人教版八年级数学下册举一反三20.1数据的分析【八大题型】(学生版+解析)

专题20.1数据的分析【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】 2【题型2已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】 2【题型3利用平均数、中位数、众数或方差做决策】 3【题型4利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】 4【题型5出错情况下的统计量问题】 4【题型6利用方差判断稳定性】 5【题型7四种统计量的选择】 6【题型8统计量的综合应用】 7【知识点1平均数】平均数：加权平均数：（、…的权分别是、…）新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。【知识点2众数与中位数】众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。【知识点3方差】方差：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。【题型1求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】【例1】（2022·四川成都·三模）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别是（）A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5【变式1-1】（2022·安徽合肥·八年级期末）已知一组数据5，15，75，45，25，75，45，25，45，35，那么45是这组数据的（

）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差【变式1-2】（2022·黑龙江绥化·八年级期末）小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表：日期一二三四五方差平均气温最低气温13253由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是_____．【变式1-3】（2022·山东济宁·八年级期末）小明八年级下学期的数学成绩如下表所示：考试类别平时成绩期中成绩期末成绩单元1单元2单元3单元4单元5成绩87848183908688(1)计算小明该学期的平时平均成绩．(2)如果按平时占20％，期中占30％，期末占50％计算学期的总评成绩．请计算出小明该学期的总评成绩．【题型2已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的中位数小于4，则a的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【变式2-1】（2022·内蒙古呼和浩特·三模）已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2−7x+k=0的两个根，则这组数据的中位数是（A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【变式2-2】（2023·河北·九年级专题练习）佳佳同学5次上学途中所花时间（单位：min）x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+yA．192 B．200 C．208 D．400【变式2-3】（2023·江西·九年级专题练习）已知一组从小到大排列的整数：x，3，y，2x，4，有唯一的众数4，则这组数据的中位数是______．【题型3利用平均数、中位数、众数或方差做决策】【例3】（2018·北京房山·二模）某校广播台要招聘一批小主持人，对A、B两名小主持人进行了专业素质、创新能力、外语水平和应变能力进行了测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示：应聘者专业素质创新能力外语水平应变能力A73857885B81828075如果只招一名主持人，该选用______；依据是_____．（答案不唯一，理由支撑选项即可）【变式3-1】（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵葡萄树，每棵葡萄树产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2品种甲乙丙丁平均数（x）21242525方差（S21.81.91.82今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是______．【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数分别是88分和90分，若90分及90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是________.【变式3-3】（2013·山西·八年级期末）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表．如果每分钟跳绳次数≥105次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是__________________________．班级人数中位数平均数甲班2710497乙班2710696【题型4利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】【例4】（2022·安徽阜阳·八年级期末）已知一组数据a、b、c的平均数为5，则2a−3、2b−3、2c−3的平均数是___________．【变式4-1】（四川省德阳市绵竹市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如果m个数的平均数是a，另外n个数的平均数是b，那么，这m+n个数的平均数是_______．【变式4-2】（辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）将一组数据的每一个数都减去30，所得新的一组数据的平均数是1，则原来那组数据的平均数为(

)A．31 B．30 C．1 D．29【变式4-3】（浙江省杭州市三校2022-2023学年八年级下学期期中检测数学试题）已知数据1，2，3，4的平均数为k1；数据5，6，7，8的平均数为k2；k1与k2的平均数是k；数据1，2，3，4，5，6，7，8的平均数为m，那么k与A．k>m B．k=m C．k<m D．不能确定【题型5出错情况下的统计量问题】【例5】（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是___．【变式5-1】（黑龙江省哈尔滨市木兰县2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试题）某同学求30个数据的平均数时，漏加了一个数据50，正确计算出这29个数据的平均数为20，则实际30个数据的平均数为__________．【变式5-2】（2022·上海浦东新·模拟预测）某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断【变式5-3】（2022·河南·南阳市油田教育教学研究室八年级期末）教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x，方差是s2，则（

