北师大版八年级数学上册专题2.10实数章末十二大题型总结(培优篇)同步练习(学生版+解析)

专题2.10实数章末十二大题型总结（培优篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1实数的概念辨析】 1【题型2直接求平方根、立方根】 2【题型3由平方根、立方根，求该数】 2【题型4估算二次根式的取值范围】 3【题型5利用平方根、立方根解方程】 3【题型6由平方根、立方根求参数的值】 3【题型7实数的大小比较】 4【题型8实数与数轴综合运用】 5【题型9二次根式的混合运算】 6【题型10二次根式的化简求值】 6【题型11利用二次根式的性质化简】 7【题型12求二次根式中的参数值】 7【题型1实数的概念辨析】【例1】（2023春·全国·八年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里：38，π3，−32，−78，0，−0.2.2.，1.414，−7．(1)有理数集合：{________________…}；(2)负无理数集合：{______________…}；(3)正实数集合：{________________…}．【变式1-1】（2023秋·河北承德·八年级校考期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣π2不仅是有理数，而且是分数；④23A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【变式1-2】（2023春·全国·八年级期中）对于−3+5的叙述，下列说法中正确的是（

A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数C．它比0大 D．它的相反数为3＋5【变式1-3】（2023秋·浙江温州·八年级统考期中）小聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上分别填上一个适合的数．【题型2直接求平方根、立方根】【例2】（2023春·四川广元·八年级校联考期中）下列式子正确的是（

）A．49=±7 B．−32=−3 C．−【变式2-1】（2023春·广西河池·八年级统考期末）下列说法中，错误的是（

）A．2的平方根是±4 B．0的平方根是0 C．1的平方根是±1 D．−1的立方根是−1【变式2-2】（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）若x−4+5−y2=0，则【变式2-3】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）已知64的立方根是m，m的平方根是n，求m+n的值．【题型3由平方根、立方根，求该数】【例3】（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为−8.69；x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，则（

）A．x=1100a,y=−1000bC．x=100a,y=1100a【变式3-1】（2023春·福建南平·八年级统考期中）已知a的平方根为±3，a+b的算术平方根为2，求a−b的平方根．【变式3-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）某正数的两个平方根分别是a+3、2a−15，则这个正数为．【变式3-3】（2023春·云南普洱·八年级校考期中）已知a的平方根是±5，2b+4的立方根是2，3（1）求a,b,c的值；（2）求a+2b+c的算术平方根．【题型4估算二次根式的取值范围】【例4】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式4-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）估计230−24A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【变式4-2】（2023春·新疆塔城·八年级统考期末）已知x是整数，当x−30取最小值时，x的值是(

A．5 B．6 C．7 D．8【变式4-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）已知m2＜21，若m+2是整数，则m【题型5利用平方根、立方根解方程】【例5】（2023秋·江苏盐城·八年级校联考期中）求下列式子中的x(1)2(2)3【变式5-1】（2023春·广西玉林·八年级统考期中）求下列各式中x的值．(1)25−x(2)(x+1)3【变式5-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）求x的值：(1)25(2)(x+1)【变式5-3】（2023秋·江苏·八年级期中）解方程：32【题型6由平方根、立方根求参数的值】【例6】（2023春·重庆彭水·八年级统考期中）已知a−4的立方根是1，3a−b−2的算术平方根是3，13的整数部分是c．(1)求a，b，c的值．(2)求2a−3b+c的平方根．【变式6-1】（2023春·甘肃庆阳·八年级校考期中）已知A=a−1a+3b是a＋3b的算术平方根，B=2a−b−11−a2是1－a【变式6-2】（2023秋·陕西咸阳·八年级统考期中）已知a−1的算术平方根是2，4a+b−3的立方根是3，c是15的整数部分，求ac+b的平方根．【变式6-3】（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是15的整数部分，d是15的小数部分．(1)求a，b，c，d的值；(2)求3a−b+c的平方根．【题型7实数的大小比较】【例7】（2023春·全国·八年级期末）已知a=2022−2021，b=2021−2020，c=2020−2019A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a【变式7-1】（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为5−12，下列各数中最接近于5−1A．25 B．12 C．35【变式7-2】（2023秋·陕西西安·八年级校考期中）比较下列各组数的大小：−21.4；275；5311；5【变式7-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：a−b>0，则例如：比较19−2∵19−2−2=19−4

