内蒙古包头市包钢四中2024-2025学年高二数学下学期4月月考试题文含解析

PAGEPAGE17内蒙古包头市包钢四中2024-2025学年高二数学下学期4月月考试题文（含解析）一、选择题（本题共12小题，共60分）1.抛物线的焦点坐标是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】把抛物线化为，，的焦点坐标是.选D.2.已知函数为函数的导函数，那么等于（）A.-1 B.1 C.0 D.【答案】A【解析】，所以，故选A.3.已知椭圆的焦距为8，则m的值为（）A.3或 B.3 C. D.或【答案】A【解析】【分析】看分母的大小，分两种状况探讨【详解】由焦距为8，得，即①当时，所以，解得②当时，所以，解得综上：或故选：A【点睛】本题考查的是椭圆的标准方程，较简洁.4.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】解：因为曲线，选A5.若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出f（x）的导函数，令导函数小于等于0在区间（1，+∞）上恒成立，分别出a，求出函数的最大值，求出a的范围．【详解】∵∵f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，∴在区间（1，+∞）上恒成立∴a≤x2在区间（1，+∞）上恒成立∵x2＞1∴a≤1，经检验，等号成立故选D．【点睛】本题考查导数与函数的单调性，解决已知函数的单调性求参数范围问题常转化为导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立求参数范围问题常分别参数转化为求函数的最值，是基础题6.若，则等于（）A.2 B.0 C.-2 D.【答案】D【解析】【分析】先求导，算出，然后即可求出【详解】因为，所以所以，得所以，所以故选：D【点睛】本题考查是导数的计算，较简洁.7.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由求出即可【详解】因为，所以所以其渐近线方程为故选：A【点睛】在椭圆中有，在双曲线中有.8.函数导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增B.函数的递减区间为C.函数在处取得极大值D.函数在处取得微小值【答案】D【解析】【分析】依据导数的图象写出的单调区间即可.【详解】由图可知：在和上单调递减，在和上单调递增所以在处取得微小值故选：D【点睛】本题考查的是利用导数的图象得的单调性和极值点，较简洁.9.已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】若△AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,,,,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质10.已知椭圆的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意和椭圆的定义得出，同时可得，代入可得椭圆的离心率的取值范围.【详解】解：由椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2a,因为|PF1|=2|PF2即,又因为,所以,所以有:,,故椭圆的离心率的取值范围是,故选C.【点睛】本题主要考查椭圆的简洁性质及离心率的相关计算，相对不难.11.已知点P是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则，先由椭圆的定义得，然后由余弦定理算出，即可得出，然后算出离心率即可.【详解】设，则由椭圆的定义得，即由余弦定理得：即所以，所以所以椭圆的离心率为：故选：B【点睛】本题考查的是椭圆中的焦点三角形，解决此类问题时一般要用到椭圆的定义和余弦定理，比较典型.12.若直线与的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：因，故函数在处取微小值，在取极大值，故结合函数的图象可知当，两函数与的图象有三个交点，应选A.考点：导数在探讨函数的零点中的运用．二、填空题（本题共4小题，共20分）13.抛物线上一点M的横坐标为3，且，则抛物线方程为_________．【答案】【解析】【分析】由解出即可【详解】抛物线的准线方程为：所以，解得所以抛物线的方程为：故答案为：【点睛】本题考查的是抛物线的定义的应用，较简洁.14.求过点且与曲线相切的直线方程为_________．【答案】【解析】【分析】设过点的直线与相切于点，由建立方程，解出即可.【详解】设过点的直线与相切于点因为，所以解得所以切线的斜率为所以切线的方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查的是导数的几何意义的应用，较为典型.15.已知点平分抛物线的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_________．【答案】【解析】【分析】设弦的两端点为，则有，将两式作差即可算出斜率，从而得到直线的方程.【详解】设弦的两端点为则有将两式相减得因为，所以所以这条弦所在直线的方程是：，即故答案为：【点睛】点差法是解决中点弦问题常用的方法.16.设函数，若函数有三个不同零点，则c的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】利用导数探讨函数的单调性，求得函数的极大值与微小值，依据极大值大于零，微小值小于零列不等式可得结果.【详解】，令得或与在区间上的状况如下：+00+单调递增单调递减单调递增所以，当极大值且微小值时，存在，，使得所以当时函数有三个不同零点故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数探讨函数的单调性、函数的极值及函数的零点，属于中档题，三次函数的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决，设函数的极大值为，微小值为，一个零点有或，两个零点有或，三个零点有且.三、解答题（本题共6小题，共70分）17.（1）已知和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上，求椭圆C的方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，求双曲线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）由椭圆的定义求出即可（2）设双曲线的方程为，将点代入求出即可【详解】（1）和是椭圆：的两个焦点，且点在椭圆C上，∴依题意，，又，故所以故所求椭圆C的方程为．（2）双曲线的两条渐近线的方程为，且经过点，可设双曲线的方程为，可得，即，即有双曲线的方程为．【点睛】本题考查的是椭圆和双曲线的基本学问，较简洁.18.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)依据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类探讨，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，∴．∴7b2=12（k2+1），满意△＞0．∴点O到直线AB的距离为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题.探究圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特别入手，先依据特别位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②干脆推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19.已知动圆M经过定点，且与直线相切.（1）求动圆M的圆心的轨迹方程曲线C；（2）设直线l与曲线C相交于M，N两点，且满意，的面积为8，求直线l的方程.【答案】（1）曲线C的方程为：，（2）直线l的方程为：【解析】【分析】（1）依据抛物线的定义可知，曲线C是以为焦点，以直线为准线的抛物线，写出其方程即可（2）设直线l：，，联立直线与抛物线的方程，消元可得，由得到，所以直线l恒过定点，然后由即可求出【详解】（1）设点，点到直线的距离为依题意得依据抛物线的定义可知，曲线C是以为焦点，以直线为准线的抛物线所以曲线C的方程为：（2）易知直线l的斜率明显存在设直线l：，由得所以所以所以，所以所以直线l：所以直线l恒过定点所以所以，即所以，所以，即所以直线l的方程为：【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采纳“设而不求”“整体带入”等解法.20.设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．21.已知函数，。（1）求函数在处的切线方程；（2）探讨函数的单调性.【答案】（1），（2）①当时在上单调递增；②当时在上单调递减，在上单调递增；③当时在上单调递减，在上单调递增【解析】【分析】（1）求出和即可（2），分、、三种状况探讨.【详解】（1）因为所以，所以所以函数在处的切线方程为：，即（2）的定义域是所以当时在上单调递增当时由得，由得所以在上单调递减，在上单调递增当时由得，由得所以在上单调递减，在上单调递增综上：①当时在上单调递增②当时在上单调递减，在上单调递增③当时在上单调递减，在上单调递增【点睛】本题考查的是导数的几何意义及利用导数探讨函数的单调