【非线性达芬方程的混沌数值解探究12000字（论文）】

第III页共23页非线性达芬方程的混沌数值解研究摘要：混沌理论作为非线性科学研究热点之一，在科学与工程领域具有广泛应用。本文首先介绍了非线性方程的概念及性质，重点介绍了非线性达芬方程；其次从不同角度介绍了非线性微分方程的混沌理论；接着简要介绍了强大的数学编程软件Maple；最后针对达芬方程用数学软件Maple编制了相图，庞家莱截面图和时间历程图，在不同参数下展现了系统丰富的动力学行为，尤其是点态收敛、周期解、概周期解及混沌动力学，还说明了混沌相图敏感于初值及系统参数。关键词：达芬方程；混沌；Maple软件；庞家莱截面；时间历程目录TOC\o"1-2"\h\u4292绪论 210805第1章非线性达芬方程 5154011.1非线性方程 542611.2非线性方程的分类 6175591.3达芬方程 725413第2章混沌理论 9111652.1混沌理论简介 9106502.2混沌的定义 1076822.3混沌特性 12233942.4混沌理论的原则 12251952.5混沌两个最根本特征 138960第3章Maple简介 14262763.1Maple系统简介 14143993.2Maple系统的组成与优点 1410188第4章混沌特性 16159274.1吸引子的仿真 16218044.2庞家莱截面的绘制 1995664.3时间历程图 2219078第5章结束语 2523300参考文献 26绪论非线性自然科学社会研究这个领域已经是古代我国乃至直到现代整个世界社会科学的一个前沿研究问题和重要研究发展热点,它已经涉及涵盖到我国自然科学、人文学和社会管理科学等诸多研究领域,具有重要的社会科学研究价值和深远的历史哲学影响方法论内涵含义[[]王柳.基于信息粒化的SVM混沌时间序列预测算法及应用[D].河北大学,2014.]。因此,本文将从非线性方程的基本概念、非线性方程的性质等角度入手，以非线性Duffing方程为例，研究非线性方程，通过对它的研究得到哲学启示，并试图对其进行探讨。混沌状态是一种物理运动方法,属于非线性流体在动力学中所具有的一种运动方法。这可能是一种看似不规则且随机的现象[[][]王柳.基于信息粒化的SVM混沌时间序列预测算法及应用[D].河北大学,2014.[]胥红星.一个多翼混沌系统的分析和同步[J].河南城建学院学报,2012,21(04)：60-63.蝴蝶效应最早可能是由位于美国洛伦兹于20世纪60年代早期在整个美国首次的被发现。从那时起，混沌的研究引起了人们的广泛关注。混沌系统对细微变化都很敏感,尤其重要的是对于基本条件和参数变化,因此,它被认为是非常复杂的非线性动力学体系,这也是混沌系统运动的独特特点之一。长期以来,人们从意识上逐渐形成了一种错误的概念,认为混乱不可控、无法依赖是不可行的。改变同一混沌系统的结构是不切实际的。直到1988年,huber才发表了第一篇有关混沌控制的论文,这是对混乱控制研究的先驱。直到1988年,huber才发表了第一篇有关混沌控制的论文,这是对混乱控制研究的先驱。[[]雷亮.基于进化算法的移动机器人路径规划研究[D].江南大学,2008.]。后来，很明显，许多系统既不能解释这些行为模式，也不能解释其他行为模式，比如天文学家发现的天文三维问题，太阳系几个世纪以来没有完全遵循牛顿定律，天文学家一直将土星的卫星看作一个精确得运动。但事与愿违，它的具体运动一直无法被天文学家所准确预测。天文学家对两颗恒星之间的相对运动已经有了很好的了解，它们的运动状态已经确定，但三颗或更多的恒星，当人们就很难精确计算其运动状态，这是一个已知的三维问题，经典牛顿力学无法解释。随着认识的深入，它们之间存在着一种看似随机、混沌的系统越来越明显。混沌是当今世界热门的科学观点，正引起全世界的关注。混沌的第一个概念起源于1975年马里兰大学一篇关于应用数学的论文，该论文基于根据物理定律发生的事件。自1970年以来，混沌进过不断发展。成为一个新的科学，是20世纪物理学上的又一革命[]雷亮.基于进化算法的移动机器人路径规划研究[D].江南大学,2008.