？【答案】（1）2019年1月10日，该超市猪肉的价格为每千克40元；（2）每千克猪肉应该定价为51元【解析】【分析】（1）设该超市猪肉的价格为每千克元，根据“比去年同一天上涨了40%，这天该超市猪肉售价为每千克56元”列方程求解可得；（2）设每千克猪肉降价元，根据“平均每天有950元的销售利润”列出方程求解可得．【详解】解：（1）设该超市猪肉的价格为每千克元，根据题意得：解得：答：2019年1月10日，该超市猪肉的价格为每千克40元．（2）设每千克猪肉下降元，则解得：，（舍去）所以：（元）答：每千克猪肉应该定价为51元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程求解．26.如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．（1）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，NH⊥BC于H，求NH的最大值及此时点N的坐标．（2）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是