2024届河南省焦作市博爱一中高三（上）12月月考数学试题及答案

焦作市博爱一中2023—2024学年高三（上）12月月考数学考生注意：1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p:aD，命题q:xR，x20a3，若p是q成立的必要不充分00条件，则区间D可以为()(,4)(0,)(,6][2,)[0]A.C.B.D.(2)1313122242.设a,bc,,则a,b,c的大小关系正确的是()355A.abcB.acbπC.cabD.bcaπ23.已知，，且sin2cos21sin，则下列结论正确的2是()ππA.B.22ππC.D.22,bk,1,kR,a,b的夹角为,若存在实数m使得4.已知向量a1,22bcos5m0,则m的取值范围是()1A.,2512B.D.,C.,21x22y225.已知双曲线C:的左焦点为1，直线yk0与双曲线C1ab0ab2π12b2交于P，Q两点，且PFQC的离心率为()，PFFQ4，则当a2取得最小值时，双曲线11a23A.3B.3C.2D.26.已知点(,3)，B(2m,m4)，C(m2)，D0)，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为()A.1B.0C.0或2D.0或17.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,取正六边形ABCDEF各边的中点A,B,11111111111122C,D,E,F,作第二个正六边形ABCDEF;然后再取正六边形ABCDEF各2222222222222222边的中点A,B,C,D,E,F,作第三个正六边形ABCDEF;依此方法一直继续333333333333下去……,则第2022个正方形的面积为()3333A.63B.63C.D.6363442218.已知a1tan0.2,b,c,其中e为自然对数的底数,则()e0.2A.abcB.cabC.bacD.acb二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若存在实数a，b，c满足等式9a可能为()4b8124a2b，9a16bc，则c的值229227298278A.B.C.D.10.甲,乙两楼相距20m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30,则下列说法正确的有()A.甲楼的高度为20mB.甲楼的高度为mD.乙楼的高度为m403C.乙楼的高度为m311.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDABCD是棱长为1的正方体，则()1111A.平面ABBA的一个法向量为0)B.平面BCD的一个法向量为111C.平面BCD的一个法向量为D.平面ABCD的一个法向量为1111sinx12.直线xaya0是曲线y的切线,则实数a的值可以是()xππA.3πB.πC.D.23三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为________.14.在平面直角坐标系xOy中，角是以O为顶点，Ox轴为始边，若角的终边过π4点4，则sin的值等于________.315.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位）2,1,0,5,OC1,2,,点M为线段16.在空间直角坐标系中,已知AB的中点,则CM________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.π17.（10分）已知函数f(x)sinxsinx3x.22（1）求f(x)的最小正周期和最大值；π2π63（2）讨论f(x)在,上的单调性.an1,其中S是数列a的前nn18.（12分）已知各项均为正数的数列a满足2Snnn项和.(1)求数列a的通项公式；n41111(2)若对任意nN,且当n2时,总有数的取值范围.恒成立,求实41S21S31Sn119.（12分）如图,四棱锥P的底面为正方形,是侧面PBC上一点.平面ABCD,,MPDAD2(1)过点作一个截面,使得PA与BC都与平行.作出与四棱锥P表面M的交线,并证明；12125(2)设BMBCBP,其中[0，].若PB与平面MCD所成角的正弦值为,求的值.20.（12分）如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M54为PD上的一点，且||PD|.5（1）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；4（2）求过点(3,0)且斜率为的直线被曲线C截得的线段的长度.521.（12分）新高考实行“312”模式,其中“3”为语文,数学,外语这3门必选科目,“1”由考生在物理,历史2门首选科目中选择1门,“2”由考生在政治,地理,化学,生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理,再选科目为化学,生物至少1门.