如今,混沌这一现代科学术语己经逐渐地渗透至各个领域,成为一门崭新而又具有前途性的学科,在各个领域都得到了广泛的研究和应用。本文将从混乱的起源简要来介绍其含义,并阐述前人对混沌理论的三种不同的定义出发，了解混沌的多种不同特性，着重介绍混沌的两个最根本的特征，并了解混沌理论的原则。宇宙本身就处在一个混沌的状态之中，当宇宙中的一小部分发生了看似无关紧要的冲突，依然对另外一部分造成的后果无法进行精确预测，这便是混沌理论。说明该系统具有放大功能。当一个系统被放大一个微小的运动时,它的影响将远远大于自身的影响[[]彭雅莉.变换域二维矢量地图数字水印算法研究[D].湖南大学,2010.[]彭雅莉.变换域二维矢量地图数字水印算法研究[D].湖南大学,2010.Maple是目前世界上最广泛应用于数学和工程的一种计算机软件,它在数学和物理科学两个领域都有着广泛的研究应用,因为它被冠以"数学家的软件"之称[[]杨森.岩石地基中柱下圆形独立基础的力学特性与破坏模式研究[D].重庆大学,2011.]。全球数以百万计的maple软件用户正在使用maple系统中的软件,在多个领域,例如模型和数学计算等领域的众多问题都被maple软件中的先进技术所解决。Maple软件内部拥有五千多个计算命令，[]杨森.岩石地基中柱下圆形独立基础的力学特性与破坏模式研究[D].重庆大学,2011.Maple不仅在实践中包含了众多的编程计算工具,还为初学者和计算机科研人员提供了大量的计算科学知识,因而Maple已经成为众多科研人员进行研究和计算所钟爱的一种科学计算方法和工具。无论是简单的非线性数字问题还是复杂难懂的非线性问题,它都可以有效帮助你快速有效解决。Maple不是由单独一家公司研发的，而是有一所大学和一家公司合力注册研发的一套服务于数学各个分支的分析型数学软件，被誉为“数学家的软件”，目前广泛应用于多个学科，如利用Maple求解微积分、矩阵、方程组等数学问题，处理大量物理实验数据，简化化学计算等。不同的软件用户都同时可以自由选择同时使用Maple多种产品在单一应用环境下同时进行多功能领域的工程物理系统的工程建模与计算仿真、符号计算、数值物理测量、程序设计、技术档案、报表技术展示、算法设计研制软件开发、外部软件应用程序之间链路相互连接等多种应用功能,以更好地有效满足不同应用层次的外部应用程序需求[[][]陈泽梅.基于椭圆曲线的门限代理多重签名的研究与实现[D].中南大学,2009.因此本文将围绕非线性达芬方程展开对其混沌数值解这一核心进行研究探讨，主要从一下几个方面进行论述：第一章通过文献检索，资料查询等方式学习研究非线性达芬方程。主要了解学习非线性方程的基本概念及其性质，并着重学习理解非线性达芬方程的概念；第二章利用同样的方法学习探讨混沌相关的知识，主要从混沌的起源、定义及其特性出发，对混沌进行简要介绍；第三章利用Maple软件，对几个非线性达芬方程进行编程，绘制出这些非线性达芬方程的相图，并对这些相图进行观察探究得到这些非线性达芬方程的混沌数值解；第四章通过文献探索，让我们得到的混沌图样与其他研究者的数据进行对比研究，在前人的基础上对混沌的理解与定义进行研究讨论，寻找非线性达芬方程的混沌数值解。非线性达芬方程1.1非线性方程非线性指的是现象或事物间的变化和关系不成比例、缺乏规律性，如小的因素可能会导致大的影响[[]孙竞.易变、复杂与不确定:混沌理论视域下高校就业指导工作探新研究[J].中国大学生就业,2020(18):49-53.]。因此自变量和其他自变量之间必然存在的相互关系而非线性相互作用的线性方程也被称为非线性相互方程。这类微分方程一般认为包含了和与对数和的关系,平方和的关系,指数和的关系,三角形与函数和的关系等[[[]孙竞.易变、复杂与不确定:混沌理论视域下高校就业指导工作探新研究[J].中国大学生就业,2020(18):49-53.[]刘志伟.两类非线性方程可解性研究[D].兰州交通大学,2012.非线性方程的定义：在数学上，一个线性函数（映射）fx叠加性：fx齐次：fαx在α是一个有理数的条件下,可叠加的函数必须被认为是一阶齐次函数(当我们讨论其线性与否时,齐次函数应该是指一阶齐次函数);如果我们fx是一个连续的函数,只要α都是实数,我们就已经可以从这个叠加中推导得到齐次函数。