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文档简介
专题01选择填空压轴题型:三角函数与解三角形综合题题型一三角函数1.(2223高一下·北京平谷·期末)如图,单位圆上角的始边为轴正半轴,终边射线交单位圆于点,过点作轴的垂线,垂足为,将点到射线的距离表示为的函数,则在上的图象大致为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B【分析】根据三角函数的定义、三角形的面积结合正弦函数的图象即可判定.【详解】由三角函数定义及的面积可得:,由正弦函数的图象可知B项正确.而对于A、C项,显然可排除;对于D项,显然当时,M与O重合,此时,可排除.故选:B.2.(2223高一下·北京丰台·期末)如图,已知直线,为之间一定点,并且点到的距离为2,到的距离为1.为直线上一动点,作,且使与直线交于点,则△面积的最小值为(
)
A. B. C. D.【答案】C【分析】建立直角坐标系.直线的斜率存在,设方程为:,,直线的方程为:,可得的面积,再利用基本不等式的性质即可得出.或者利用锐角三角函数,结合二倍角公式以及三角函数的性质及可求解.【详解】解法一:不妨将图形顺时针旋转,然后以点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.直线的斜率存在,设方程为:,.则直线的方程为:,,.的面积,当且仅当时取等号.的面积最小值为2.故选:C.
解法二:设角则,故所以的面积由于,所以,故当时,面积取最小值2,故选:C.
3.(2223高一下·北京顺义·期末)已知半圆的直径为圆心,圆周上有两动点满足.设弦与弦的长度之和与的关系为,则最大值为(
)
A.3 B. C. D.【答案】B【分析】根据题意,分别表示出,得到函数关系式,然后换元,由二次函数的最值即可得到结果.【详解】
由题意可得,,且,做于点,于点,则,,则,令,因为,则,所以,所以,,对称轴,则.故选:B.4.(2223高一下·北京海淀·期末)海洋中的波动是海水的重要运动形式之一.在外力的作用下,海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动,由于流体的连续性,必然带动其邻近质点,从而导致其运动状态在空间的传播.(节选自《海洋科学导论》冯士筰李风岐李少菁主编高等教育出版社)某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况,通过数据采集和分析,同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移(米)与时间(秒)的关系近似满足,其中常数.经测定,在秒时该质点第一次到达波峰,在秒时该质点第三次到达波峰.在时,该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为(
)A.秒 B.2秒 C.秒 D.3秒【答案】C【分析】由正弦函数的性质得出解析式,再由得出总时长.【详解】解:因为秒时该质点第一次到达波峰,在秒时该质点第三次到达波峰.所以,即,当时,,,即,因为,所以.则,由得出或,.即,或,因为,所以.因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为.故选:C.5.(2223高一下·北京东城·期末)如图,质点在以坐标原点为圆心,半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动,的角速度大小为,起点为射线与的交点.则当时,动点的纵坐标关于(单位:)的函数的单调递增区间是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】依题意可根据圆周运动规律求出动点的纵坐标关于(单位:)的函数,再由整体代换法即可求出单调增区间的表达式.【详解】根据题意可设,因为在单位圆上的角速度大小为,起点为射线与的交点,所以,所以动点的纵坐标关于(单位:)的函数,由,得,又因为,所以,,,所以该函数的单调递增区间是,,,.故选:B.6.(2021高一下·北京·期中)如图,摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米,摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是(
)A.经过10分钟,点P距离地面的高度为45米B.第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同C.从第10分钟至第20分钟,点P距离地面的高度一直在上升D.摩天轮旋转一周,点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟【答案】D【分析】若转动分钟,P距离地面的高度为可得,结合各选项的描述,利用余弦型函数的性质判断正误.【详解】由题设,摩天轮每分钟的角速度为,若转动分钟,P距离地面的高度为,则,所以,经过10分钟米,A错误;第25分钟米;第70分钟米,B错误;由,则,即P距离地面的高度先增大后减小,C错误;由题设,,即,在一周内P距离地面的高度不低于65米有,可得,故时间长度为10分钟,D正确.故选:D.7.(2122高一下·北京·期末)石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构,风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米,总高约米,匀速旋转一周时间为分钟,配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素,该摩天轮的示意图如图所示,游客从离地面最近的位置进入座舱,旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现,他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中,他们所在的高度之和的最大值约为(
