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文档简介
4.2.2指数函数的图象与性质(二)第四章§4.2指数函数1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.能利用函数的单调性求简单的函数定义域与值域的问题.学习目标随堂演练课时对点练一、利用单调性比较大小二、简单的指数不等式的解法三、定区间上的值域问题内容索引四、指数函数图象和性质的综合运用一、利用单调性比较大小例1
(1)1.11.1,1.10.9;解因为y=1.1x是增函数,1.1>0.9,故1.11.1>1.10.9.(2)0.1-0.2,0.10.9;解因为y=0.1x是减函数,-0.2<0.9,故0.1-0.2>0.10.9.(3)30.1,π0.1;解因为y=x0.1在(0,+∞)上单调递增,3<π,故30.1<π0.1.(4)1.70.1,0.91.1;解因为1.70.1>1.70=1,0.91.1<0.90=1,故1.70.1>0.91.1.(5)0.70.8,0.80.7.解取中间值0.70.7,因为0.70.8<0.70.7<0.80.7,故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8,即0.70.8<0.80.8<0.80.7).反思感悟一般地,比较幂大小的方法有(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断.(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.跟踪训练1
(1)下列大小关系正确的是A.0.43<30.4<π0
B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0
D.π0<30.4<0.43解析0.43<0.40=1=π0=30<30.4.√(2)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是A.a<b<c
B.a<c<bC.b<a<c
D.b<c<a解析∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,故1.50.6>0.60.6,又函数y=0.6x在R上是减函数,且1.5>0.6,∴0.61.5<0.60.6,故0.61.5<0.60.6<1.50.6.即b<a<c.√二、简单的指数不等式的解法∴3x-1≥-1,∴x≥0,故原不等式的解集是{x|x≥0}.(2)已知
<ax+6(a>0,a≠1),求x的取值范围.解分情况讨论:①当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在R上是减函数,∴x2-3x+1>x+6,∴x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5;②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在R上是增函数,∴x2-3x+1<x+6,∴x2-4x-5<0,解得-1<x<5,综上所述,当0<a<1时,x的取值范围是{x|x<-1或x>5};当a>1时,x的取值范围是{x|-1<x<5}.反思感悟(1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0,a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1).跟踪训练2
(1)求下列函数的定义域.解由2x-1≥0解得x≥0,(2)不等式23-2x<0.53x-4的解集为________.解析原不等式可化为23-2x<24-3x,因为函数y=2x是R上的增函数,所以3-2x<4-3x,解得x<1,则不等式的解集为{x|x<1}.{x|x<1}三、定区间上的值域问题√反思感悟关于定区间上的值域问题(1)求定区间上的值域关键是确定函数的单调性,如果底数中含字母,则分a>1,0<a<1两种情况讨论,单调性确定后,根据单调性求最值即可.(2)特别地,如果是最大值与最小值的和,则不需要讨论,因为无论单调递增还是递减,最值总在端点处取到.√x2+1≤4-2x,解得-3≤x≤1,所以2-3≤2x≤2,四、指数函数图象和性质的综合运用(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性;该函数是减函数,证明如下:任取x1,x2∈R,x1<x2,f(x2)-f(x1)=因为x1<x2,所以0< ,所以
<0,(1+
)(1+
)>0,所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).所以该函数在定义域R上是减函数.(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.解由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,得f(t2-2t)<-f(2t2-k).因为f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2),由(1)知,f(x)是减函数,所以t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立,反思感悟函数性质的综合应用(1)解题过程中要关注、体会性质的应用,如果性质应用不充分,会导致解题步骤烦琐或无法求解,如本题中奇偶性、单调性的应用,可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.(2)一元二次不等式的恒成立问题,可以结合相应的一元二次函数的图象,转化为等价的条件求解,恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.(1)求实数a的值;又a>0,所以a=1.(2)求f(x)在[1,3]上的值域.设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,因为0<x1<x2,所以
,则f(x1)-f(x2)=所以
<0.又因为x1+x2>0,所以
>1,所以1-