但是,如果把它推广到任意一个复数α,叠加就不能再推广得到齐次,换句话说,在这个复数的世界中,存在一个满足叠加但不是齐次的逆线性映射,重叠和齐次这两个条件常常都是紧密地结合在一起的,这就是我们所说的fαx对于一个表示为f的方程，如果fx是一个线性映射，则称fx为线性方程，反之则称fx为非线性方程。另外，如果∁=0，则称fx为齐次方程（齐次在函数和方程上的定义不同，齐次方程指方程内没有和这里fx=C的定义是很一般性的，x可为任何数字、向量、函数等，而1.2非线性方程的分类非线性代数方程代数方程也被称为多项式方程,多项式方程的定义是通过产生一个数量相当于零的多项式而来实现的，以x为例。代数方程的求和解可通过根搜索得到;但是如果它本身就是一个代数方程组,则更为复杂,有时难以确定任意一个代数方程组都是否存在复数解。然而,对于一些实际上具有有限重新复解的多项式方程,我们却找到了解的途径和方法,能够充分地理解这个系统的运算行为,代数方程的发展和研究过程就是现代代数几何的重要组成部分。非线性微分方程对于非线性微分方程问题，系统的性能有很大的不同，每个问题的解或分析方法也不同。求解非线性问题最大困难是寻找一个未知的求解。一般而言,我们是不能使用已经解的方法来进行拼凑其他能够满足微分方程式的未知解。然而,在线性系统中,一组线性独立的解可以直接通过叠加原则组合为整个系统的共同解。例如,满足dirichlet边界条件的一维热传导问题的求解(即时间函数),可以将其写成几个不同频率的正弦函数进行线性地组合,使得其求解具有很强的弹性和可变化的空间。通常我们就能够找到非线性微分方程的一个特解,但由于叠加原理目前还是不太适用,我们就没办法用这些特解来构造其他新的解。常微分方程：分离变数法通常被我们用来解决一阶常微分方程，尤其是自守方程du例如du通解为u=1x+C，u=0（即通解接近无穷大时的极限）是该方程式的特解dudx而等号左边并不是u的线性映射。二阶和高阶非线性常微分方程组的解几乎无法表示成解析解，反而较常表为隐函数或非初等函数积分的形式。分析常微分方程常用的方法包括：检查是否有任何守恒量（特别是在处理哈密顿系统的时候）;检查是否有类似守恒量的耗散量（见李亚普诺夫函数）;利用泰勒展开式作线性近似;利用变数变换法，改写成较易分析的方程;分岔理论;微扰法（也可应用在代数方程上）。非线性偏微分方程研究非线性偏微分方程最常用、最基本的方法是变量变换。变换后的方程会更简单，甚至可能变成线性方程，有时变量变换后的方程可能变成一个或多个常微分方程（如用变量分离法求解偏微分方程）。无论这些常微分方程是否可解，它们都能帮助我们理解系统的行为。而且在流体力学与热力学中另外一种常见的方法则是采用尺度分析方法对一般的方程进行精确地简化,使之只能够适用于具体的边界情况。举个实际案例,在我们描述一个圆管内一维层流的瞬态时,我们就可以将非线性navier-stokes方程简化为一个线性偏微分方程;在这种情况下,尺度分析为数学模型提供了两个特殊的边界条件:一维与层流。分析非线性偏微分方程的另外几种方法主要包括特征线法、分析常偏微分方程。1.3达芬方程达芬方程即一类二阶微分方程。通常可写为x+c其中c为常数，xgx>0（x≫1）。若g(x)是线性函数，则可用常数变易法写出(1.1)的通解表达式。若g(x)为非线性函数，则(1.1)的动力学行为非常复杂，可以出现混沌状态。若c≠0，(1.1)是耗散系统，其庞加莱映射不保面积。x+g(x)=p(t)(1.2)是一保守系统，它的庞加莱映射是保面积的。(1.2)等价于一特殊的哈密尔顿系统x其中哈密尔顿函数H(x,y(1.2)可分成三种类型：1.超线性：limx2.半线性：a<3.次线性：limn→∞(1.2)可以有无穷多个周期运动和无穷多个拟周期运动，可以有无穷多个不变环面，也可以出现混沌状态。

