专题05二次函数（2个知识点4种题型1个易错点）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

专题05二次函数（2个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数的概念（重点）知识点2.列函数关系式（难点）【方法二】实例探索法题型1.已知一个变量求它的函数值题型2.建立函数模型题型3.二次函数与一次函数的综合题型4.二次函数与动点的关系【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数为零的情况【方法四】成果评定法【学习目标】理解二次函数的概念。掌握二次函数的一般形式。会根据实际问题列出二次函数的表达式。重点：二次函数的概念的理解。难点：根据实际问题列二次函数的表达式。【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数的概念（重点）1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.【例1】．（2023秋•安庆期中）下列函数中，不是二次函数的是A． B． C． D．【变式】．（2023秋•武威期中）已知函数是二次函数，则等于A． B．2 C． D．6知识点2.列函数关系式（难点）根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【例2】（2022秋•无为市月考）据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝42959.2（1+2x） B．y＝42959.2（1﹣x）2 C．y＝42959.2x2 D．y＝42959.2（1+x）2【变式1】（2022秋•杜集区校级月考）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝2a（x﹣1） B．y＝2a（1﹣x） C．y＝a（1﹣x2） D．y＝a（1﹣x）2【变式2】已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况．【方法二】实例探索法题型1.已知一个变量求它的函数值1．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加．（1）写出y与x之间的关系式；（2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？题型2.建立函数模型2.（2022•大观区校级开学）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）题型3.二次函数与一次函数的综合3．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.题型4.二次函数与动点的关系4.（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；（2）当PD=PE时，求AP的长；（3）设AP的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围.6.如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求：（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当时，求线段PQ的长；（3）当t为何值时，？【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数为零的情况7.（2022秋•蜀山区校级月考）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是(

)A． B． C． D．2．（2023上·山西大同·九年级校联考阶段练习）如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（

）

A． B． C． D．3．（2024下·九年级课时练习）若是关于的二次函数，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．4．（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（）A． B． C． D．5．（2023上·九年级课时练习）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（）A． B．C． D．以上答案都不对6．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（

）A． B．C． D．7．（2023上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（

）A． B． C． D．8．（2023上·河南周口·九年级统考期中）正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，与的关系式为（）A． B．C． D．9．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）函数的图象是抛物线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．且10．（2023上·北京·九年级北京八中校考期中）如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（）A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值二、填空题11．（2011上·湖南长沙·九年级统考期末）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是．12．（2023上·甘肃定西·九年级校考阶段练习）已知二次函数，则．13．（2022上·北京朝阳·九年级统考期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）14．（2023上·四川南充·九年级校联考阶段练习）二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是．15．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）用长为30米的栅栏围成一个矩形花坛，其中一边长为x米，面积为y平方米，则y与x的函数关系为（不要求写自变量取值范围）．16．（2023上·辽宁·九年级统考期中）某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是．17．（2023上·山西太原·九年级山西实验中学校考阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为．18．（2023上·广东广州·九年级广州四十七中校考阶段练习）正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为．三、解答题19．（2023上·陕西西安·九年级统考阶段练习）当为何值时，函数是二次函数．20．（2023上·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考阶段练习）已知函数．(1)当函数是二次函数时，求的值：(2)当函数是一次函数时，求的值．21．（2023上·北京石景山·九年级校考阶段练习）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．

(1)若，求的长；(2)设，，写出y关于x的函数关系式．22．（2023上·山东日照·九年级统考期中）已知方程（m为常数）．(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)，是原方程的两根，且，求m的值．(3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．23．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