【《幂级数和函数的应用探究》9600字（论文）】

幂级数和函数的应用研究摘要 1 1 11.2研究意义 21.3研究现状 2 42.1幂级数 42.2幂级数和函数 43幂级数和函数的应用研究 53.1函数展开成幂级数 5 53.1.2麦克劳林级数 73.1.3幂级数和函数的应用的步骤 83.2幂级数和函数的方法探究 93.2.1定义法 93.2.2逐项求导法 9 3.2.4其他方法 3.3函数和幂级数的几点应用介绍 3.3.1皮亚诺型余项应用于函数幂级数的求解 3.3.2Qp函数空间中的随机函数 3.3.3无理性幂级数理论在函数上的应用 4结论与展望 参考文献 11前言幂级数论起源于18世纪，是数学众多分支学科中的一门学科。欧拉以及拉朗贝尔是先驱者，为建立幂级数论做了很多方面的工作。177419世纪，幂级数论实现了全面发展，就好比微积分在18世纪的数学中占据了统治地位，幂级数同样在19世纪的数学中占据了统计地位。黎曼、柯西以及20世纪初期，历经较长时间的发展，幂级数论的理论越发完善，技巧也更2塔-列夫勒等，幂级数论也涉及到了越来越多的研究领域，他们在发展、拓展并1.2研究意义1.3研究现状3率和多循环繁殖条件的年龄结构种群动力学模型的行波解的显式递归算法和数之一，在复变函数论中起到了重要作用。金帅等人[74验关系进行研究，用三种模型，即对数线性模型、指数模型和幂模型，进行拟合和评价。结果表明，幂函数模型比指数衰减模型更准确地描述了亚热带森林矿质土壤有机碳的分解动态。Rajat等人9在研究含水层物质颗粒粒度分布对其渗透性的影响时建立了幂函数模型，所建立的幂函数模型为估算井的产量、土工结构下的渗流和合理精度的过滤器设计提供了一个有效的工具。Goans[101利用伤口保留度的幂函数描述，不同伤口类别在对数尺度上呈直线，不同坡度对应不同保留度类别。2.1幂级数具有下列形式的函数项级数称为在点x=0处的幂级数。为幂级数的和函数。简单来说，对于幂级数来说，和函数是通过若干个幂函数相加而得到的。所以，以让幂函数存在和函数为前提，自变量x的取值范围就可以叫做幂级数的收敛区间或者是收敛域。其中，收敛域的二分之一就可以叫做收敛半径R[11]。2.2幂级数和函数由幂级数可知，可以把幂级数的部分和记为：5涉幂函的和函数为S(x),收连半径为R,则：(1)连续性对于一个幂级数而言，若其和函数为S(x),那么属于收敛区间(-R,R)的情况下，该函数是具有连续性的；也就是收敛区间中的所有点都是存在极限值的，和函数值是相等的。即对于一个幂级数而言，若其和函数为S(x),那么属于收敛区间(-R,R)的情况下，该函数是存在连续的导数的，能够逐项求导，也就是对于任取的一个通过逐项求导可以得到一个幂级数，与原级数一样，它们的收敛半径是一致的；对于一个幂级数而言，若其和函数为S(x),那么属于收敛区间(-R,R)的情况下，该函数是可积的，还可逐项积分，也就是对于任取的一个x∈(-R,R),那么有通过逐项积分可以得到一个幂级数，与原级数一样，它们的收敛半径是一致的3幂级数和函数的应用研究3.1函数展开成幂级数3.1.1泰勒级数对于一个确定的函数f(x),需要考虑能不能找出一个幂级数，不单单在某一区间表现出了收敛性，而且相加得到的刚好是该函数f(x)。假使可以找出这67在泰勒级数中取8f'(x)=a₁+2a₂x+3a₃x²+..+na,x”-¹+…,第一步求f'(x),f"(x),.,f(n(x),..第二步求f'(0),f"(0),.,f(n(0),...93.2幂级数和函数的方法探究3.2.1定义法极限，也就是存在，那么这个幂级数就是具有收敛性的，且和函数该法简单、方便而且容易操作，仅需对求解得到前n项和进行求极限操作即可，所以不论幂级数求和是以何种形式出现，该法均可适用。但是应当从实际问题出发来分析，如果幂级数的通项公式较为复杂，如,对定义法进行适用并不具有可操作性。3.2.2逐项求导法在幂级数通项中，如果系数为下述两种情况，一种是1除以自然数，另一种是1除以两相邻自然数，也就是分母中包括了n,那么先进行求导、后进行积分这种方法会较为可行。例3.2-2:求幂级数的和函数s(x)。解：根据题意不难发现，对这一幂级数而言，收敛区间是[-1,1]当x≠0时，不妨设先上式两边求导得：只需2次求导操作就能够得到一个特殊幂级数，系数是与n无关的，相当于一个无穷递缩等比数列，根据求和公式可以得到：于是就得到当x≠0时的和函数为当x=0时，∵综上所述3.2.3逐项积分法在幂级数通项中，如果系数为下述两种情况，一种是自然数，另一种是两相邻自然数的乘积，即n在分子上时，那么先进行积分、后进行求导这种方法会较为可行[9]。的和函数s(x)。解：根据题意不难发现，对这一幂级数而言，收敛区间是(一1,+1)。两边除以x令则将上式两边积分得：只需3次求积分操作就能够得到一个特殊幂级数，通项公式是与n无关的，相当于一个无穷递缩等比数列，根据求和公式可以得到：在上式的基础上第1次求导，可知：第2次求导得：第3次求导得：而可得所求和函数3.2.4其他方法例3.2-4:存在一个幂级试求其和函数以及收敛域。可知在x=-1的情况下级数是收敛的，x=1的情况下级数是发散的，因而收敛区间为(-1,1)。又由3.3幂级数和函数的几点应用介绍3.3.1皮亚诺型余项应用于函数幂级数的求解分析学有两大分支，一个是级数理论，另一个是微积分学，它们当作基础知识和基本工具被广泛用于其它各个分支，它们是以函数作为研究对象的，基本工具都是极限，一个是从离散层面，另一个是从连续层面，综合在一起来对函数展开探究。