混沌理论2.1混沌理论简介混沌理论的起因"混沌"这个词最早指的就是在宇宙成立前所有人都存在的混沌状态。中国和古希腊的哲学家们一直坚持认为宇宙世界起源于混乱,逐渐发展形成了一个现代有序的世界[[]陆铭鑫.数字图像水印技术研究[D].西安电子科技大学,2012.][]陆铭鑫.数字图像水印技术研究[D].西安电子科技大学,2012.混沌是利用一定的行为规则复制前一阶段的对象而产生的，导致不可预见的意外后果。所谓“差之毫厘，失之千里”就是这种现象的最好例证。特别是，混沌发生在一个快速变化的物体或系统中，该物体在行动之初极为单纯，但按照一定的规律不断变化，产生意想不到后果，这就是我们所说的混沌状态。但这种混沌与一般的混沌不同，因为这种混沌我们可以从中推导出一些规律。虽然混沌最初是用来解释自然的，但它在人道主义和社会领域尤其明显，因为事物相互吸引。如股市波动、生活平缓曲折、教育过程复杂等。混沌运动是某一个确定系统中一种看似不规则的随机现象,它们是非线性动力学系统中一种独特的物理和化学运动方法[[][]付博.对几类系统的动力学分析及混沌控制[D].哈尔滨工业大学,2009.蝴蝶效应与混沌学二十世纪六十年代初，美国的洛伦兹在给纽约科学院的一篇论文中用海鸥拍打翅膀的行为分析了这种影响。此后，他为了更加生动形象地阐述该效应，他采用了更具有诗意的美丽蝴蝶。原因主要在于是周围的自然空气流动系统也因此发生了温度改变,气流也因此发生了微弱的温度改变,而微弱的自然空气和其它物质通过直接改变周围的自然空气或其它气体系统,从而对周围环境变化造成了连锁反应,最终直接改变了其它的空气系统,而这一切都是因为一只蝴蝶拍打着翅膀，他把这种现象称为混沌。当然,蝴蝶效应首先被认为是与混沌理论相比较的。这也可以说是对蝴蝶效果产生真正的反应。一个微妙而又不显著引人注目的行为会给人带来一系列强烈的回报。近五十年以来，科学家们发现了许多自然现象。这些自然现象都具有一个共同的特征,即它们都可以被转化成为一个单一的数学公式,但它们的行为无法预测。洛伦兹指出,"蝴蝶效应"其实就是一种简单的对流热,会造成难以想象的天气变化20世纪60年代,美国著名数学家斯蒂芬斯梅尔曾经指出,在一些事件中物体的运动和行为都会发生规律性的改变之后,接下来的事件就会没有特定的运动轨迹可以寻,混乱也就是我们无法被观测察觉,由于这种混乱的系统本身就具有很强的技术复杂性和唯一性,科学界目前对"混沌"还未能够给出一个全新的、通用性的、准确定义。[[][]史婕,吴坚,朱卉乔.混沌时间序列及MATLAB仿真实现[J].滁州学院学报，2011,13（05）：18-21.混沌理论的背景20世纪60年代,美国的气象学家爱德华诺顿-劳伦提出了一种基于非线性系统的复杂和高度复杂的混沌理论,混沌理论阐述了一个决策体系会如何产生的随机结果。混沌理论的最伟大贡献之一就是通过简单的数据模型可以得到清晰的研究结果,在我们的气象学、航空飞行技术等各个领域研究中都发挥了巨大的作用。根据混沌理论，混沌系统的初始条件很小，并且是不断扩大的，可能导致其未来状态的显著差异。西方有一首民谣很好的解释了这一理论。一颗马蹄钉的丢失，是对原有状态的一个很小的改变。然而，它的“长期”影响关系与一个帝国的生死存亡密切相关。2.2混沌的定义1975年,混乱一个名字第一次被约克和李天岩提出。在他们的第一篇文章"周期3意味着混沌"中,他们对混沌的概念进行了定义，如今我们称作为Li-Yorke定理[[]武光收.基于混沌的视频图像加密算法的研究[D].山东科技大学,2009.][]武光收.基于混沌的视频图像加密算法的研究[D].山东科技大学,2009.若是一个在整数区间[a,b]上的一个连续性自然数映射,且其中可以包含一个3周期内的点,则对于任何一个连续正整数都可以包含一个只有n个在周期内的点。定义2.1[[]邵鹏飞.混沌在图像加密中的应用研究[D].湖南大学,2007.[]邵鹏飞.混沌在图像加密中的应用研究[D].湖南大学,2007.则满足（1）S不包含周期点。（2）任给X1limt→0limt→0这里ft(g)=f(f(⋯f(g)))表示（3）任给X1∈S及flim则称f在S上是混沌的。在这个定义中,前两个极限例子都表明了该子集的每一点都是非常分散且集中的;第三个极限证实了子集没有接近任何一个周期的点,因此该理论本身仅仅假设其存在一个非周期的轨道,无论子集是否有非零的测度,无论什么周期都是稳定的。