4.2.2　指数函数的图象与性质(二)

4.2.2指数函数的图象与性质(二)第四章§4.2指数函数1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.能利用函数的单调性求简单的函数定义域与值域的问题.学习目标随堂演练课时对点练一、利用单调性比较大小二、简单的指数不等式的解法三、定区间上的值域问题内容索引四、指数函数图象和性质的综合运用一、利用单调性比较大小例1

(1)1.11.1，1.10.9；解因为y＝1.1x是增函数，1.1>0.9，故1.11.1>1.10.9.(2)0.1－0.2，0.10.9；解因为y＝0.1x是减函数，－0.2<0.9，故0.1－0.2>0.10.9.(3)30.1，π0.1；解因为y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，3<π，故30.1<π0.1.(4)1.70.1，0.91.1；解因为1.70.1>1.70＝1，0.91.1<0.90＝1，故1.70.1>0.91.1.(5)0.70.8，0.80.7.解取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7).反思感悟一般地，比较幂大小的方法有(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断.(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断.跟踪训练1

(1)下列大小关系正确的是A.0.43<30.4<π0

B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0

D.π0<30.4<0.43解析0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4.√(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a解析∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.即b<a<c.√二、简单的指数不等式的解法∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}.(2)已知

<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范围.解分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，解得－1<x<5，综上所述，当0<a<1时，x的取值范围是{x|x<－1或x>5}；当a>1时，x的取值范围是{x|－1<x<5}.反思感悟(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1).跟踪训练2

(1)求下列函数的定义域.解由2x－1≥0解得x≥0，(2)不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.解析原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则不等式的解集为{x|x<1}.{x|x<1}三、定区间上的值域问题√反思感悟关于定区间上的值域问题(1)求定区间上的值域关键是确定函数的单调性，如果底数中含字母，则分a>1,0<a<1两种情况讨论，单调性确定后，根据单调性求最值即可.(2)特别地，如果是最大值与最小值的和，则不需要讨论，因为无论单调递增还是递减，最值总在端点处取到.√x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2－3≤2x≤2，四、指数函数图象和性质的综合运用(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；该函数是减函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x1<x2，f(x2)－f(x1)＝因为x1<x2，所以0< ，所以

<0，(1＋

)(1＋

)>0，所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1).所以该函数在定义域R上是减函数.(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.解由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，得f(t2－2t)<－f(2t2－k).因为f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)<f(k－2t2)，由(1)知，f(x)是减函数，所以t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立，反思感悟函数性质的综合应用(1)解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.(2)一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.(1)求实数a的值；又a>0，所以a＝1.(2)求f(x)在[1,3]上的值域.设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，因为0<x1<x2，所以

，则f(x1)－f(x2)＝所以

<0.又因为x1＋x2>0，所以

>1，所以1－

>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.1.知识清单：(1)比较大小.(2)解不等式、方程.(3)定区间上的值域问题.(4)指数函数性质的综合运用.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1.课堂小结随堂演练1234解析因为函数y＝0.3x在定义域R上是减函数，且0.3m>0.3n，所以m<n.1.已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为A.m>n

B.m<nC.m＝n

D.不能确定√12342.f(x)＝

，x∈R，那么f(x)是A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数解析由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，√12343.函数f(x)＝

的定义域为A.(－3,0] B.(－3,1]C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]所以函数f(x)的定义域为(－3,0].√1234且

，4.不等式

的解集为______.(1,2)所以x2－2x－2<x－4，即x2－3x＋2<0，解得1<x<2.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.方程42x－1＝16的解是√12345678910111213141516√123456789101112131415163.(多选)已知实数a，b满足等式2021a＝2022b，下列等式可以成立的是A.a＝b＝0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a解析如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故选ABD.√√√123456789101112131415164.函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是A.6 B.1 C.3 D.解析函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3.√123456789101112131415165.函数f(x)＝3－x在[－2,1]上的值域是√123456789101112131415166.设a＝

，b＝

，c＝

，则a，b，c的大小关系是解析因为y＝

(x>0)为增函数，所以a>c.A.a>c>b

B.a>b>cC.c>a>b

D.b>c>a√所以a>c>b.123456789101112131415162解析因为f(x)为定义在R上的奇函数，123456789101112131415168.函数y＝

的定义域是__________.解析由题意得2x－1－8≥0，即2x－1≥8＝23，∴x－1≥3，解得x≥4.[4，＋∞)123456789101112131415169.比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；解∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2.12345678910111213141516(2)0.6－1.2和0.6－1.5；解∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5.(3)1.50.3和0.81.2.解由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，又0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.1234567891011121314151610.已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范围.解设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，所以f(x)＝2x，又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，因此由g(2x－1)<g(3x)，得2x－1>3x，解得x<－1.所以x的取值范围为(－∞，－1).123456789101112131415综合运用1611.(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是A.1.72.5<1.73

B.0.8－0.1<0.8－0.2C.1.50.4<0.82.6

D.√√12345678910111213141516解析∵函数y＝1.7x在R上为增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，A正确；∵函数y＝0.8x在R上为减函数，－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，B正确；∵1.50.4>1.50＝1,0.82.6<0.80＝1，∴1.50.4>0.82.6，C错误；1234567891011121314151612.已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是√12345678910111213141516解析因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)内的值域是(1，a2)，又指数函数是单调函数，所以a>1.由底数大于1的指数函数的图象上升，且在x轴上方，可知B正确.1234567891011121314151613.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，若f(x－2)>0，则x的取值范围是A.(－∞，0) B.(0,4)C.(4，＋∞) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)√12345678910111213141516解析当x≥0时，令f(x)＝2x－4>0，解得x>2.又∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴其图象关于y轴对称，∴不等式f(x)>0在R上的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞).∴不等式f(x－2)>0等价为x－2∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，解得x∈(－∞，0)∪(4，＋∞).12345678910111213141516解析由题意知f(x)是R上的减函数，拓广探究123456789101112131415