又∵16∴19−2−2=19−4>0请根据上述方法解答以下问题：(1)29的整数部分是________，7−29(2)比较2−23与−3(3)已知a+ba−b=a2−【题型8实数与数轴综合运用】【例8】（2023秋·河北邯郸·八年级校考期中）已知2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分不可能全部写出来，但由于1<2<2，所以2的整数部分为1，将2减去其整数部分1，差即小数部分

(1)7的整数部分是__________，小数部分是__________；(2)若4+3的整数部分是x，小数部分是y①填空：y=__________；②如图，若面积为x的正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和表示−1的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点A，求点A表示的数．【变式8-1】（2023春·江西上饶·八年级校联考期中）如图，半径为1的圆上有一点P落在数轴上表示−1的点处，若将圆沿数轴向左滚动一周后，点P所处的位置在两个连续的整数m，n之间，则m+n的值为．

【变式8-2】（2023春·云南曲靖·八年级校考期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：3b3【变式8-3】（2023秋·浙江衢州·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点B表示的数为−1，正方形ABCD的面积为16．图中阴影部分为正方形．

(1)数轴上点A表示的数为___________；(2)求图中阴影部分的面积是多少？(3)阴影部分正方形的边长是多少？并在数轴上表示出点E，使点E表示的数为该正方形的边长．【题型9二次根式的混合运算】【例9】（2023春·四川广安·八年级校考期中）计算：(1)91(2)(6【变式9-1】（2023春·上海·八年级校考期末）计算：12+【变式9-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算．(1)5−3+(2)54−11−4【变式9-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算(1)(a(2)(a+b−【题型10二次根式的化简求值】【例10】（2023春·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：x−yx−y【变式10-1】（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知x+1x=3，且0<x<1【变式10-2】（2023春·广西南宁·八年级统考期中）先化简，再求值4525x+9【变式10-3】（2023春·湖北武汉·八年级华师一附中初中部校考期中）已知x＝12020−2019，则x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【题型11利用二次根式的性质化简】【例11】（2023春·山东威海·八年级统考期末）已知a>b，则aa−b−b−a【变式11-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若xy<0，则x2y化简后的结果是（专题2.10实数章末十二大题型总结（培优篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1实数的概念辨析】 1【题型2直接求平方根、立方根】 4【题型3由平方根、立方根，求该数】 5【题型4估算二次根式的取值范围】 7【题型5利用平方根、立方根解方程】 9【题型6由平方根、立方根求参数的值】 11【题型7实数的大小比较】 14【题型8实数与数轴综合运用】 17【题型9二次根式的混合运算】 20【题型10二次根式的化简求值】 23【题型11利用二次根式的性质化简】 25【题型12求二次根式中的参数值】 28【题型1实数的概念辨析】【例1】（2023春·全国·八年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里：38，π3，−32，−78，0，(1)有理数集合：{________________…}；(2)负无理数集合：{______________…}；(3)正实数集合：{________________…}．【答案】(1)38，−78，0，(2)−32(3)38，π3【分析】（1）根据有理数的定义，即可求解；（2）根据负无理数的定义，即可求解；（3）根据正实数的定义，即可求解．【详解】（1）解：38有理数集合：{38，−78，0，−0.故答案为：38，−78，0，−0.（2）解：负无理数集合：{−32，故答案为：−32，（3）解：正实数集合：{38，π3，故答案为：38，π3，【点睛】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数．【变式1-1】（2023秋·河北承德·八年级校考期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣π2不仅是有理数，而且是分数；④23A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【答案】B【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．【详解】解：①没有最小的整数，所以原说法错误；②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；③﹣π2④237⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；故其中错误的说法的个数为6个．【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．【变式1-2】（2023春·全国·八年级期中）对于−3+5的叙述，下列说法中正确的是（