在对函数进行分析时，级数是其中的一种重要工具，无论是从理论来看还是从实际应用来看，均占据着非常重要的地位，理由如下：1、通过级数可让众多较为常见的非初等函数得到表示；2、函数也可以通过级数来表达，这样就可通过级数来对函数展开探究。黄勇等人[13]以学习高等数学为例，指出在级数展开法的作用下，复杂程度相对较高的变系数微分方程是可以转化的，得到一组展开的探讨中，我国学者也取得了大量成果，其中较具代表性的就是余家荣教授。随机级数可以分为很多种，如随机Dirichlet级数和随机幂级数等。近年来，许多学者从值分布、收敛性以及增长性等多个方面展开了探究，得出的成果也是颇具创造性的。全纯函数均可以表示成幂级数的形式，在对单位圆盘内的解析函数进行分析时，缺项幂级数或者是一般幂级数又是其中的重要工具之一，在幂级数中，随机幂级数为其中的特殊形式之一，和缺项幂级数之间存在诸多相似特征，但是不同之处也是有很多的。例如，对于Hadamard缺项级数：f∈BMOA<;f∈B而对于一般幂级数只有因此，研究随机幂级数所表示的函数与函数空间的关系是有必要的。随机Dirichlet级数)是序列{λ,}满足上世纪九十年代至今，在随机泰勒级数方面人们展开了深入地分析，注意，赫克认为，二次域上还是能够对幂级数系数展开讨论的。在整系数的幂级数的基础上结合了单位圆范围内的共轭代数数类，得出了许多颇有价值的结论，其中的一个结论是不在单位圆范围内的整系数幂级数能够开拓，这个结论起到了重要作用。在Pisot等人进行的工作的基础上，RSalem对于与整系数幂级数相关的理论进行了证实，指出问题中存在的代数性质。1949年，在《具有整系数的幂级数》[29]中，Salem从对PV数进行探究这一视角着手，对整系数幂级数的各种理论展开了分析。Salem总结得到，赫克定理不以均匀分布定理为前提也能得到证明，同时对下述结论进行了证明，其中赫克的理论也涵盖在内。用φ(n)代表一个正有理函数，是会无限增大的，存在一个级数理数域k(r)的判定条件全部不符合，则界是单位圆。证明会用到两个定理，一个是波利亚一卡尔松定理，另一个是普林斯海姆定理。1962年，在《无理性幂级数》[30]中，得益于扩大数域法的采用，施瓦兹对这一定理进行了推广。Salem感谢KurtMahler教授，他是受到Mahler教授所写的信的启发，信中谈及了ATllue(1863—1922)于1912年所写的一篇文章，该文章对PV数具有的性质展开了分析，这让他也格外的注意。对于一个幂级数来看，其系数是会极大地影响到收敛边界上的各种表现的，1892年阿达玛就已经对此进行了明确。随后，众多数学家都对不在收敛区间内的函数能不能够解析开拓展开了探究，如斯泽古、波莱尔以及奥斯特洛斯基等，提出了部分极为重要的定理，也举出了部分极具代表性的无法解析开拓的例子。在数论理论持续发展的同时，人们也构造出了越来越多的无法解析开拓的例子，无理性幂级数便是其中之一。莫德尔、赫克以及纽曼等多位数学家展开了深入探讨，已有较多深刻结论得出。在对所得结论进行证明时，外尔均匀分布定理无疑是其中一个重要基础。从无理性幂级数理论后期取得的发展来看，Caroll等多位数学家将该理论归结到了不可开拓幂级数理论的范畴，使之变成了一种特殊情形。4结论与展望[3]MuhammadS,UIH,IjazH,etEstimationMethodsforthePowerFunctionDistribution[J].Plo[4]ZakaA,AkhterAS.ModififortheParametersofthePowerFunctionDistribution[J].PakistanJournalofStatistics&[5]SakalauskasE,MihalkovichA.NewAsymmetricCipherofNoClassBasedonMatrixPowerFunction[J].Informatica,2[6]AkimenkoVV.Nonlinearage-structuredmodelsofpolycyclicpopudeathratesaspowerfunctionswithexponentn2017,133:175-205.decompositionusingapowerfunctionmodel[J].EcologicalProce[9]RajatK,VijayS,AlamMA.Evaluatdistributionparametersusingpowerfunctionmodel[J].WaterScience&TechnologyWSupply,2018:ws2018106-.[10]GoansRE.PowerFunctionRetentionofR(6):137-140.(1):102-104+114.meromorphicfunctiontobenormal,CompleNotesMath.305,LongmanSci.Tech.,Harlow,1994,136-146.[19]S.Stevic,OnCarlesonmeasputationalAnalysisandApplications,12(2010),313-320.[20]H.WulanandK.Zhu,LacunaryseriesinQkspaces,[21]R.Paley,N.WienerandA.Zygmund,NotesonZeitschrift,37(1933),647-668.[22]R.PaleyandA.Zygmund,OnsomeseriesoffuncCambridgePhilosophicalSociety,26([23]J.Anderson,J.ClunieandCh.Pommerenke,OnBlochfReineAngew.Math.,270(1974),12