《高等数学》(第三版)教案第六章全

《高等数学》（第三版）教案第六章全6.1.1二元函数的概念教学目标： （1）了解二元函数及其极限与连续的概念；（2）会求二元函数的定义域；（3）了解简单的二元函数的极限。教学重点： （1）二元函数的概念及几何意义；（2）二元函数的定义域及其求法。教学难点： 二元函数及其极限与连续的概念。授课时数：2课时教学过程过程备注引言介绍本章学习的主要内容。教师讲授3′1.二元函数知识回顾在某个变化过程中，有两个变量和，设是实数集的某个子集，如果对于任意，按照确定的法则，变量总有唯一确定的数值与之对应，那么变量叫做变量的函数，记作．其中叫做自变量，叫做因变量，实数集叫这个函数的定义域．引导学生回答8′新知识设是平面上的一个非空点集，如果对于内的任意的点，按照某个法则，有唯一确定的实数与之对应，则称z是的二元函数，记作（或）．为自变量，z为因变量，点集D叫做函数的定义域．例如，函数的定义域为．设点是平面上一点，是某一正数，点集称为点的邻域，记为，即其中，称为邻域中心，称为邻域半径．不特别强调邻域的半径时，可以将简记作．不包含邻域中心的邻域叫做去心邻域，记作．在几何上，邻域就是平面上以点为圆心、为半径的圆的内部．由平面上的一条曲线或几条曲线所围成的部分（平面点集）称为平面区域．常用表示，围成区域的曲线叫做区域的边界．包含边界的区域称为闭区域，不包含边界的区域称为开区域．二元函数的定义域是平面区域．例如，是闭区域（图（1）），是开区域（图6－2（2））．（2）（1）（2）（1）图6－2教师讲授20′知识巩固例1求二元函数的定义域．解要使函数有意义，需．因此，得到函数的定义域为，用图形表示为直线上方的半平面（图6－3）．图6－4图6－4图6－3例2求二元函数的定义域．解要使函数有意义需，即，由于自变量y没有任何约束条件，即．故二元函数的定义域为． 用图形表示为直线之间的区域（图6－4）．在教师引领下共同完成30′新知识与一元函数类似，取定义域D中的点时，对应的数值叫做函数在点处的函数值，记为，，或.集合叫做函数的值域．教师讲授35′知识巩固例3设，求、．解 ， ．在教师引领下共同完成40′新知识二元函数的几何意义是一张空间曲面，其定义域是曲面在平面上的投影．例如，二元函数表示旋转抛物面；二元函数表示上半球面．教师讲授45′软件连接利用高级计算器（或matlab软件）可以方便地绘制二元函数的图像．在绘图选项卡中输入可以得到上半球面（图6－5）．图6－5教师演示50′2.二元函数的极限与连续知识回顾一元函数中，由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成，并且能用一个式子来表示的函数叫做初等函数． 设在点近旁有意义（在点可以没有定义），如果当时，的值无限趋近于确定的常数A，则把常数A叫做函数当时的极限，记作或）．设函数在及其近旁有定义，且，则函数在点处连续，点叫做函数的连续点．初等函数在其定义区间内都是连续函数，且．引导学生回答56′探究作出二元函数的图像，当平面的点点沿着不同的路径无限趋近于原点时，观察二元函数值变化趋势，发现是无限趋近于0（图6－6）．图6－6教师讲授演示60′新知识设函数在点的某邻域内有定义（在点处可以没有定义）．为该邻域内任意一点，若当点沿任意路径趋近于时，的值无限趋近于一个确定的常数，则常数叫做函数当时的极限，记为或．也可记作或当时，．一元函数的极限中，的途径只能是在数轴上．而二元函数，的途径是沿着平面中的任意路径，因此情况要复杂的多．设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续．而点叫做函数的连续点．否则称函数在点处不连续或间断，称点为的不连续点或间断点．如果函数在平面区域内每一点都连续，则称在区域内连续．与一元函数相类似，由常数及两个不同的自变量的二元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成，并且能用一个式子来表示的函数叫做二元初等函数．二元初等函数在其定义域内都是连续函数．因此，对以定义域中的任意点有．