由此,li-yorke定义的最大缺点之一就是集合s的lebesgue测度值可能被设定为零,即混乱不可以被观察,但是对于s的可以被观察到的情况,人们很感兴趣,那就是对s的方向有一个正测度。根据li-yorke的概念来定义,1983年,day认为对于混乱体系统来说,应该主要有以下三类定义[NOTEREF_Ref2422\h12]：存在所有阶段的周期轨道；存在一个只包括混沌运动轨道的数不清集合,有些两个运动轨道不趋向于遥或靠近,而是两个运动状态交替地出现,每个运动轨道不趋向于包括具有一个循环周期的轨道,即该集合中不可能存在一个渐近周期的轨道;第三，混沌轨道的不稳定性极高。在这一定义中，周期3混沌，后来被认定为萨尔科夫斯基（1964）关于连续“周期点”发生顺序理论的特例。定理2.1[[]李银山,李欣业,刘波.分岔混沌非线性振动及其在工程中的应用[J].河北工业大学学报,2004(02):96-103.]若fx为一个在线段I上的连续自映射,且f具有m个周期的特征点。如果n按sarkovskii次顺序大于[]李银山,李欣业,刘波.分岔混沌非线性振动及其在工程中的应用[J].河北工业大学学报,2004(02):96-103.3,5,7，⋯,2n+1,2n+3,⋯2∙3,2∙5,2∙7,⋯,2∙(2n+1),2∙(2n+3),⋯22∙3,22∙5,22∙7,⋯,22∙(2n+1),22∙(2n+3),⋯⋯,⋯,⋯,⋯,⋯,⋯,⋯2m∙3,2m∙5,2m∙7，⋯，2m∙(2n+1),2m∙(2n+3),⋯⋯,⋯,⋯,⋯,⋯,⋯,⋯⋯,在这一定义中，周期3混沌，后来被认定为前苏联学者萨尔科夫斯基（1964）关于连续“周期点”发生顺序理论的特例。因此,3为现代sarkowski这个序列理论中的第一个数,每个单位正整数中的n为0都会在现代sarkowski这个序列中首次出现,就充分说明了rli-yorke序列理论本身就是现代sarkowski序列理论的一个重要特例。DevaneyRL在二十世纪八十年代末给出了混沌的又一种定义：定义2.2设X为度量空间。若连续映射f：（1）f是拓补传递的；（2）f的周期点在X中稠密；（3）f对初始条件很敏感。则称f在X上是混沌的。总之,混沌时间映射虽然必须具有很强的时间不可测量预测性和很强的时间不确定性,但仍然必须具有一定的时间规律性,正是因为混沌时间映射对于初始时间条件的规律依赖性强、敏感,我们无法对混沌系统进行预测。又因拓补的传递特性,它不可以被细分或者简单地划分成两个彼此之间相互作用的子系统。即便如此,混沌行为中仍然存在着规则性成分,我们称之为稠密周期点。2.3混沌特性(1)内禀的随机性:内禀的随机性指混乱系统因内部的动态随机性而导致所产生的各种不规则行为。这种随机性是指来自系统内部,是一种以人为本而自发的活动,与外部随机性的根本来源及其机制截然不同。内部随机性的另一个重要特征就是该系统存在局部的不稳定性,说明了混乱对初值变化的敏感。(2)高度敏感性:对系统的混乱运动,无论它们处于什么样的状态,都应该具有相同的物理学基本特点,即对最初的值极为敏感。这种灵敏度不仅反映在非线性动态系统中，而且受随机性的影响很大；这也反映在无法准确预测系统的长期行为上。(3)分维特征:混乱具有一种基于分形维数的特征,即一个在同相空间中运动轨道的分布式几何结构也可以通过分形维数的方法来进行描述。(4)物理系统的普适性:这也即是说当一个物理系统更加复杂趋于混乱时,其它在物理学上的特征就更加具有了它的普遍意义。其特殊运动性能却也并非因为特定的动力系统或物体运动动力方程而不会发生重大差异。(5)标度规则:混乱是一种非周期性的具有无标度区域的非周期性状态。在对进行高精度的数值计算或者进行高分辨率的实验时,可以找到混乱的有序运动模型,并且它们具有坐标律的性质。2.4混沌理论的原则发展特征也属于混沌理论，以下是它的三个原则：1、能量永远会遵循阻力最小的途径。2、总会有一个我们看不到的基础性结构,阻力最低的路径绝对会受到这个基础性结构的影响。3、这种根本结构不仅可以被发现，还可以被改变。2.5混沌两个最根本特征混沌具有两个最根本的特征：第一个特点就是系统的状态具有对于初始环境条件的灵敏度和依赖程度。也就是说,初始条件下的微小偏移将随着时空推移而呈现出指数性的增加。