A．x<7.5，s2=1.64 B．C．x>7.5，s2<1.64 D．【题型6利用方差判断稳定性】【例6】（2022·全国·八年级）山西省是全国马铃薯主产区之一，在“十四五”期间，我省围绕“品种提高单产，品质提升效益”的思路，实施具有山西特色的“优薯计划”．因为鲜食马铃薯适宜储藏温度为了心－5℃，所以整个储藏期间冷库的温度要求稳定，波动不超过＋1℃．如图是根据甲、乙两个马铃薯储藏冷库5次温度检测制作的折线统计图，你认为_______马铃薯储藏冷库的温度更稳定．（填”甲”或“乙”）【变式6-1】（2022·北京·二模）要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择______（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是__________．【变式6-2】（2022·湖南·涟源市长郡蓝田中学七年级期末）甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：命中环数/环78910甲命中的频数/次2201乙命中的频数/次1310(1)甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少？(2)谁的射击成绩更稳定？【变式6-3】（2022·浙江·浣江教育八年级期中）某中学开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．(1)求九（1）班的平均数和九（2）班的中位数；(2)计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．【题型7四种统计量的选择】【例7】（浙江省绍兴市新昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）2021年，党中央国务院赋予浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命．共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕，下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同富裕要求的是（

）A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小C．平均数小，方差小 D．平均数小，方差大【变式7-1】（四川省南充市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）数学李老师回忆当年大学毕业参加公招，笔试成绩88分，进入前二分之一再面试．这个描述用到的统计量是所有笔试者成绩的（

）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【变式7-2】（2022年黑龙江省佳木斯市前进区九年级第二次模拟考试数学试题）某运动员为备战南京青奥会，刻苦进行训练，为了判断他的成绩是否稳定，教练对他近阶段10次训练的成绩进行统计和分析，那么教练最需要了解该运动员这10次成绩的（

）A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数【变式7-3】（2022•江阴市校级三模）期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，林老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考79分以上，一半的学生考不到79分．”王老师：“我班大部分的学生都考在80分到85分之间喔．”依照上面两位老师所叙述的话你认为林、王老师所说的话分别针对（）A．平均数、众数 B．平均数、极差 C．中位数、方差 D．中位数、众数【题型8统计量的综合应用】【例8】（2022·江苏盐城·九年级期中）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分)75858688909696乙种西瓜（分)80838790909294甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜ab96乙种西瓜8890c(1)a=_______，b=_______，c=_______；(2)从离散程度看，种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；(3)小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．