教师讲授70′知识巩固例4计算极限．解二元函数是初等函数，所以．在教师引领下共同完成75′1.设，求，．2.已知，求．3.求下列函数的的定义域 （1）；（2）． 4.计算下列极限(1)；(2)．学生课上完成87′小结新知识：二元函数及其极限与连续等概念。作业1.通过对比一元函数相应的概念，复习二元函数及其极限与连续等概念，加深对其内涵的理解。2.完成高等数学习题集“”。90′6.1.2二元函数的偏导数教学目标：（1）理解二元函数偏导数的概念，了解二元函数偏导数的几何意义；（2）理解二元函数二阶偏导数的概念；（3）掌握一阶、二阶的偏导数的求法。教学重点： 二元函数偏导数的概念及其求法。 教学难点： 二元函数偏导数的几何意义。授课时数：3课时.教学过程过程备注1.偏导数的概念知识回顾函数在点处的导数为=．引导学生回答5′新知识设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则把这个极限值叫做函数在点处对的偏导数，记作，，或．即．（6.1）类似地，函数在点处对的偏导数记作，，或．即=．（6.2）图6图6－7偏导数的几何意义图6－7所示．二元函数的图像是空间中一个曲面S，该曲面被平面所截，得到一条曲线,其在平面上的方程为．偏导数,就是这曲线在点处的切线的斜率．同样，偏导数的几何意义是，曲面被平面所截得的曲线在点处的切线的斜率．如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是的函数，叫做函数对自变量的偏导函数，简称偏导数，记作，，或．即．（6.3）类似地，函数对自变量的偏导函数，记作，，或．即=．（6.4）由偏导数及偏导函数的概念可知，函数在点处的两个偏导数和就是偏导函数和分别在点处的函数值．偏导函数也简称为偏导数．教师讲授30′知识巩固例5求的偏导数．解把看作常数，得．把看作常数，得．例6求在点(1，2)处的偏导数．解，，将(1,2)代入上面的结果，就得，．在教师引领下共同完成45′软件连接将一个变量看做常数，可以利用微软高级计算器的计算导数功能来计算偏导数．演示55′练习6.1.21.设，求，．2.计算下列函数的偏导数 （1）；（2）；（3）；（4）；学生课上完成75′2.二元函数的二阶偏导数新知识若二元函数在区域内的两个偏导数和都存在，则、仍然是、的函数，若它们的偏导数仍然存在，那么这种偏导数的偏导数，叫做的二阶偏导数．按照对变量求导次序的不同，函数的二阶偏导数有四个：，，，．其中和叫做混合偏导数．教师讲授90′知识巩固例7设，求其二阶偏导数．解，，；；；．例8求的二阶偏导数．解，， ；；；．在教师引领下共同完成105′新知识在例7和例8中，与都是相等的．一般地，如果函数的两个二阶混合偏导数和在区域内连续，那么，在该区域内这两个混合偏导数必相等．即．我们主要研究二元初等函数，因此两个二阶偏导数一般总是相等的．教师讲授110′链接软件可以利用微软高级计算器分步骤计算二阶偏导数．演示115′练习6.1.23.计算下列函数的二阶偏导数 （1）；（2）．学生课上完成130′小结新知识：二元函数偏导数的概念及几何意义，二元函数偏导数的求法，二元函数二阶偏导数的概念即求法。作业1.梳理二元函数偏导数的概念及求导方法；2.完成高等数学习题集“”。135′6.1.3二元函数的全微分教学目标：学习二元函数全微分的概念及计算。教学重点： 二元函数全微分的概念及计算。教学难点： 二元函数全微分的概念。授课时数：2课时.教学过程过程备注探究设有一块矩形的金属薄板，长为，宽为．金属薄板受热膨胀，长增加，宽增加，计算金属薄板的面积增加了多少．记金属薄板的面积为，则．由于金属薄板的长、宽分别增加和，故面积的增加量为图6－8．图6－8观察图6－8并分析的表达式，第一部分是、的线性函数，其系数分别是对、的偏导数，即， 第二部分是或的高阶无穷小，也是其对角线的高阶无穷小．因此可以表示为（当，时）． 因此，金属薄板面积的增量可以表示为 上式右边第一部分称为的线性主部，第二部分是的高阶无穷小，用线性主部去代替时，计算比较简单，而且产生的误差是关于的高阶无穷小．