A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数C．它比0大 D．它的相反数为3＋5【答案】B【分析】根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．【详解】A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；B．−3+5C．−3+5D．−3+5的相反数为3−【点睛】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，无理数的定义，相反数的定义，牢记相关概念是解答本题的关键．【变式1-3】（2023秋·浙江温州·八年级统考期中）小聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上分别填上一个适合的数．【答案】见解析【分析】根据实数的分类填写即可．【详解】解：实数分为有理数与无理数，也可分为正实数，0，负实数，所以实数下横线填负数；正数分为正有理数，正无理数，正数下的横线上填正有理数；整数分为正整数，0，与负整数，整数下横线填0与负整数；无理数分为正无理数，负无理数，无理数下横线填负无理数，整数与正数公共部分填正整数，无理数与正数公共部分填正无理数，填数如下：【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．【题型2直接求平方根、立方根】【例2】（2023春·四川广元·八年级校联考期中）下列式子正确的是（

）A．49=±7 B．−32=−3 C．−【答案】D【分析】分别根据算术平方根的性质、立方根的性质化简即可．【详解】解：A、49=7B、−32C、−−D、−3故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根的性质、立方根的性质，熟记运算法则是关键．【变式2-1】（2023春·广西河池·八年级统考期末）下列说法中，错误的是（

）A．2的平方根是±4 B．0的平方根是0 C．1的平方根是±1 D．−1的立方根是−1【答案】D【分析】利用平方根和立方根的定义进行判断即可．【详解】解：A.2的平方根是±2B.0的平方根是0，则B不符合题意；C.1的平方根是±1，则C不符合题意；D.−1的立方根是−1，则D不符合题意；【点睛】本题考查平方根和立方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．【变式2-2】（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）若x−4+5−y2=0，则【答案】±3【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．【详解】解：∵x−4+∴x−4=0，5−y=0，∴x=4，y=5，∴x+y=9，∴xy的平方根是±3．故答案为：±3．【点睛】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．【变式2-3】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）已知64的立方根是m，m的平方根是n，求m+n的值．【答案】m+n的值为6或2【分析】由64的立方根是m，可得m=364=4，由m的平方根是n【详解】解：∵64的立方根是m，∴m=3∵m的平方根是n，∴n=±m∴当n=2，m+n=6；当n=−2，m+n=2；∴m+n的值为6或2．【点睛】本题考查了立方根，平方根，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【题型3由平方根、立方根，求该数】【例3】（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为−8.69；x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，则（

）A．x=1100a,y=−1000bC．x=100a,y=1100a【答案】D【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴x=1【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．【变式3-1】（2023春·福建南平·八年级统考期中）已知a的平方根为±3，a+b的算术平方根为2，求a−b的平方根．【答案】±【分析】根据题意，先求得a和a+b的值，进而求得b的值，再代入求得a−b的平方根即可．【详解】解：∵a的平方根为±3，∴a=9，∵a+b的算术平方根为2，∴a+b=4，∴b=−5；当a=9，b=−5时，a−b=14，∴a−b的平方根为±14【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解题的关键．【变式3-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）某正数的两个平方根分别是a+3、2a−15，则这个正数为．【答案】49【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可求出a的值，再根据平方根即可求出这个正数．【详解】解：∵正数的两个平方根分别是a+3、2a−15，正数的两个平方根互为相反数，∴a+3+2a−15=0，解得：a=4，∴a+3=4+3=7，则这个正数为72故答案为：49．【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，两个平方根互为相反数，是解答本题的关键．【变式3-3】（2023春·云南普洱·八年级校考期中）已知a的平方根是±5，2b+4的立方根是2，3（1）求a,b,c的值；（2）求a+2b+c的算术平方根．【答案】（1）a=5、b=2、c=1或c=0；（2）10或3．【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a、b的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c；（2）分c=0和c=1两张情况分别解答即可．【详解】解：（1）∵a的平方根是±5，2b+4∴a=5，2b+4=8，即b=2∵3∴c=1或c=0∴a=5、b=2、c=1或c=0；（2）当c=1时，a+2b+c=5+2×2+1当c=0时，a+2b+c=∴a+2b+c的算术平方根为10或3．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c的值成为解答本题的关键．【题型4估算二次根式的取值范围】【例4】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9=18，则大正方形的边长为：18，∵16<∴4＜18＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．【变式4-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）估计230−24A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】B【详解】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解】2=230=25而254<20<5，所以2<25所以估计230故选B.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.【变式4-2】（2023春·新疆塔城·八年级统考期末）已知x是整数，当x−30取最小值时，x的值是(