【变式8-1】（重庆市万州区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题）为了让万州区义务教育阶段学生更加深入地了解新型冠状肺炎，从而增强学生的自我防护意识，万州区教委组织了一次新型冠状肺炎相关防疫知识竞赛，通过学校选拔和推荐，对进入此次决赛的小学组和初中组各20名学生的成绩进行了整理和分析，给出了部分信息如下：小学组学生决赛成绩统计如下：(满分：100分)表167898865757680858892981006673868687958678初中组学生决赛成绩统计如下：(满分：100分)表276838968689583868667778690846810086739386整理数据：(用X表示学生决赛成绩)表360≤x<7070≤x<8080≤x<9090分及以上小学组学生决赛成绩3494初中组学生决赛成绩4394分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：表4平均数中位数众数优秀率（80分及以上）小学组学生决赛成绩8386b65%初中组学生决赛成绩82.2a8665%1表中a=，b=；2本次决赛各组分别设一等奖2名，二等奖3名，三等奖5名，在初中的小虎在此次决赛中成绩为86分，他说只要知道一个数据就能确定是否得奖了，你认为他是根据知道的(填"平均数”、”中位数”、”众数”、"优秀率")；3根据表4中的数据，你认为哪个组在此次决赛中表现比较好？请说明理由．【变式8-2】（云南省昭通市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）为弘扬民族精神，传播传统文化，某县教育系统将组织“弘扬传统文件化，永承华夏辉煌”的演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的同学进入决赛．(1)若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的______；（填：平均数或众数或中位数）(2)若初赛结束后，这19位同学的成绩如下：签号12345678910成绩8.59.19.28.69.38.89.68.98.79.7签号111213141516171819成绩9.89.18.99.39.68.898.79.32号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！”14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！”请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______；(3)已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为0.5，15号选手的方差为0.38．你认为______号选手的成绩比较稳定．【变式8-3】（江苏省盐城市大丰区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，每组20人，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）甲组成绩统计表：成绩78910人数1955根据上面的信息，解答下列问题：(1)甲组的平均成绩为______分，甲组成绩的中位数是______，乙组成绩统计图中m=______，乙组成绩的众数是______；(2)根据图表信息，请你判断哪个小组的成绩更加稳定？只需要直接写出结论．专题20.1数据的分析【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】 2【题型2已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】 4【题型3利用平均数、中位数、众数或方差做决策】 6【题型4利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】 8【题型5出错情况下的统计量问题】 10【题型6利用方差判断稳定性】 12【题型7四种统计量的选择】 15【题型8统计量的综合应用】 17【知识点1平均数】平均数：加权平均数：（、…的权分别是、…）新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。【知识点2众数与中位数】众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。【知识点3方差】方差：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。【题型1求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】【例1】（2022·四川成都·三模）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别是（）A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5【答案】C【分析】利用折线统计图得到50个数据，其中第25个数为12，第26个数是18，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数【详解】解：由折线统计图得这组数据的中位数为（12+18）÷2＝15，众数为12，平均数为（7×8+12×17+18×15+21×10）÷50＝14.8故选：C．【点睛】本题考查了数据的集中趋势，理解相关统计量的意义及从折现统计图准确读取数据是解题关键．【变式1-1】（2022·安徽合肥·八年级期末）已知一组数据5，15，75，45，25，75，45，25，45，35，那么45是这组数据的（