教师讲授语提问相结合20′新知识如果函数两个自变量同时取得增量、，那么函数取得的增量叫做全增量，记为．即．设函数在点的某个邻域内有定义，且、存在，如果二元函数在点处的全增量可以表示为，其中，则称为函数在点处的全微分，记作，即．（6.5）此时也称函数在点处可微．如果函数在区域内处处可微，则称函数在区域内可微．因为自变量的增量等于自变量的微分，即，，所以．全微分通常记为：教师讲授35′知识巩固例9求函数的全微分．解因为，，于是全微分为．例10求函数当，时，在点处的全增量和全微分．解全增量．因为，，所以，，在点处的全微分．在教师引领下完成50′练习6.1.31.已知函数，求（1）函数微分；（2）在点的微分；（3）在点，当时的微分 2.求下列函数的全微分（1）；（2）；（3）．3.一圆柱形的无盖铜质容器，壁的厚度为，底的厚度均为，内高为，内半径为，求容器质量的近似值（铜的密度）．学生课上完成85′小结新知识：二元函数全微分的概念及计算。作业完成高等数学习题集“”。90′6.1.4二元函数的极值教学目标：（1）理解二元函数极值的概念；（2）学会求二元函数的极值；（2）会求解一些较简单的最大最小值的应用问题。教学重点： 二元函数极值的概念及其计算。 教学难点： 二元函数最大最小值的应用问题。授课时数：3课时.教学过程过程备注探究图6－9观察二元函数的图像，点是开口向上的椭圆抛物面的顶点（图6－9）．函数的定义域为面内的平面点集．在面内，点对应的函数值为，点任一邻域内异于的点，其函数值都大于．所以，点的函数值比其周围近旁点的函数值都小，是函数的极小值．图6－9图图6－10教师讲授10′新知识一般地，设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点如果都满足不等式，则称函数在点有极大值；如果满足不等式，则称函数在点有极小值．极大值和极小值统称为极值．使函数取得极值的点称为极值点．例如，函数在点处有极大值，因为在点附近任意的，都有 从几何上看是显然的，函数的图形是上半球面，而点是球面的最高点（图6－10）．可以证明，若函数在点可微，且在点处有极值，则在该点的偏导数必然为零．即，．与一元函数类似，使，同时成立的点称为函数的驻点．从上面可知，可微函数的极值点一定是驻点．反之，函数的驻点不一定是极值点．如何判定一个驻点是否是极值点呢？通常依据下面的结论．设函数在点的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又，，令，，．则在点处的极值情况如下：（1）当时取得极值，且当时有极大值，当时有极小值；（2）当时没有极值；（3）当时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论．由此得到求函数的极值的一般步骤为：（1）解方程组；求得一切实数解，即求得一切驻点；（2）对于每个驻点，求出二阶偏导数的值、和；（3）求出，按极值存在的充分条件判定是否为极值，是极大值还是极小值．教师讲授30′知识巩固例12求函数的极值．解，．解方程组求得驻点为和．因为，，．列表判定如下结论0－30不是极值点6－36极小值点即函数在点取得极小值，且极小值为．例13求函数的极值．解，解方程组得驻点为和．因为，，．列表判定如下结论不是极值点极小值点即函数在点处取得极小值，且极小值为．在教师引领下完成50′练习6.1.41.求下列函数的极值．（1）； （2）；学生课上完成75′新知识实际问题中的二元函数极值问题比较复杂，如果根据问题的性质特点，知道其最大值（或最小值）一定在定义域的内部取得，并且函数在定义域内只有一个驻点，那么该驻点的函数值就是函数在上的最大值（或最小值）．教师讲授85′知识巩固例14本章开始的问题：要做一个容积为32立方米的长方体的无盖水箱，如何设计，才能用材料最省？解设底面长为米，宽为米，则高为米，于是所用材料的面积为，则，解方程组得唯一驻点．由于驻点唯一，且由问题的实际意义可知最小值一定存在，故这唯一的驻点就是最小值点．所以当长、宽都为米，高为米时，用料最省．在教师引领下完成100′练习6.1.42.