专题11圆与圆的对称性（4个知识点7种题1个易错点）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

专题11圆与圆的对称性（4个知识点7种题1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的相关定义（重点）知识点2.点与圆的位置关系（难点）知识点3.圆的对称性（重点）知识点4.圆心角、弧、弦之间的关系（难点）【方法二】实例探索法题型1.圆的相关概念的考查题型2.点与圆的位置关系判断题型3.分类讨论思想的应用题型4.点与圆的位置关系的实际应用题型5.圆与三角形题型6.优弧、劣弧的判断题型7.辅助线的添加方法【方法三】差异对比法易错点1：在解题中忽略了点与圆的多种位置关系【方法四】成果评定法【学习目标】理解圆、等圆、等弧等概念，深刻认识圆中的基本概念。掌握点与圆的三种位置关系。3.了解圆是中心对称图形和轴对称图形，并能确定圆的对称轴。4.能运用圆的对称性推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.圆的相关定义（重点）1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

要点诠释：

①定点为圆心，定长为半径；

②圆指的是圆周，而不是圆面；

③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

要点诠释：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)

∴直径AB是⊙O中最长的弦.

【例1】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条3.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

要点诠释：

①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

②无特殊说明时，弧指的是劣弧.【例2】（2023·江苏·九年级假期作业）（1）图①中有条弧，分别为；（2）写出图②中的一个半圆；劣弧：；优弧：．5.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.6.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

要点诠释：

①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

②圆中两平行弦所夹的弧相等.【例3】下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧知识点2.点与圆的位置关系（难点）（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．【例4】（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（

）A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定知识点3.圆的对称性（重点）（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心（2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。【例5】下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形知识点4.圆心角、弧、弦之间的关系（难点）（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等注意：（1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．【例6】（2022秋•溧水区期中）如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．10【方法二】实例探索法题型1.圆的相关概念的考查1.下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧2．下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧3.下列命题中，正确的个数是（）

⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；

⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.

A.1个B.2个C.3个D.4个题型2.点与圆的位置关系判断4.已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.题型3.分类讨论思想的应用5.已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?题型4.点与圆的位置关系的实际应用6．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是.题型5.圆与三角形7．（2023·江苏南京·统考二模）如图，的半径为2，是的一条弦，以为边作一个等边，则长的取值范围是．题型6.优弧、劣弧的判断8．下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧题型7.辅助线的添加方法9．（2021•南京）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为cm．【方法三】差异对比法易错点1：在解题中忽略了点与圆的多种位置关系10．圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？11.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【方法四】成果评定法一．选择题（共7小题）1．（2023秋•天宁区校级期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则弧的度数为A． B． C． D．2．（2023秋•沭阳县月考）如图，是的直径，，若，则的度数是A． B． C． D．3．（2023•鼓楼区校级开学）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2023春•沭阳县月考）已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定5．（2023秋•邗江区校级月考）如图，，，是上三个点，，则下列说法中正确的是A． B．四边形内接于 C． D．6．（2023秋•沭阳县期中）如图，点，，在上，，，，则的半径为A． B． C． D．7．（2023秋•梁溪区校级月考）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为，，则的面积是A．3 B．1.5 C． D．二．填空题（共7小题）8．（2023秋•兴化市月考）一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是．9．（2023秋•南京期中）在中，弦的长恰好等于半径，弦所对的圆心角为．10．（2022秋•东台市校级月考）已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为厘米．11．（2022秋•南京月考）如图，，，是上三点，，，则的大小为．12．（2023秋•溧阳市期中）如图，中，四边形内接于圆，是直径，，若，则．13．（2023秋•大丰区校级月考）如图，是的直径，是的中点，若，则的度数为．14．（2023秋•铜山区期中）如图点、、、在上，且，是延长线上一点，且，是中点，若，则．三．解答题（共6小题）15．（2023秋•工业园区校级期中）已知点、、、在上，，判断弦与是否相等，并说明理由．16．（2023秋•沭阳县月考）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数．17．（2023秋•相城区校级月考）如图，在中，以点为圆心画弧分别交，的延长线和于，，，连接并延长交于，．（1）求证：；（2）连接，判断与的位置关系，并说明理由．18．（2023秋•通州区期中）如图，中，弦