5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象第五章§5.4三角函数的图象与性质1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画

给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通

过函数图象解决简单的问题.学习目标同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数无形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数.导语随堂演练课时对点练一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识二、“五点(画图)法”画函数的图象三、正弦函数、余弦函数图象的应用内容索引一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识问题1结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？提示先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.问题2绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0，sinx0)?提示如图，在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sinx0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sinx0).问题3我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？提示

如图，借助单位圆，在x轴上把[0,2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sinx，x∈R的图象.函数y＝sinx，x∈R图象

知识梳理1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.函数y＝sinx，x∈R图象

例1

(1)下列叙述正确的个数为

①y＝sinx，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围.A.0 B.1 C.2 D.3√解析分别画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]和y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①，②，③均正确.(2)关于三角函数的图象，有下列命题：①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称.其中正确命题的序号是______.解析对于②，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；对于④，y＝cos(－x)＝cosx，故其图象关于y轴对称，画图可知①，③均不正确.②④反思感悟

解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.跟踪训练1

下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是

A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到B.都是对称图形C.都与x轴有无数个交点D.y＝sin(－x)的图象与y＝sinx的图象关于x轴对称√解析由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确.二、“五点(画图)法”画函数的图象问题4如何画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的简图？知识梳理“五点(画图)法”(0,0)(π，0)(2π，0)例2

(教材199页例1改编)用“五点法”作下列函数的图象：(1)y＝1－2sinx，x∈[0,2π]；解列表：描点连线，画图如图.解列表：描点连线，画图如图.反思感悟

作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤跟踪训练2

用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象：(1)y＝－sinx；(2)y＝2－cosx.解三、正弦函数、余弦函数图象的应用例3

不等式2sinx－1≥0，x∈[0,2π]的解集为

√延伸探究1.在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sinx－1≥0的解集.解作出正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图象，反思感悟

利用三角函数图象解三角不等式sinx>a(cosx>a)的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象.(2)确定在[0,2π]上sinx＝a(cosx＝a)的x值.(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.(4)根据公式一写出定义域内的解集.跟踪训练3

方程x2－cosx＝0的实数解的个数是____，所有的实数解的和为____.解析作函数y＝cosx与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0.201.知识清单：(1)正弦函数、余弦函数的图象.(2)“五点法”作图.(3)函数图象的应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象.课堂小结随堂演练1.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是

1234√解析y＝sin(－x)＝－sinx，y＝－sinx与y＝sinx的图象关于x轴对称，故选B.1234√解析所描出的五点的横坐标与函数y＝sinx的五点的横坐标相同，√解析画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]的简图如图所示.12344.函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为_______________.1234课时对点练1.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象

A.重合

B.形状相同，位置不同C.关于y轴对称

D.形状不同，位置不同基础巩固123456789101112131415√16解析根据正弦曲线的作法可知函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.123456789101112131415√162.利用“五点法”画y＝sinx－1，x∈[0,2π]的图象，第三个点为√A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称123456789101112131415164.函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是

A.1 B.2 C.3 D.4123456789101112131415√16解析将y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝1的函数图象绘制在同一直角坐标系上，如图所示，显然，数形结合可知，只有1个交点.√12345678910111213141516解析在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，√√1234567891011121314151612345678910111213141516解析设余弦函数为y＝cosx，123456789101112131415168.若方程sinx＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是________.解析∵x∈[0,2π]，∴y＝sinx∈[－1,1]，∴sinx＝4m＋1∈[－1,1]，123456789101112131415169.画出下列函数的简图：(1)y＝1－sinx，x∈[0,2π]；解描点连线，画图如图.12345678910111213141516(2)y＝3cosx＋1，x∈[0,2π].解描点连线，画图如图.1234567891011121314151610.分别作出函数y＝|sinx|和y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]的图象.解y＝|sinx|的图象为将y＝sinx在x轴下方的图象沿x轴翻折所得；y＝sin|x|的图象为y＝sinx在y轴右方的图象不变，再将y轴右方的图象沿y轴翻折所得.11.如图所示的曲线对应的函数解析式是

A.y＝|sinx| B.y＝sin|x|C.y＝－sin|x| D.y＝－|sinx|综合运用√1234567891011121314151612.函数f(x)＝cosx|tanx|的部分图象大致为

12345678910111213141516√12345678910111213141516当x在第一象限时，f(x)＝sinx>0；当x在第三象限时，f(x)＝sinx<0；当x在第二象限时，f(x)＝－sinx<0；当x在第四象限时，f(x)＝－sinx>0，结合定义域可知选B.13.函数f(x)＝lgx与g(x)＝cosx的图象的交点个数为

A.1 B.2 C.3 D.不确定12345678910111213141516√解析在同一坐标系中，作出函数f(x)＝lgx与g(x)＝cosx的图象，如图所示，由图可知，两函数的交点个数为3.14.方程2