建造一个长方形水池，其底和壁的总面积为，问水池的尺寸如何设计时，其容积最大？学生课上完成130′小结新知识：二元函数极值的概念及其计算，求解较简单的二元函数最大最小值的应用问题。作业1.梳理求二元函数极值和最大最小值应用问题的方法及步骤。2.完成高等数学习题集“”。135′6.2.1二重积分的概念教学目标：（1）理解二重积分的概念及几何意义；（2）了解二重积分的性质；（3）学会用二重积分表示曲顶柱体的体积。教学重点： 二重积分的概念、性质、几何意义。教学难点： 二重积分的概念的理解。授课时数：2课时.教学过程过程备注知识回顾在第3章中，我们通过“分割→替换→求和→取极限”的过程，计算曲边梯形的面积，从而研究了定积分．教师讲授探究我们来研究下面两个问题问题1.求曲顶柱体的体积．图6－11图6－12设有一几何体，它的底是平面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于铀的柱面，它的顶是曲面，这里，且在上连续（图6－11所示）．这种几何体称为曲顶柱体．现在我们来讨论它的体积．图6－11图6－12关于曲顶柱体，当点在区域上变动时，高是个变量，因此，它的体积不能直接用平顶柱体体积公式来计算．不难想到，用求曲边梯形面积的方法，即分割、近似代替、求和、取极限的手段来解这个问题．（1）分割：我们用一曲线网把区域任意分成个小区域，，…，，小区域的面积也记作．以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于轴的柱面，这些柱面把原来的曲项柱体分为个小曲顶柱体．它们的体积分别记作，，…，．（2）近似代替：对于任意一个小区域，当直径很小时，由于连续，在中的变化很小，因此可以近似地看作常数，即若任意取点，则当时，有，从而以为底的小曲顶柱体可近似地看作以为高的平顶柱体（图6－12所示），于是（）．（3）求和：把这些小曲顶柱体体积的近似值累加起来，就得到所求的曲顶柱体体积的近似值，即（4）取极限：很显然，如果区域分得越细，则上述和式就越接近于曲顶柱体体积，当把区域无限细分时，即当所有小区域的最大直径（区间内，最远端两点间的距离，称为该区间的直径）时，则和式的极限就是所求的曲顶柱体的体积，即．问题2.求非均匀平面薄板的质量设平面薄片的形状为闭域（图6－13所示），其面密度是点的函数，即在上为正的连续函数．当质量分布是均匀时，即为常数，则质量等于面密度乘以薄片的面积．当质量分布不均匀时，是随点而变化，如何求质量呢？我们采用与曲顶柱体的体积相类似的思路和方法，求薄片的质量．图6－13（1）分割：把区域任意分成个小区域图6－13，，…，小区域的面积也记作．该薄板就相应地分成个小块薄板．它们的质量分别记作，，…，．（2）近似代替：对于一个小区域，当直径很小时，由于连续，在中的变化很小，可以近似地看作常数．即若任意取点，则当时，有，从而上薄板的质量可近似地看作以为面密度的均匀薄板，于是（）．（3）求和：把这些小薄板质量的近似值累加起来，就得到所求的整块薄板质量的近似值，即．（4）取极限：很明显，如果区域分得越细，则上述和式就越接近于非均匀平面薄板的质量，当把区域无限细分时，即当所有小区域的最大直径时，则和式的极限就是所求的非均匀平面薄板的质量，即．动画演示图6-12曲顶柱体体积的求法总结求解步骤在教师引领下共同完成40′新知识上面两个问题，虽然实际意义不同，但解决问题的方法完全相同，都是计算一种二元函数和式的极限．一般的，设函数在闭区域上有定义，将任意分成个小区域，，…，，其中表示第个小区域，也表示它的面积．在每个小区域上任取一点，作乘积（），并作和式.如果当各小区域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且极限值与区域的分法无关，也与每个小区域中点的取法无关．则称此极限值为函数在闭区域上的二重积分，记作，即．其中叫做二重积分号，叫做被积函数，叫被积表达式，叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域．关于二重积分的几点说明：1.二重积分仅与被积函数及积分区域有关，而与积分变量所用符号无关．