[[]周丰,关治洪.Maple环境下混沌系统的计算机仿真[J].计算机仿真,2004(02)：135-137.][]周丰,关治洪.Maple环境下混沌系统的计算机仿真[J].计算机仿真,2004(02)：135-137.混乱的第二个主要特征就是它的一个吸引子本身具有一个奇异性和吸引子的结构,也叫“随机吸引子”[NOTEREF_Ref11386\h15]。它分别位于两个相邻的空间,具有一个维的分数维。它的原子轨道必须一定是在有限的原子空间内,其结构形状非常复杂,但是这种轨道结构必须能够具备一定的化学稳定性。随着宇宙时间的缓慢流逝,它的最大运动量和轨迹也从来就不会彼此发生任何重叠。具有可以无限制地嵌入成套的自相似引子结构,这就是目前奇异放大吸引子最为典型的再次放大引子物理结构特征,即首先再次取出奇异吸引子的一小部分一并继续再次放大,它的奇异吸引子导体内部结构仍然与原来的奇异吸引子相同,然后从其中再次取出一小部分被再次放大的奇异吸引子一并继续再次放大,其引子内部结构仍然与原来的奇异吸引子相同,按照这样循环,无穷无尽。如果这两种性质同时存在于一个系统中,则假定系统具有混沌性质。

Maple简介3.1Maple系统简介Maple是20世纪80年代在美国和加拿大发展产生的一种计算机数学软件,20世纪80年代初,滑铁卢大学创建了一个关于符号计算科学研究的小组,并开始了多年来关于符号计算机科学研究的课题,Maple正是该项目的成果之一。Maple是一个比较受欢迎的通用计算机代数体系其中拥有丰富的数学演算功能[[][]叶艺林.用Maple探讨一阶常微分方程的初等解法[J].景德镇学院学报，2020,35（06）：100-104.功能齐全。它的功能包括代数、几何、矩阵、微积分、组合学、数学、统计与运算、图形学、集合论等。操作方便。在windows系统上设置操作模式，命令格式符合windows统一风格。程序设计命令规范。命令的主表达式和子程序名称基本符合专业习惯，方便用户查阅。输出结果内容与格式丰富多样。它所输出的结果不仅符合数学习惯，还便于用户对其进行分析和保存。3.2Maple系统的组成与优点Maple由三部分组成：iris、内核和外部库。c语言中的iris和kernel应用非常广泛,它们只是整个软件的一小部分,maple用自己的编程语言代码来编写了很多数学函数并将其存储在外部的函数库中。因而一个用户可以直接访问其外部函数的一个数据库,使得用户学习变得便捷。此外,用户还甚至可以在maple的函数库中直接添加自己的函数和进程,或者是创建自己的函数库,让不同行业和领域的人员都能轻松地扩大maple的范围。在掌握了maple之后,他的个人数学处理和计算能力将会与maple并行发展。与其他较为广泛流行的实际数学应用软件符号相比,maplee等具有较强的数学符号计算推导功能,可以逐步地向实际数学应用中用户进行符号理论的数学推导和符号计算操作过程[[]林挺.Maple软件在概率统计中的应用[J].电子技术与软件工程,2020(22)：24-25.]。Maple的一个主要优点在于它可以通过fortran或者c语言直接生成结果,在fortran或者c语言编程中,别写比较复杂的几何公式会比较麻烦。但.aple却能通过对程序进行优化来彻底解决该问题。因此,[]林挺.Maple软件在概率统计中的应用[J].电子技术与软件工程,2020(22)：24-25.Maple的优点是它有一个很好的输出接口，这几乎符合我们的正常写作；它的另一大优势是强大的符号运算功能，这也是它最大的优势。这使得处理数字运算和符号运算的结合变得容易。此外，它的软件只有30兆字节，易于安装。所以我们把它放在学校网站上，直接进行调用。当然它也有一些缺点。缺点是市场上没有教材，而且帮助系统是用英语，这使学习变得困难。Maple是其简单的计算机交互、强大的数值处理功能和无与伦比的符号推理技术能力,在许多复杂的数学应用程序中脱颖而出;如今,它在众多领域都拥有了成千上万的用户。Maple字符计数系统于mathcad、MATLAB等著名软件的字符处理中也起着关键作用。