)A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【分析】角速度为,游客从离地面最近的位置进入座舱,游玩中到地面的距离为,进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和,再利用三角函数值域的研究方法求解即可【详解】因为角速度为,所以游客从离地面最近的位置进入座舱,游玩中到地面的距离为,由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和,因为,所以,所以,,所以,所以,即他们所在的高度之和的最大值约为,故选:C.8.(2122高一下·北京·期末)记函数的最小正周期为,若,为的零点,则的最大值为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】首先表示出,根据求出,再根据为函数的零点,即可求出的最小值,从而得的最大值;【详解】因为所以最小正周期,因为,又,所以,即,又为的零点,所以,解得,因为,所以当时,所以的最大值为,故选:B.9.(2122高一下·北京·期末)已知函数的一条对称轴为,,且函数在区间上具有单调性,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用辅助角公式化简,对称轴为,求出a和,得到解析式.由,且函数在区间上具有单调性,,可得与关于对称中心对称,即可求解的最小值.【详解】函数,其中.因为函数的一条对称轴为,所以,解得:,所以.对称中心横坐标满足可得:.又,且函数在区间上具有单调性,所以.所以当k=1时,可得最小.故选:D.10.(2122高一下·北京平谷·期末)已知关于的方程在内有解,那么实数的取值范围(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】可得在内有解,令,利用二次函数的性质即可求出.【详解】方程在内有解,即在内有解,令,,则,所以,解得.故选:C.11.(2223高一下·北京密云·期末)已知函数在区间上有且仅有3个对称中心,给出下列三个结论:①的值可能是3;②的最小正周期可能是;③在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是.【答案】①③【分析】由题意,结合角的范围可得,求出的范围可判断①,利用三角函数的周期公式可判断②,利用三角函数的性质可判断③.【详解】函数,,函数在区间上有且仅有3个对称中心,则,,即的取值范围是,而,故①正确;周期,由,得,,的最小正周期不可能是,故②错误;,,又在区间上单调递减,故③正确.故答案为:①③.12.(2223高一下·北京怀柔·期末)已知函数的部分图象如图所示.则;若,且,则的值为.
【答案】;【分析】由题意先求出函数的解析式,再把代入可得函数值,由,可得的取值,再根据,确定的值,从而得出答案.【详解】由题意可知,,所以,则,所以函数为,又因为函数在处取得最大值,即,,,当时,满足条件,;故函数为,则;当时,,或,即或,若,且,即当时,,,故.故答案为:;.13.(2223高一下·北京延庆·期末)已知函数,且的相邻两个对称中心的距离为2,则.【答案】【分析】根据题设确定的最小正周期,进而求解析式,利用周期性求目标函数值即可.【详解】由题意最小正周期为,故,所以,则,则.故答案为:.14.(2223高一下·北京丰台·期末)若函数在区间上单调递增,则常数的一个取值为.【答案】(答案不唯一)【分析】当时,化简得到,满足在区间上单调递增,即可得到答案.【详解】由函数的图象与性质,可得函数在区间上单调递增,当时,可得,此时函数满足在区间上单调递增,当时,,所以常数的一个取值可以为.故答案为:(答案不唯一).15.(2223高一下·北京海淀·期末)已知函数,给出下列四个结论:①存在无数个零点;②在上有最大值;③若,则;④区间是的单调递减区间.其中所有正确结论的序号为.【答案】①②③【分析】解方程,可判断①;分析出函数在的最大值点在区间内,再利用最值定理可判断②;推导出,可判断③;利用特殊值法可判断④.【详解】对于①,由可得且,即函数的定义域为,令可得,则,且,故,所以,函数有无数个零点,①对;对于②,当时,,令,可得,解得,假设函数在上的最大值点为,则,因为函数在上单调递增,且,对任意的,且,则,所以,,则,所以,若在上存在最大值点,则,因为函数在上是一条连续不断的曲线,所以,函数在上存在最大值,故函数在上存在最大值,②对;对于③,对任意的,,因为,所以,若,则,③对;对于④,,,因为,即,故,故函数在上不可能单调递减,④错.故答案为:①②③.【点睛】关键点点睛:本题第②小问中函数的单调性不好判断,可分析出函数的最值点所在的区间,并分析出函数的图象是连续的,再结合最值定理来进行判断.16.(2223高一下·北京石景山·期末)水车在古代是进行灌溉的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图,一个半径为米的水车逆时针匀速转动,水轮圆心O距离水面米.已知水轮每分钟转动1圈,如果当水轮上一点从水中浮现时(图中点)开始计时,经过秒后,水车旋转到点.给出下列结论:
①在转动一圈内,点的高度在水面米以上的持续时间为秒;②当时,点距水面的最大距离为米;③当秒时,;其中所有正确结论的序号是.【答案】①③【分析】设经过秒后,点的高度为,根据题意求出,得,由可得,①正确;由,得②错误;根据秒时,,为正三角形,可得③正确.【详解】设经过秒后,点的高度为,则,解得,,因为水轮每分钟转动1圈,所以,所以,由,得,因为,所以,所以.对于①,由,得,得,,得,,又因为,所以,,所以在转动一圈内,点的高度在水面米以上的持续时间为秒.故①正确;对于②,,故②错误;对于③,当秒时,,又,所以为正三角形,所以米,故③正确.故答案为:①③.17.(2122高一下·北京平谷·期末)关于函数,有下面四个结论:①是偶函数;
②无论取何值时,恒成立;③的最大值是;
④的最小值是.其中正确的结论是.【答案】①④【分析】根据奇偶性的定义判断①;通过代特值可以判断②;将函数化为,进而结合函数的有界性判断③;容易判断当x=0时,同时取到最小值0和1,进而判断④.【详解】对①,,则函数为偶函数,正确;对②,,错误;对③,,而,则,又,于是,错误;对④,当x=0时,同时取到最小值0和1,则的最小值是,正确.故答案为:①④.18.(2122高一下·北京西城·期末)已知为常数,,关于的方程有以下四个结论:①当时,方程有2个实数根;②存在实数,使得方程有4个实数根;③使得方程有实数根的的取值范围是;④如果方程共有个实数根,记的取值集合为,那么,.其中,所有正确结论的序号是.【答案】①②④【分析】由可得:,令,所以方程变为:,所以关于的方程有根问题就转化为与,的交点个数,对选项一一分析即可得出答案.【详解】由可得:,令,所以方程变为:,所以关于的方程有根问题就转化为与,的交点个数.对于①,当时,方程变为:,则,则设方程的两根为,,而与,的图象有2个交点,故①正确;对于②,当时,方程有4个实数根,故②正确.对于③,当时,方程为,则,所以,则与,的图象有2个交点,所以③不正确;对于④,当时,方程为,解得:,则则与,的图象有2个交点,与,的图象有1个交点,故关于的方程有3个实根.当时,方程为,解得:,则则与,的图象有1个交点,与,的图象没有个交点,故关于的方程有1个实根.所以④正确.故选:①②④.19.(2122高一下·北京昌平·期末)已知函数,.给出下列三个结论:①是偶函数;②的值域是;③在区间上是减函数.其中,所有正确结论的序号是.【答案】①③【分析】计算出可判断①,分、两种情况求出的范围,然后结合其周期性可得其值域,即可判断②,当时,,然后可判断③.【详解】因为,所以是偶函数,故①正确,当时,,当时,又因为,所以的值域是,故②错误;当时,,此时,所以在区间上是减函数,故③正确,故答案为:①③.题型二解三角形1.(2223高一下·北京房山·期末)在中,若,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用正弦定理将边化角,在利用两角和的正弦公式及二倍角公式转化为的三角函数,在结合的范围计算可得.【详解】由正弦定理可得因为,所以,所以,则,则,即.故选:C.2.(2122高一下·北京延庆·期末)如图,公园里有一块边长为4的等边三角形草坪(记为),图中把草坪分成面积相等的两部分,在上,在上,如果要沿铺设灌溉水管,则水管的最短长度为(
)A. B. C.3 D.【答案】A【分析】利用三角形面积公式及条件可得,然后利用余弦定理及基本不等式可得,即得.【详解】由题可知的面积为,又,∴,由余弦定理可得,当且仅当时取等号,∴,即水管的最短长度为.故选:A.3.(2122高一下·北京通州·期末)在中,角A,B,C所对的边分别为,的角平分线交于点D,,则(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用三角形面积相等,即可求解.【详解】解:如图所示,,即即.故选:D.4.(2122高一下·北京朝阳·期末)已知中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则角A的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】先由化简得,再由余弦定理得,即可求得角A的取值范围.【详解】由可得,整理得,由余弦定理得,则,又,则.故选:A.5.(1314高二上·北京·阶段练习)中,分别是所对的边,若,则此三角形是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理化边为角,后由二倍角公式变形,再结合正弦函数性质可得.【详解】因为,所以由正弦定理可得,即,是的内角,所以或,所以或,即是等腰三角形或直角三角形,故选:D.6.(2223高一下·北京密云·期末)若的面积为,且为钝角,则;的取值范围是.【答案】;【分析】空1:根据题意利用面积公式和余弦定理可得,进而可得结果;空2:利用正弦定理结合三角恒等变换可得,结合正切函数运算求解.【详解】空1:的面积为,则,由余弦定理可得:,整理得,且,所以;空2:因为为钝角,则,可得,由正弦定理可得,因为,则,可得,所以,即的取值范围是.故答案为:;.7.(2223高一下·北京延庆·期末)在中,,只需添加一个条件,即可使存在且唯一.在条件:①;②;③;④中,所有可以选择的条件的序号为.【答案】②③【分析】根据所选条件,结合正余性定理及三角形的性质判断是否能构成三角形,若能构成确定所得三角形的个数,判断满足要求的条件.【详解】若选①,根据三角形内角性质知,结合及三角形内角和,此时不存在,不符合;若选②,由,故存在且唯一,符合;若选③,结合,由余弦定理可求出且唯一,故存在且唯一,符合;若选④,根据三角形内角性质知可能为钝角或锐角,当为锐角时,,满足构成三角形;当为钝角时,根据其正弦值易知,也满足构成三角形;所以,存在,但不
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