>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.1.知识清单:(1)比较大小.(2)解不等式、方程.(3)定区间上的值域问题.(4)指数函数性质的综合运用.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:研究y=af(x)型函数,易忽视讨论a>1还是0<a<1.课堂小结随堂演练1234解析因为函数y=0.3x在定义域R上是减函数,且0.3m>0.3n,所以m<n.1.已知0.3m>0.3n,则m,n的大小关系为A.m>n
B.m<nC.m=n
D.不能确定√12342.f(x)=
,x∈R,那么f(x)是A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数解析由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数,√12343.函数f(x)=
的定义域为A.(-3,0] B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]所以函数f(x)的定义域为(-3,0].√1234且
,4.不等式
的解集为______.(1,2)所以x2-2x-2<x-4,即x2-3x+2<0,解得1<x<2.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.方程42x-1=16的解是√12345678910111213141516√123456789101112131415163.(多选)已知实数a,b满足等式2021a=2022b,下列等式可以成立的是A.a=b=0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a解析如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0,故选ABD.√√√123456789101112131415164.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是A.6 B.1 C.3 D.解析函数y=ax在[0,1]上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a0+a1=3,解得a=2,因此函数y=2ax-1=4x-1在[0,1]上单调递增,当x=1时,ymax=3.√123456789101112131415165.函数f(x)=3-x在[-2,1]上的值域是√123456789101112131415166.设a=
,b=
,c=
,则a,b,c的大小关系是解析因为y=
(x>0)为增函数,所以a>c.A.a>c>b
B.a>b>cC.c>a>b
D.b>c>a√所以a>c>b.123456789101112131415162解析因为f(x)为定义在R上的奇函数,123456789101112131415168.函数y=
的定义域是__________.解析由题意得2x-1-8≥0,即2x-1≥8=23,∴x-1≥3,解得x≥4.[4,+∞)123456789101112131415169.比较下列各组数的大小:(1)1.52.5和1.53.2;解∵函数y=1.5x在R上是增函数,2.5<3.2,∴1.52.5<1.53.2.12345678910111213141516(2)0.6-1.2和0.6-1.5;解∵函数y=0.6x在R上是减函数,-1.2>-1.5,∴0.6-1.2<0.6-1.5.(3)1.50.3和0.81.2.解由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1,又0.81.2<0.80=1,∴1.50.3>0.81.2.1234567891011121314151610.已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,又g(2x-1)<g(3x),求x的取值范围.解设f(x)=ax(a>0且a≠1),因为f(3)=8,所以a3=8,即a=2,所以f(x)=2x,又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称,因此由g(2x-1)<g(3x),得2x-1>3x,解得x<-1.所以x的取值范围为(-∞,-1).123456789101112131415综合运用1611.(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是A.1.72.5<1.73
B.0.8-0.1<0.8-0.2C.1.50.4<0.82.6
D.√√12345678910111213141516解析∵函数y=1.7x在R上为增函数,2.5<3,∴1.72.5<1.73,A正确;∵函数y=0.8x在R上为减函数,-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,B正确;∵1.50.4>1.50=1,0.82.6<0.80=1,∴1.50.4>0.82.6,C错误;1234567891011121314151612.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的大致图象是√12345678910111213141516解析因为函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),又指数函数是单调函数,所以a>1.由底数大于1的指数函数的图象上升,且在x轴上方,可知B正确.1234567891011121314151613.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),若f(x-2)>0,则x的取值范围是A.(-∞,0) B.(0,4)C.(4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞)√12345678910111213141516解析当x≥0时,令f(x)=2x-4>0,解得x>2.又∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴其图象关于y轴对称,∴不等式f(x)>0在R上的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).∴不等式f(x-2)>0等价为x-2∈(-∞,-2)∪(2,+∞),解得x∈(-∞,0)∪(4,+∞).12345678910111213141516解析由题意知f(x)是R上的减函数,拓广探究123456789101112131415
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