混沌特性4.1吸引子的仿真在混乱理论的研究发展过程中,基于计算机软件的计算机模拟技术已经成为强大的技术手段,并且它们还可以为我们提供一个混乱理论体系的所有已知属性[[][]张静.混沌系统的计算机仿真[J].实验室研究与探索,2008(08):58-59+131.以x+c为例。操作步骤如下：将（4.1）式转化成标准型；令y=xx=y求解微分方程（4.2）；利用Maple软件绘制图样。为了能够更加生动的展现该系统的混沌特性，我们必须要选择恰当的参数。为此，我们选取常数a=-1，b=1，c=0.15，A=0.3以及Ω=1。接下来，假定我们选取的初始条件是y(0)=−0.5,然后，我们可以利用Maple软件，在Maple环境中，用以下Maple程序来绘制其混沌图样：Maple程序如下：restart:#清零。with(plots):#加载绘图库。de1:=diff(x(t),t)=y(t):#标准方程之一。de2:=diff(y(t),t)=-a*x(t)-b*x(t)^3-c*y(t)+A*cos(Omega*t):#标准方程之一。a:=−1:b:=1:c:=0.15:A:=0.3:Omega:=1:#给定参数。duffing:=dsolve({de1，de2,y(0)=-0.5,x(0)=-1},{x(t),y(t)},type=numeric，method=lsode):#求解微分方程。duffplot:=odeplot(duffing,[x(t),y(t)],0..200,numpoints=8000):#微分方程求解结果绘图。duffplot;#绘制相图分。最后，我们就利用Maple绘制出了此时非线性达芬方程得到混沌相图，如图STYLEREF1\s4–SEQ图\*ARABIC\s11所示。系统有两个吸引子，可以直观地知道围绕着他们的系统呈现混沌状态。[NOTEREF_Ref11386\h15]。这两个吸引子所呈现的整体稳定性和局部发散性，也表明了混沌是有一定的确定性规律但其运动轨迹具有一定的随机性。图STYLEREF1\s4–SEQ图\*ARABIC\s11混沌相图接下来，我们对图STYLEREF1\s4–SEQ图\*ARABIC\s11中的编程数据进行一些改变。改变图STYLEREF1\s4–SEQ图\*ARABIC\s11中的初始值y(0)=−2,x(0)=−4，即将原初始值同时扩大四倍，我们得到图STYLEREF1\s4–SEQ图\*ARABIC\s12中的相图。图STYLEREF1\s4–SEQ图\*ARABIC\s12改变初值后的新混沌相图通过对比REF_Ref7272\h图STYLEREF1\s4–1与REF_Ref7314\h图STYLEREF1\s4–2，我们可以清晰的看出，当一个系统说明初始值的敏感性时，很难预测那个。这也符合混沌的灵敏度。在混沌过程职中，因为对初值的敏感性，使得丢失部分信息出现在每次预测之中，但是经过数次预测后，不断增加的丢失信息量，使得剩余信息量无法支持正确的预测，所以混沌不适合作长期预测。但从两个图片中我们也发现了他们具有相似之处。我们发现REF_Ref7272\h图STYLEREF1\s4–1与REF_Ref7314\h图STYLEREF1\s4–2图片的形状就像千层饼，一层一层可以分开，这就说明其符合混沌的分形性。混沌状态下无穷多个层次的自相似结构，也就是分形性。混沌相图通常是一个复杂的结构，但通过连续放大可以观察到自相似的特征。观察图4-1与图4-2的两条运动曲线,不难看出它们总会被局限于某个区域,即混乱的吸引子;它也可以说是混乱有界性最佳的体现。从图4-1与图4-2中我们可以发现他们的行为在混乱的吸收区域内经过了各种不同的状态。在有限的时间内,它们的混乱轨道并没有发生在吸引子内各个状态点附近反复的经历。而且,他们的轨迹只能局限于一个有限的空隙,轨道中永远都不会发生重复。通过改变初值进行对比，我们不难发现这一个系统的混沌图样发生了明显的变化，这也恰恰符合了混沌的特性之一——混沌的敏感性。为了进一步理解混沌特性，探索混沌的敏感性。在不改变原来duffing方程的基础参数的基础上，即a=-1，b=1，c=0.15，A=0.3均不改变，初值依旧选取y(0)=-0.5,x(0)=-1,尝试改变Ω即maple程序中的Omega，进而运行上述程序，通过对比不同Ω下的混沌图样，探索只改变Ω一个参数对其混沌图样的影响，研究混沌的敏感性。