）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差【答案】A【分析】将数据重新排列，再根据众数、中位数、平均数及方差的定义计算即可解答．【详解】解：将这组数据重新排列为：5，15，25，25，35，45，45，45，75，75，所以这组数据的众数为45，中位数为35+452=40，平均数为∴其方差为110故选：A．【点睛】本题主要考查方差、众数、中位数、平均数等知识点，解题的关键是灵活运用相关定义．【变式1-2】（2022·黑龙江绥化·八年级期末）小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表：日期一二三四五方差平均气温最低气温13253由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是_____．【答案】4和2【分析】根据平均数算出5天气温的总和，进而算出第四日的气温，根据平均数和每日的气温算出方差．【详解】解：3×5=15，15-1-3-2-5=4，∴方差S2故答案为：4和2．【点睛】本题考查平均数和方差，能够根据平均数和每日的气温算出方差是解决本题的关键．【变式1-3】（2022·山东济宁·八年级期末）小明八年级下学期的数学成绩如下表所示：考试类别平时成绩期中成绩期末成绩单元1单元2单元3单元4单元5成绩87848183908688(1)计算小明该学期的平时平均成绩．(2)如果按平时占20％，期中占30％，期末占50％计算学期的总评成绩．请计算出小明该学期的总评成绩．【答案】(1)85(2)86.8【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；（2）利用加权平均数的概念求解可得．（1）由表可知，小明平时的平均成绩为：87+84+81+83+90（2）小明该学期的总评成绩为85×20%+86×30%+88×50%=86.8（分）．【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握算术平均数和加权平均数的定义．【题型2已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的中位数小于4，则a的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】由平均数定义可得a+b的值，再由中位数的定义可知a、b中必有一个是小于4的，即可得出答案．【详解】解：∵数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，∴1+2+3+4+5+a+b=7×4=28，∴a+b=13，将此组数据由小到大排列，则第4个数据即为中位数，又∵该组数据的中位数小于4，∴a，b两数中必有一个值小于4，∵a+b=13，∴a，b两数中较大的数的值大于9，∴a的值可能是10．故选：D．【点睛】本题考查了平均数定义：所有数的总和除以数的个数；中位数定义：将一组数据从小到大排列，若奇数个数据则中间的就是中位数，若偶数个数据，则取中间两个数的平均数作为中位数；熟练掌握平均数和中位数定义是解题的关键．【变式2-1】（2022·内蒙古呼和浩特·三模）已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2−7x+k=0的两个根，则这组数据的中位数是（A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n=7，再结合m，n是正整数，及众数是2，得到m=2n=5或m=5【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2∴m+n=7，∵m，n是正整数，∴m=1n=6，m=2n=5，m=3n=4，m=4n=3若一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，∴m=2n=5或m=5将这组数据按照从小到大的顺序排列2,2,2,3,3,5，∴这组数据的中位数是第3位与第4位的平均值，即2+32故选：B．【点睛】本题考查中位数的求法，涉及到一元二次方程根与系数的关系、众数的概念与求法，掌握相关概念及求解方法是解决问题的关键．【变式2-2】（2023·河北·九年级专题练习）佳佳同学5次上学途中所花时间（单位：min）x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+yA．192 B．200 C．208 D．400【答案】C【详解】解：∵x，y，10，11，9这组数据的平均数为10，∴x+y+10+11+9=5×10，∴x+y=20，∵x，y，10，11，9这组数据的方差是2，∴15[（x-10）2+（y-10）2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2x2-20x+100+y2-20y+100+0+1+1=10∴x2+y2=10+20(x+y)-100-100-1-1=10+20×20-100-100-1-1=208，故选：C．【点睛】考查了平均数、方差和代数式求值．熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键．【变式2-3】（2023·江西·九年级专题练习）已知一组从小到大排列的整数：x，3，y，2x，4，有唯一的众数4，则这组数据的中位数是______．【答案】4【分析】根据题意，可假设x分别为0、1、2、3，代入原数中判断即可得出答案．【详解】∵这列数都为整数，且已从小到大排列，有唯一众数4，∴假设x＝0、1、2、3，当x＝0时，原数分别为0，3，y，0，4，不符合题意；当x＝1时，原数分别为1，3，y，2，4，不符合题意；当x＝2时，原数分别为2，3，y，4，4，符合题意，此时中位数为y，①当y＝3时，原数分别为2，3，3，4，4，不符合题意；②当y＝4时，原数分别为2，3，4，4，4，符合题意；当x＝3时，原数分别为3，3，y，6，4，不符合题意．故答案为：4．【点睛】本题考查众数与中位数，一列数据中，出现次数最多的数是众数；一组数据从小到大排列，当数据是奇数个时，中间的那个数是中位数，当数据是偶数个时，中间的两个数的平均数就是中位数，熟练掌握相关概念并正确理解题意是解题的关键．【题型3利用平均数、中位数、众数或方差做决策】【例3】（2018·北京房山·二模）某校广播台要招聘一批小主持人，对A、B两名小主持人进行了专业素质、创新能力、外语水平和应变能力进行了测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示：应聘者专业素质创新能力外语水平应变能力A73857885B81828075如果只招一名主持人，该选用______；依据是_____．（答案不唯一，理由支撑选项即可）【答案】