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据绝对值的意义，找到与30最接近的整数，可得结论．【详解】解：∵25<30<且与30最接近的整数是5，∴当x−30取最小值时，x故选A．【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．【变式4-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）已知m2＜21，若m+2是整数，则m【答案】-1，2，-2.【分析】根据题意可知m是整数，然后求出m的范围即可得出m的具体数值，然后根据m+2是整数即可求出答案．【详解】解：∵m+2是整数，∴m是整数，∵m2∴m2≤4，∴-2≤m≤2，∴m=-2，-1，0，1，2当m=±2或-1时，m+2是整数，故答案为：-1，2，-2【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是根据条件求出m的范围，本题属于中等题型．【题型5利用平方根、立方根解方程】【例5】（2023秋·江苏盐城·八年级校联考期中）求下列式子中的x(1)2(2)3【答案】(1)x=3或x=−1(2)x=0【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可；（2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．【详解】（1）解：2(x−1)2x−1=±2，x−1=2或x−1=−2，x=3或x=−1；（2）解：3(x+1)(x−3)3x−3=−3，x=0．【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键．【变式5-1】（2023春·广西玉林·八年级统考期中）求下列各式中x的值．(1)25−x(2)(x+1)3【答案】(1)x=±5(2)x=3【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；（2）根据立方根的定义解答即可．【详解】（1）解：25−移项，得：x2解得：x=±5；（2）x+1开立方得：x+1=4，解得：x=3．【点睛】本题考查了用平方根，立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键．【变式5-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）求x的值：(1)25(2)(x+1)【答案】(1)x=65(2)x=【分析】（1）先把方程化为x2（2）先把方程化为(x+1)3(1)解：25∴x解得：x=±65，即x=(2)解：(x+1)移项得：(x+1)3∴x+1=3解得：x=【点睛】本题考查的是利用平方根的含义，立方根的含义解方程，掌握“平方根与立方根的含义”是解本题的关键．【变式5-3】（2023秋·江苏·八年级期中）解方程：32【答案】x=1±【分析】先根据立方根的定义得出32(x−1)2【详解】解：∵32∴32∴x−12=2，则∴x=1±2【点睛】本题主要考查立方根、平方根、等式的基本性质等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键．【题型6由平方根、立方根求参数的值】【例6】（2023春·重庆彭水·八年级统考期中）已知a−4的立方根是1，3a−b−2的算术平方根是3，13的整数部分是c．(1)求a，b，c的值．(2)求2a−3b+c的平方根．【答案】(1)a=5，b=4，c=3(2)±1【分析】根据立方根、算术平方根的概念可得a−4、3a−b−2的值，进而可得a、b的值，接着估计13的大小，可得c的值，进而可得2a−3b+c，再根据平方根的求法可得答案．【详解】（1）解：∵a−4的立方根是1，3a−b−2的算术平方根是3，∴a−4=1，3a−b−2=9，解得：a=5，b=4；∵9<13<16，∴3<13∴c=3．（2）解：由（1）得：2a−3b+c=10−12+3=1；故2a−3b+c的平方根为±1．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，求一个数的平方根，灵活运用。“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．【变式6-1】（2023春·甘肃庆阳·八年级校考期中）已知A=a−1a+3b是a＋3b的算术平方根，B=2a−b−11−a2是1－a【答案】D＋B的立方根是1【分析】根据算术平方根和立方根的意义，可列方程组，然后求解即可得到a、b的值，然后代入求解即可.【详解】解：由题意得:a−1=22a−b−1=3解得：a=3b=2∴A=9B=3∴3A+B【变式6-2】（2023秋·陕西咸阳·八年级统考期中）已知a−1的算术平方根是2，4a+b−3的立方根是3，c是15的整数部分，求ac+b的平方根．【答案】±5【分析】根据算术平方根和立方根的定义，求得a、b的值，再根据二次根式的估算，求得c的值，最后求得ac+b的值，进而求得ac+b的平方根．【详解】解：∵a−1的算术平方根是2，4a+b−3的立方根是3，∴a−1=4，4a+b−3=27，解得a=5，b=10．∵9<15<16，∴3<15∴15的整数部分是3，即c=3，∴ac+b=5×3+10=25，∴ac+b的平方根为：±25∴ac+b的平方根是±5．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、二次根式的估算、平方根等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式6-3】（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是15的整数部分，d是15的小数部分．(1)求a，b，c，d的值；(2)求3a−b+c的平方根．【答案】(1)a=5，b=2，c=3，d=(2)±4【分析】（1）根据立方根，算术平方根的定义求a，b的值，估算无理数的大小得到c，d的值；（2）求出代数式的值，再求平方根即可．（1）解：∵5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，∴5a+2=27，3a+b−1=16，∴a=5，b=2，∵9<15<16，∴3<15∴c=3，d=15（2）当a=5，b=2，c=3时，3a−b+c=3×5−2+3=15−2+3=16，16的平方根为±4，答：3a−b+c的平方根为±4．【点睛】本题考查了平方根，立方根，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．【题型7实数的大小比较】【例7】（2023春·全国·八年级期末）已知a=2022−2021，b=2021−2020，c=2020−2019A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a【答案】D【分析】先把a,b,c化为12022+2021,12021【详解】解：∵a=2022b=2021c=2020而2022+∴a<b<c.故选A．【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．【变式7-1】（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为5−12，下列各数中最接近于5−1A．25 B．12 C．35【答案】A【分析】先把5−1【详解】解：∵5∵25=0.4，12=0.5∴0.4<0.5<0.6<0.618<0.75，而0.618−0.6=0.018，0.75−0.618=0.133，∵0.133>0.018∴0.6更接近0.75，即35更接近5【点睛】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，准确熟练地估算无理数的大小是解题的关键．【变式7-2】（2023秋·陕西西安·八年级校考期中）比较下列各组数的大小：−21.4；275；5311；5【答案】<>>>【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．【详解】解：−2∵7>6.25，∴7>2.5∴27∵11<11.089567，∴311∵5>4.9729，∴5>2.23∴5>2.23>∵5>4，∴5>2∴5−1>1∴5−1故答案为：<；>；>；>．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．【变式7-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：a−b>0，则例如：比较19−2∵19−2−2=19−4