图STYLEREF1\s4-SEQ图\*ARABIC\s13Ω=0.05时的相图图STYLEREF1\s4-4Ω=0.1时的相图图STYLEREF1\s4-5Ω=0.5时的相图图STYLEREF1\s4-6Ω=1时的相图图STYLEREF1\s4-7Ω=1.5时的相图图STYLEREF1\s4-8Ω=20时的相图通过图STYLEREF1\s4-3、图STYLEREF1\s4-4、图STYLEREF1\s4-5、图STYLEREF1\s4-6、图STYLEREF1\s4-7与图STYLEREF1\s4-8的相图的对比，不难发现，在不改变duffing方程的初值以及方程参数的前提下，只改变其中的一个参数Ω时，我们会发现duffing方程所对应的相图也随之发生了明显的改变，这说明了混沌不仅仅体现在对其对初值的敏感，也体现出其对参数的敏感。在此理论研究基础上,结合了各种相应混沌控制算法理论,采用适当的控制算法,实现对于混沌数学系统的物理控制与综合利用,对于混沌数学系统的物理控制与综合利用问题进行综合研究分析具有重要指导意义[[]王改云,马姝靓.典型混沌系统的Matlab仿真实现[J].中国科技信息,2008(03)：252-253.]。[]王改云,马姝靓.典型混沌系统的Matlab仿真实现[J].中国科技信息,2008(03)：252-253.4.2庞家莱截面的绘制由于Duffing体系的相图还有些混乱，可以采用绘制庞加莱截面的方法得到更为准确直观的图像[NOTEREF_Ref11386\h15]。给出一个周期外力作用下的Duffing方程：x+a为了绘制系统的庞加莱横截面，不再需要绘制每个模拟点，而只需要绘制系统通过固定时间和空间横截面的那些点。对于Duffing系统，由于系统的周期是2π，所以需要画出当前的横截面t=0π,t=2π,t=4π时的点[NOTEREF_Ref11386\h我们先定义微分方程，取μ=1，a=0.1，ω=1，F=50。Maple程序如下：restart:with(plots)：de1:=diff(x(t),t)=y(t):de2:=diff(y(t),t)=-μ*x(t)^3-a*y(t)+F*cos(Omega*t):a:=0.1:μ:=1:F:=50:Omega:=1:取初值x(0)=1,y(0)=1。Maple程序如下：duffing:=dsolve({de1，de2,y(0)=1,x(0)=1},{x(t),y(t)},绘制庞加莱截面图像，如REF_Ref7755\h图STYLEREF1\s4–9所示图STYLEREF1\s4–9庞加莱截面图像此时.绘出了该Duffing系统在初值为y(0)=1,x(0)=1时下的庞加莱时间截面图，如REF_Ref7755\h图STYLEREF1\s4–9所示。与完整轨道的相图相比，我们不难发现图像变得更加的清晰。图形被限制在了一个很小的区域可以更好的观察该系统的解的特性。我们改变其初值y(0)=−1,x(0)=−0.5。如REF_Ref7827\h图STYLEREF1\s4–10所示：图STYLEREF1\s4–10y(0)=−1,x(0)=−0.5时的庞家莱截面图像为了样本的多样性，我们将其初值改为y(0)=0,x(0)=0。如REF_Ref7879\h图STYLEREF1\s4–11所示：图STYLEREF1\s4–11y(0)=0,x(0)=0时的庞家莱截面图我们知道庞加莱截面是指离散点，就右图中的空心点；即空心点为庞加莱截面图像对应的那个离散点。我们通过REF_Ref31102\h图4–9、REF_Ref31295\h图4–10和REF_Ref31948\h图4–11的对比，我们不难发现当我们在不改变duffing方程的前提下，只改变它的初值，不难发现庞家莱截面图像中的离散点发生了变化，即混沌对初值具有很强烈的敏感。4.3时间历程图通过我们对Duffing方程的研究，我们利用maple软件成功编辑绘制出了它的混沌图样和庞加莱截面图像，了解到了duffing方程所具有的混沌特性，了解到了d