A

A的平均成绩高于B平均成绩【分析】根据表格求出A,B的平均成绩,比较大小即可解题.【详解】解：A的平均数是80.25,B的平均数是79.5,∴A比B更优秀,∴如果只招一名主持人，该选用A；依据是A的平均成绩高于B平均成绩.【点睛】本题考查了平均数的实际应用,属于简单题,从表格中找到有用信息是解题关键.【变式3-1】（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵葡萄树，每棵葡萄树产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2品种甲乙丙丁平均数（x）21242525方差（S21.81.91.82今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是______．【答案】丙【分析】分别从平均数和方差两个方面进行分析，综合即可得到答案．【详解】解：从平均数来看，丙与丁的平均数为25，是最高的，故丙与丁的平均产量最高；从方差来看，甲与丙的方差为1.8，是最低，故甲和丙的产量最稳定；故产量既高又稳定的葡萄树为丙，故答案为：丙．【点睛】此题考查利用平均数与方差对数据进行分析，掌握平均数与方差考查数据的角度是解题的关键．【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数分别是88分和90分，若90分及90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是________.【答案】乙班【详解】试题分析：根据中位数的定义：将甲、乙两班的45人的数学成绩，从小到大排列后，第23人的成绩就是中位数．甲班为88分，乙班为90分．若90分及90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是乙班，至少是23人．故答案为乙班．点睛：本题考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，中间的那个数（或中间两个数的平均数）．【变式3-3】（2013·山西·八年级期末）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表．如果每分钟跳绳次数≥105次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是__________________________．班级人数中位数平均数甲班2710497乙班2710696【答案】甲优＜乙优【详解】试题分析：要比较甲乙两班的优秀率，只要比较一下中位数即可，甲乙两班的中位数都为第13位同学的成绩，所以，通过比较甲乙两班的中位数即可比较优秀率．从表格中可看出甲班的中位数为104，104＜105，乙班的中位数为106，106105，即甲班大于105次的人数少于乙班，所以甲、乙两班的优秀率的关系是甲优＜乙优．【点睛】本本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中位数的概念，即可完成.【题型4利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】【例4】（2022·安徽阜阳·八年级期末）已知一组数据a、b、c的平均数为5，则2a−3、2b−3、2c−3的平均数是___________．【答案】7【分析】根据数据a，b，c的平均数为5可知13(a+b+c)=5，据此可得出13(2a−3+2b−3+【详解】解：已知13所以13=2=2=7．故答案为：7．【点睛】本题考查平均数，熟记平均数计算公式是解题的关键．【变式4-1】（四川省德阳市绵竹市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如果m个数的平均数是a，另外n个数的平均数是b，那么，这m+n个数的平均数是_______．【答案】am+bn【分析】根据“m个数的平均数是a，另外n个数的平均数是b”可求得m+n个数的和，再用平均数的定义求解即可．【详解】解：∵m个数的平均数是a，另外n个数的平均数是b，∴m+n个数的和为ma＋nb，∴这m+n个数的平均数是am+bnm+n故答案为：am+bnm+n【点睛】此题主要考查了平均数，熟练掌握平均数的求法是解题的关键．【变式4-2】（辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）将一组数据的每一个数都减去30，所得新的一组数据的平均数是1，则原来那组数据的平均数为(

)A．31 B．30 C．1 D．29【答案】A【分析】设这组数据的平均数为x=1n(x1+【详解】设这组数据的平均数为x=1n每个数都减去30，其平均数为,x'==a-1=a-30=1，解得a=31．故选A．【点睛】本题主要考查了平均数，解决问题的关键是熟练掌握平均数的定义和计算方法．【变式4-3】（浙江省杭州市三校2022-2023学年八年级下学期期中检测数学试题）已知数据1，2，3，4的平均数为k1；数据5，6，7，8的平均数为k2；k1与k2的平均数是k；数据1，2，3，4，5，6，7，8的平均数为m，那么k与A．k>m B．k=m C．k<m D．不能确定【答案】B【分析】根据平均数的定义可得1+2+3+4=4k1，5+6+7+8=4k2，从而得到【详解】解：∵数据1，2，3，4的平均数为k1；数据5，6，7，8的平均数为k∴1+2+3+4=4k1，∴1+2+3+4+5+6+7+8=4k∴m=1∵k1与k2的平均数是∴k=1∴k=m．故选：B【点睛】本题主要考查了求平均数，熟练掌握平均数等于数据的总和除以数据的个数是解题的关键．【题型5出错情况下的统计量问题】【例5】（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是___．【答案】-3【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，实际平均数与求出的平均数的差即可求出．【详解】∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15则少输入90，即9030∴平均数少3，求出的平均数与实际平均数的差为-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查平均数的性质，求数据的平均值是研究数据常做的，平均值反映数据的平均水平，可以准确的把握数据的情况．【变式5-1】（黑龙江省哈尔滨市木兰县2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试题）某同学求30个数据的平均数时，漏加了一个数据50，正确计算出这29个数据的平均数为20，则实际30个数据的平均数为__________．【答案】21【分析】首先根据题意可求得29个数据的总和，再加上50，根据求平均数的公式即可求得．【详解】解：29个数据的总和为：29×20=580，故30个数据的平均数为：580+5030故答案为：21．【点睛】本题考查了平均数的求法，熟练掌握和运用平均数的求法是解决本题的关键．【变式5-2】（2022·上海浦东新·模拟预测）某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断【答案】A【分析】根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与54的大小关系，据此可得答案．【详解】解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54，所以中位数a＝54，新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化，所以平均数b＞54，则b＞a，故选：A．【点睛】此题考查了中位数和平均数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．【变式5-3】（2022·河南·南阳市油田教育教学研究室八年级期末）教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x，方差是s2，则（

