6.3.1二项式定理课件高二下学期数学人教A版选择性3

6.3.1二项式定理6.3二项式定理组合数公式

回顾旧知探究新知探究：我们知道，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.(1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律?(2)根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗?(3)进一步地，你能写出(a＋b)n的展开式吗?探究新知我们先来分析(a＋b)2的展开过程，根据多项式乘法法则，

(a＋b)2=(a＋b)(a＋b)=a(a＋b)＋b(a＋b)=a×a＋a×b＋b×a＋b×b

=a2＋2ab＋b2

可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，只要从一个(a＋b)中选一项(选a或b)，再从另一个(a＋b)中选一项(选a或b)，相乘就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有

项，而且每一项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式.探究新知(a＋b)2=a×a＋a×b＋b×a＋b×b

=a2＋2ab＋b2

每一项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式下面我们再来分析一下形如a2-kbk的同类项的个数当k=0时，a2-kbk=a2，a2出现的次数相当于从2个(a＋b)中取出0个b的组合数

，即a2只有1个.当k=1时，a2-kbk=ab，ab出现的次数相当于从2个(a＋b)中取出1个b的组合数

，即ab共有2个.当k=2时，a2-kbk=b2，b2出现的次数相当于从2个(a＋b)中取出2个b的组合数

，即b2只有1个.展开方式：从每个(a+b)中选一个数a或b，相乘后得到一项探究新知仿照上述过程，你能利用计数原理，写出(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？(a+b)n=?二项式定理每个都不取b的情况有1种，即

，则an前的系数为

恰有1个取b的情况有

种，则an-1b前的系数为

恰有2个取b的情况有

种，则an-2b2前的系数为

......恰有k个取b的情况有

种，则an-kbk前的系数为

......恰有n个取b的情况有

种，则bn前的系数为

二项式定理二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式二项式系数：其中各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数通项：

叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示.第k+1项：

即通项为展开式的第k+1项.二项式定理二项式定理形式上的特点：①二项展开式共有n+1项；②各项的次数都等于(a+b)n的次数n；③在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，次数由n次逐项减少1次直到0次，同时字母b按升幂排列，次数由0次逐项增加1次直到n次；④

叫做二次项系数，与二项展开式中某一项的系数是两个不同的概念.例题解析1、求

的展开式.解：根据二项式定理例题解析2、(1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数；解：(1+2x)7的展开式的第4项是=35×23×x3=280x3所以第4项的系数是280.注意：通项是Tk+1，所以第4项中k=3例题解析2、(2)求

的展开式中x2的系数.解：

的展开式的通项是根据题意，得3-k=2，因此，x2的系数是即，k=1.随堂练习1、求(1+2x)7的展开式的第4项的二项式系数.注意：(1)注意对二项式定理的灵活应用.

(2)注意区别二项式系数与项的系数的概念.二项式系数：项的系数：二项式系数与数字系数的积

(3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开.随堂练习2、求

的展开式.随堂练习3、求

的展开式.随堂练习4、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项.解：(x+a)12的展开式有13项，倒数第4项是它的第10项，此时通项Tk+1中的k=9随堂练习5、求

的展开式常数项.解：

的展开式的通项是所以，展开式的常数项为随堂练习6、求

的展开式的中间两项.解：

展开式共有10项，中间两项是第5、6项例题解析3、试判断7777－1能否被19整除.解：7777－1=(76+1)77－1∵76能被19整除.∴7777－1能被19整除.随堂练习7、(P38T6)用二项式定理证明5555＋9能被8整除证明：5555＋9=(56－1)55＋9∵每一项都能被8整除.∴5555＋9能被8整除.课堂小结