又∵16∴19−2−2=19−4>0请根据上述方法解答以下问题：(1)29的整数部分是________，7−29(2)比较2−23与−3(3)已知a+ba−b=a2−【答案】(1)5；6−(2)2−23(3)100+【分析】（1）首先估算出5<29<6，得到29的整数部分是5；推出−6<−29（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；（3）根据“比差法”比较得100+98−299=【详解】（1）解：∵5<29∴29的整数部分是5；∴−6<−29∴1<7−29∴7−29的整数部分是1，则7−29的小数部分是故答案为：5；6−29（2）解：2−23∴2−23（3）解：100==∵100+∴1100∴100+【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．【题型8实数与数轴综合运用】【例8】（2023秋·河北邯郸·八年级校考期中）已知2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分不可能全部写出来，但由于1<2<2，所以2的整数部分为1，将2减去其整数部分1，差即小数部分

(1)7的整数部分是__________，小数部分是__________；(2)若4+3的整数部分是x，小数部分是y①填空：y=__________；②如图，若面积为x的正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和表示−1的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点A，求点A表示的数．【答案】(1)2，7(2)①3−1；②【分析】（1）根据无理数的估算可得2<7（2）①先根据无理数的估算可得1<3<2，从而可得②先求出x=5，再求出正方形的边长为5，然后根据数轴的性质即可得．【详解】（1）解：∵4<7<9，∴2<7则7的整数部分是2，小数部分是7−2故答案为：2，7−2（2）解：①∵1<3<4，∴1<3∴5<4+3∴4+3的小数部分y=4+故答案为：3−1②由（2）①可知，4+3的整数部分x=5∴这个正方形的边长为5，∵正方形的一个顶点和表示−1的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点A，∴点A表示的数为−1+5【点睛】本题考查了无理数的估算、实数与数轴、算术平方根，熟练掌握无理数的估算是解题关键．【变式8-1】（2023春·江西上饶·八年级校联考期中）如图，半径为1的圆上有一点P落在数轴上表示−1的点处，若将圆沿数轴向左滚动一周后，点P所处的位置在两个连续的整数m，n之间，则m+n的值为．