A．x<7.5，s2=1.64 B．C．x>7.5，s2<1.64 D．【答案】D【分析】比较更正前后平均数、方差的变化，即可得出答案．【详解】解：一个成绩少录2环，一个成绩多录2环总环数没有变，即实际成绩的平均数x不变，x=7.5，∵6−7.5>8−7.5，9−7.5>7−7.5，∴更正后的成绩的方差应该要比更正前的方差要小，即s2＜1.64．故选：D．【点睛】此题考查平均数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义及反应数据的特征是正确解答的关键．【题型6利用方差判断稳定性】【例6】（2022·全国·八年级）山西省是全国马铃薯主产区之一，在“十四五”期间，我省围绕“品种提高单产，品质提升效益”的思路，实施具有山西特色的“优薯计划”．因为鲜食马铃薯适宜储藏温度为了心－5℃，所以整个储藏期间冷库的温度要求稳定，波动不超过＋1℃．如图是根据甲、乙两个马铃薯储藏冷库5次温度检测制作的折线统计图，你认为_______马铃薯储藏冷库的温度更稳定．（填”甲”或“乙”）【答案】甲【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案．【详解】解：甲的平均温度为x甲=2+4+2+3+4∴甲的方差为s甲2=0.8，乙的方差为s乙2=1.8，∵S甲2＜S乙2，∴甲的温度较稳定．故答案为：甲．【点睛】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差．【变式6-1】（2022·北京·二模）要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择______（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是__________．【答案】

小明

小明的成绩更稳定【分析】根据两个折线统计图可以看出二人的平均成绩相同，但小明的成绩更稳定，即可做出选择．【详解】解：由折线统计图可以看出，小华和小明的平均成绩相同，都是7.5，但小明的成绩比较稳定．故答案为：小明；小明的成绩更稳定．【点睛】本题考查了平均数与方差等知识，平均数反映了一组数据的集中趋势，方差反映了一组数据的离散程度，方差越小，成绩越稳定，方差可以通过计算，也可以通过统计图进行观察比较大小．【变式6-2】（2022·湖南·涟源市长郡蓝田中学七年级期末）甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：命中环数/环78910甲命中的频数/次2201乙命中的频数/次1310(1)甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少？(2)谁的射击成绩更稳定？【答案】(1)甲射击成绩的平均数是8、方差是1.2；乙射击成绩的平均数是8、方差是0.4．(2)乙的射击成绩更稳定．【分析】（1）先计算出平均数，再根据方差公式求出方差；（2）根据方差的大小比较成绩的稳定性．（1）x甲x乙S甲S乙∴甲射击成绩的平均数是8、方差是1.2；乙射击成绩的平均数是8、方差是0.4．（2）∵S∴乙的射击成绩更稳定．【点睛】本题考查了方差，解题的关键是知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【变式6-3】（2022·浙江·浣江教育八年级期中）某中学开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．(1)求九（1）班的平均数和九（2）班的中位数；(2)计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．【答案】(1)九（1）班成绩的平均数为86分；九（2）班成绩的中位数为85分(2)九（1）班成绩较为整齐【分析】（1）先根据图形得出两个班的成绩，再根据平均数和中位数的概念求解即可；（2）根据方差的定义计算出两个班的方差，结合方差的意义即可得出答案．（1）解：由图可知，九（1）班成绩为80、80、80、90、100，∴九（1）班成绩的平均数为80+80+80+90+1005=86（分九（2）班成绩为70、80、85、95、100，∴九（2）班成绩的中位数为85分；（2）解：由（1）知九（1）班成绩的平均数为86分，∴九（1）班方差为15九（2）班成绩的平均数为70+80+85+95+1005∴九（2）班方差为15∵86<114，∴九（1）班成绩较为整齐．【点睛】本题考查统计中的相关问题，解题的关键是掌握平均数、中位数和方差的定义、求解公式及方差的意义．【题型7四种统计量的选择】【例7】（浙江省绍兴市新昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）2021年，党中央国务院赋予浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命．共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕，下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同富裕要求的是（

