5.4.2　第1课时　周期性与奇偶性

第1课时周期性与奇偶性第五章

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学和函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确

判断一些三角函数的变式的奇偶性.学习目标同学们，生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质.导语随堂演练课时对点练一、正弦函数、余弦函数的周期二、正弦函数、余弦函数的奇偶性三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用内容索引一、正弦函数、余弦函数的周期问题1

正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？提示能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律.我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0,2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象.②诱导公式一，sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，对任意的k∈Z都成立.知识梳理1.函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个

，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且

，那么函数f(x)就叫做周期函数.

叫做这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.非零常数T非零常数T最小的正数f(x＋T)＝f(x)3.正弦函数是

，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

.4.余弦函数是

，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

.注意点：(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立；(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期；(3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可；(4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.周期函数周期函数2π2π例1求下列三角函数的周期；(1)y＝7sinx，x∈R；解因为7sin(x＋2π)＝7sinx，由周期函数的定义知，y＝7sinx的周期为2π.(2)y＝sin2x，x∈R；解因为sin2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin2x，由周期函数的定义知，y＝sin2x的周期为π.(4)y＝|cosx|，x∈R.解y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.反思感悟

求三角函数周期的方法(1)定义法：利用周期函数的定义求解.(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可.跟踪训练1已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)·f(x)＝－1，则f(x)的周期为

A.2 B.4 C.6 D.1①若f(x－a)＝f(x)，则函数f(x)的周期为a；②若f(x－a)＝f(x＋a)，则函数f(x)的周期为2a；③若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2a；√二、正弦函数、余弦函数的奇偶性问题2

继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？提示正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称.知识梳理正弦函数是

，余弦函数是

.奇函数偶函数例2判断下列函数的奇偶性.因为∀x∈R，都有－x∈R，(2)f(x)＝|sinx|＋cosx；解函数f(x)＝|sinx|＋cosx的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以函数f(x)＝|sinx|＋cosx是偶函数.因为∀x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sinx＝－f(x)，反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系.(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.跟踪训练2

判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝sinxcosx；解函数的定义域为R，关于原点对称.∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，∴f(x)＝sinxcosx为奇函数.∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称.当cosx＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x).三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用问题3知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？提示通过研究一个周期内的函数图象，可推导出整个函数具有相同的性质.√延伸探究1反思感悟

三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解.(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(A≠0，ω>0)或y＝Acosωx(A≠0，ω>0)其中的一个.偶函数±2∴f(x)为偶函数，1.知识清单：(1)周期函数的概念，三角函数的周期.(2)三角函数的奇偶性.(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用.2.方法归纳：定义法、公式法、数形结合.3.常见误区：函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为课堂小结随堂演练1.函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是

A.奇函数

B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数1234√解析由于x∈R，且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.1234√解析y＝cos(－4x)＝cos4x.√12341234＝－cos2x，x∈R，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.12341课时对点练基础巩固123456789101112131415√162.函数y＝4sin(2x－π)的图象关于

A.x轴对称

B.原点对称C.y轴对称

D.直线x＝

对称123456789101112131415√16解析因为y＝4sin(2x－π)＝－4sin2x是奇函数，所以其图象关于原点对称.A.奇函数

B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数12345678910111213141516√解析函数的定义域为R，关于原点对称.所以f(x)是偶函数.123456789101112131415√16√123456789101112131415165.函数y＝f(x)＝xsinx的部分图象是

解析∵f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，故选A.√√6.(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是

解析A中，由y＝|cosx|的图象知，y＝|cosx|是周期为π的偶函数，所以A正确；B中，函数为奇函数，所以B不正确；1234567891011121314151612345678910111213141516解析令g(x)＝x3cosx，∴g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1，∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.7.设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝______.－91234567891011121314151612345678910111213141516解∵T＝π，且f(x)为偶函数，1234567891011121314151610.判断下列函数的奇偶性：解f(x)的定义域为R，关于原点对称，∴f(x)为奇函数.12345678910111213141516(2)f(x)＝cosx－x3sinx.解f(x)的定义域为R，关于原点对称，∵f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)＝cosx－x3sinx＝f(x)，∴f(x)为偶函数.综合运用1