即有2.如果被积函数在闭区域上的二重积分存在，则称在上可积．在闭区域上连续时，在上一定可积．以后总假定在连续．3.二重积分的几何意义是：当时，二重积分就表示曲顶柱体的体积（图6－14（1））；若，二重积分就表示曲顶柱体的体积的负值（图6－14（2））；当在上的符号有正、有负时，二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和（图6－14（3））．（1）（1）（2）（3）图6－14与定积分的性质相类似，二重积分有如下的性质．假设二元函数，在平面内的积分区域上都连续，因而它们在上的二重积分都是存在的．性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即．性质2两个函数代数和的二重积分等于各个函数二重积分的代数和，即．性质3如果把积分区域分成两个闭子域与，即，则．性质4如果在上，，的面积为，则．教师讲授60′练习6.2.11.用二重积分表示下列曲顶柱体的体积（1），为矩形区域：，；（2），为圆形区域：．2.根据二重积分的几何意义，说明下列积分值大于零、小于零、还是等于零．（1）；（2）；（3）．3.利用二重积分的几何意义计算二重积分：（1），：；（2），：．教师引导学生课上完成85′小结新知识：二重积分的概念及几何意义，二重积分的性质，用二重积分表示曲顶柱体的体积。作业完成高等数学习题集“作业”。90′

6.2.2二重积分的计算教学目标：（1）学会将二重积分化为两种不同次序的二次积分的方法；（2）掌握直角坐标系下二重积分的计算。教学重点： 直角坐标系下二重积分的计算。教学难点： 将二重积分化为两种不同次序的二次积分的方法。授课时数：4课时.教学过程过程备注知识回顾牛顿——莱布尼兹公式（其中）将定积分转化为不定积分来计算．提问2′新知识二重积分计算可以转化为两次定积分进行计算，这种方法称为二次积分（或累次积分）．由二重积分的概念可知，如果二重积分存在，它的值与区域的分法无关，其面积元素象征着和式极限中的．在直角坐标系下，我们可以采用便于计算的分割方法：用与坐标轴平行的两组直线把划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形（图6－15所示），于是，小矩形的面积，因此在直角坐标系下，面积元素为．于是二重积分可写成．图6－15下面根据二重积分的几何意义，结合积分区域的种形状特点，介绍二重积分的计算方法．1.积分区域为型域积分区域为：，，称为型域（或上下结构），其中函数，在上连续（图6－16所示）．图图6－16不妨设，由二重积分的几何意义知，表示以为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积（图6－17（2））．（1）（2）图6－17选取为积分变量，在上任取一个小区间,设表示过点且垂直于轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，得曲顶柱体体积的微元为，所以．又因为截面是以区间为底，以曲线（是固定的）为曲边的曲边梯形，所以．于是．上式右端是一个先对、再对的二次积分（累次积分）．就是说，先把看作常数，把只看作的函数，并对计算从到的定积分，然后把所得的结果（是的函数）再对计算从到的定积分．这个先对、再对的二次积分常记作.因此将二重积分化为先对，再对的二次积分的计算公式写作．在上述讨论中，我们假定了．但实际上公式的成立并不受此条件限制．教师讲授20′知识巩固例2计算二重积分，其中为矩形区域：，．解矩形区域是型域，（图6－18所示），所以，选取先对积分，后对积分的顺序．即图6－18图6－18．图6－18教师讲授30′新知识2.积分区域为型域积分区域为：，，称为型域（或左右结构），其中函数，在区间上连续（图6－19所示）．图6－19图6－19仿照“型域”的计算方法，有“型域”的计算方法．这就是把二重积分化为先对、再对的二次积分的公式．注意如果积分区域不能表示成上面两种形式中的任何一种，那么，可将分割，使其各部分符合第一种类型或第二种类型．