）A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小C．平均数小，方差小 D．平均数小，方差大【答案】B【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．【详解】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求．故选：B．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【变式7-1】（四川省南充市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）数学李老师回忆当年大学毕业参加公招，笔试成绩88分，进入前二分之一再面试．这个描述用到的统计量是所有笔试者成绩的（

）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】B【分析】根据中位数的意义进行求解即可．【详解】解：∵进入前二分之一再面试，∴用到的统计量是：中位数．故选：B．【点睛】本题主要考查的是统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．【变式7-2】（2022年黑龙江省佳木斯市前进区九年级第二次模拟考试数学试题）某运动员为备战南京青奥会，刻苦进行训练，为了判断他的成绩是否稳定，教练对他近阶段10次训练的成绩进行统计和分析，那么教练最需要了解该运动员这10次成绩的（

）A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数【答案】B【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的概念逐一分析即可．【详解】解：众数、平均数、中位数是反映一组数据的集中趋势，只有方差是反映数据的波动大小的．故为了判断成绩是否稳定，需要知道的是方差．故选：B．【点睛】本题考查统计学的相关知识．注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【变式7-3】（2022•江阴市校级三模）期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，林老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考79分以上，一半的学生考不到79分．”王老师：“我班大部分的学生都考在80分到85分之间喔．”依照上面两位老师所叙述的话你认为林、王老师所说的话分别针对（）A．平均数、众数 B．平均数、极差 C．中位数、方差 D．中位数、众数【答案】D【分析】根据两位老师的说法中的有一半的学生考79分以上，一半的学生考不到79分，可以判断79分是中位数，大部分的学生都考在80分到85分之间，可以判断众数．【详解】解：∵有一半的学生考79分以上，一半的学生考不到79分，∴79分是这组数据的中位数，∵大部分的学生都考在80分到85分之间，∴众数在此范围内．故选：D．【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语．【题型8统计量的综合应用】【例8】（2022·江苏盐城·九年级期中）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分)75858688909696乙种西瓜（分)80838790909294甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜ab96乙种西瓜8890c(1)a=_______，b=_______，c=_______；(2)从离散程度看，种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；(3)小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．【答案】(1)88，88，90(2)乙(3)甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高；乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可；（2）根据数据大小波动情况，可得答案；（3）从中位数、众数的比较得出答案．（1）解：a=1将甲种西瓜的得分从小到大排列得75、85、86、88、90、96、96，处在中间位置的一个数是88，因此中位数是88，即b=88，乙种西瓜的得分出现次数最多的是90分，所以众数是90，即c=90，故答案为：88，88，90；（2）解：由图可得s甲2＞s乙2，∴乙种西瓜的得分较稳定，故答案为：乙；（3）解：甲种西瓜的品质较好些，理由：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．乙种西瓜的品质较好些，理由：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．【点睛】本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数、方差，理解平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键．【变式8-1】（重庆市万州区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题）为了让万州区义务教育阶段学生更加深入地了解新型冠状肺炎，从而增强学生的自我防护意识，万州区教委组织了一次新型冠状肺炎相关防疫知识竞赛，通过学校选拔和推荐，对进入此次决赛的小学组和初中组各20名学生的成绩进行了整理和分析，给出了部分信息如下：小学组学生决赛成绩统计如下：(满分：100分)表167898865757680858892981006673868687958678初中组学生决赛成绩统计如下：(满分：100分)表276838968689583868667778690846810086739386整理数据：(用X表示学生决赛成绩)表360≤x<7070≤x<8080≤x<9090分及以上小学组学生决赛成绩3494初中组学生决赛成绩4394分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：表4平均数中位数众数优秀率（80分及以上）小学组学生决赛成绩8386b65%初中组学生决赛成绩82.2a8665%1表中a=，b=；2本次决赛各组分别设一等奖2名，二等奖3名，三等奖5名，在初中的小虎在此次决赛中成绩为86分，他说只要知道一个数据就能确定是否得奖了，你认为他是根据知道的(填"平均数”、”中位数”、”众数”、"优秀率")；3根据表4中