【答案】−15【分析】根据圆的周长公式算出P点在数轴上移动的长度，向左移动，原数减去移动的长度即可得到点P新位置表示的数．从而分析在哪两个数之间，进而求出答案．【详解】解：2π×1≈6.28，−1−6.28=−7.28，−7.28在−7和−8之间，∴m+n=−7−8=−15，故答案为：−15．【点睛】本题考查实数与数轴，熟知实数与数轴上各点一一对应．明确点P新位置表示的数是解题的关键．【变式8-2】（2023春·云南曲靖·八年级校考期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：3b3【答案】b【分析】根据数轴可知a<b<0<c，则可知b+c>0，a−b−c<0，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．【详解】根据数轴可知a<b<0<c，则可知b+c>0，a−b−c<0，3==b+a−b−c−a+b+c=b故答案为：b．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴得出数与0的大小关系是解题的关键．【变式8-3】（2023秋·浙江衢州·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点B表示的数为−1，正方形ABCD的面积为16．图中阴影部分为正方形．

(1)数轴上点A表示的数为___________；(2)求图中阴影部分的面积是多少？(3)阴影部分正方形的边长是多少？并在数轴上表示出点E，使点E表示的数为该正方形的边长．【答案】(1)−5(2)10(3)10，在数轴上表示见解析【分析】（1）由题意可知AB=4，由图可知点A在点B左侧，进而可知点A表示的数为−1−4=−5；（2）用正方形ABCD的面积减去周围三个直角三角形的面积即可求解；（3）由阴影部分的面积即可求得边长，以原点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于一点即可求解．【详解】（1）解：∵正方形ABCD的面积为16，∴AB=4，∵数轴上点B表示的数为−1，由图可知点A在点B左侧，∴点A表示的数为−1−4=−5，故答案为：−5；（2）解：图中阴影部分的面积=16−1（3）解：∵图中阴影部分的面积10，∴阴影部分正方形的边长是10，

以原点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于一点E，如图所示，该点即为所求．【点睛】本题考查在数轴上表示数，在数轴表示无理数的点，掌握无理数在数轴的表示方法是解决问题的关键．【题型9二次根式的混合运算】【例9】（2023春·四川广安·八年级校考期中）计算：(1)91(2)(6【答案】(1)2(2)2【分析】（1）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可；（2）先根据乘法分配律展开，再计算二次根式的乘法最后计算加减即可．【详解】（1）9=9×=3=3×=（2）(=−=−12+2+12=2【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．【变式9-1】（2023春·上海·八年级校考期末）计算：12+【答案】53【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.【详解】12=2=2=5321【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.【变式9-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算．(1)5−3+(2)54−11−4【答案】(1)6−2(2)1【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式计算；（2）先进行分母有理化，再进行加减运算．【详解】（1）解：5−3==5−2=6−2（2）解：54−11−==4+=4+=1【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式、完全平方公式等，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．【变式9-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算(1)(a(2)(a+b−【答案】(1)a(2)−【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．【详解】（1）解：(=＝1＝1b2－1=a（2）解：(===＝a+ba+=−【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．【题型10二次根式的化简求值】【例10】（2023春·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：x−yx−y【答案】2x+2【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【详解】解：原式===2当x=3,y=1原式=2=2=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．【变式10-1】（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知x+1x=3，且0<x<1【答案】5+1【分析】利用题目给的x+1x求出x−1【详解】∵x+∴x+∴x+1∴x−∵0<x<1，∴x−∴x+∴原式===5故答案是：5+1【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．【变式10-2】（2023春·广西南宁·八年级统考期中）先化简，再求值4525x+9【答案】5【分析】先把二次根式为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值即可．【详解】解：4==4=5把x=12代入5∴当x=12【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握把二次根式为最简二次根式是解题的关键．【变式10-3】（2023春·湖北武汉·八年级华师一附中初中部校考期中）已知x＝12020−2019，则x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【答案】A【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【详解】∵x=1∴x=x=x=x=x=x=−x+2x−2020=x−2020=2019故选：C【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决.【题型11利用二次根式的性质化简】【例11】（2023春·山东威海·八年级统考期末）已知a>b，则aa−b−b−a【答案】−【分析】先根据被开方数为非负数，得出a<0，再根据a>b得出b−a<0，a−b>0，最后根据二次根式的运算