（1）从所有选科组合中任意选取1个,求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率;（2）假设甲,乙,丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的,求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率.62x1x1(a0).22.（12分）已知函数fxax（1）若函数fx在区间上为增函数，求a的取值范围；21213232n1nn1n14（2）设nN*，证明：.n17数学参考答案一、单项选择题1.答案：Aq:0R200a3x0a30，02解析：命题a，x，则24(a0，解得a6或a2所以(,6][2,)ÜD又p是q成立的必要不充分条件，所以(,4)(0,)，所以区间D可以为.2.答案：C113123254532解析:abc,,,1113222233函数yx是增函数,,,3535ab,且1ab121245c1ab1,即,又54综上可得,cab,故选:C.3.答案：A解析：有sin2cos21sin，得2sincos221sin，sincossincos，π2π2π2πsinsin，由于，，所以，2π，故选A.24.答案：C5解析:bcos5m0,则mbcos,a2),51则a12225,abcosab故m,abk„2,255ab2由题意可知,m.55故选:C.5.答案：D解析：不妨设P位于第一象限，双曲线C的右焦点为F，连接PF，FQ，222πO为PQ,FF中点，四边形PFQF为平行四边形，PFFQ，F；121221123设PF1m，2nm,n0，则mn2a，π1由PFFQ4得：4，解得：8；111232π在△PFF中，FF2mn2mnmn24a84c，222212123b2c2a22，1b22a22a22a222（当且仅当a2时取等号），22a2a22a21b22ba22当a2取得最小值时，双曲线C的离心率e12.2a故选：D.6.答案：D解析：方法一：当m0时，直线AB与直线CD的斜率都不存在，且不重合，此时直线m12m12AB与直线CD平行；当m0时，k，k，由，解得m1，且mmmm2两直线不重合.综上，m的值为0或1.方法二：直线AB的一个方向向量为(,m，直线CD的一个方向向量为(,2)，因为直线AB与直线CD平行，所以AB//，所以DC(0)，即mm,(,m(,2)，所以解得m0或1，且直线AB与CD不重合.m12,7.答案：C解析：由题知第n个正六边形的面积组成一个等比数列a,nn133其中a63,q,所以,an634143故,634故选：C.8.答案：B解析:a1tan0.2,b10.8,ce,则bc10.8e,令fx1xex1,x,1则fxex1在x上递减,则,fxf10xbc,所以fx在x0,1上递增,则fxf10,即则ac1tan0.2e,令gx1tanxex,x,1则gxex在x0,1上递减,则gxg00,x2所以gx在x0,1上递减,则gxg00,即ac,故选:B二、多项选择题9.答案：ACD24b解析：由式9a4b8124a2b，可得a281，a4b9，则a2294b，4b9a，23所以9a22712b，16b3612a，29a216b又9ac216bc，则c，8a2362728b，c，889278a0，b0c，2299278则c的值可能为，，.28故选：ACD.10.答案：AC△AC20m90解析：解：如图所示,ABC中,,,ABACtan6020m,BC40m,△BCD中,BCD30BC40mCBD30D,,,,BCCD由正弦定理得,sin120sinCBD14040332CDm故选：AC．所以3211.答案：AC解析：由题意，知(0,0,0)，B0)，C0)，D0)，B，C，11D.AD0)，AD平面ABBA，故A正确；111CD(0)，且(0)10不是平面BCD的法向量，故B14不正确；BC，CD(，，0(0，又11BCCDC是平面BCD的一个法向量，故C正确；1111BC，且，20不是平面ABCD的法向量，故D不111正确.12.答案：AB解析：设切点为Px,y,直线xaya0恒过定点0,1,00sin001xcosxsinxxxsinx,y000x20x20sinxxxxsinx2sinxx1x,00000000x0,可取x2kπkZ,00sin01由导数的几何意义知,00sin001,=x20asin2k1π2k1π2kπ111,则,则2a2k1π22kπa2k1π,所以a2k1πkZ当时,aπ;当,,故A,B正确,C,D不正确.故选：AB.2aπk1k三、填空题2x,0x1013.答案：y150xx4033解析：当0x10时，直线段过点O0,0，A20，20k2此时方程为y2x.10302013当10x40时，直线段过点A20，B30，k，401011503此时方程为y20x10.即yx.3352x,0x10故答案为：y.150xx40332114.答案：/210104535的终边过点4，则sin，cos，π442322sin.5252102故答案为：.1015.答案：解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为r,1即2r8,可得r尺；4π11根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的为Vr32025立方尺；343π3201又1斛米的体积约为1.6立方尺,所以共22斛.3π1.6故答案为：.16.答案：2,1,0,5,点M为线段AB的中点,解析:因为1所以OA3,2,所以CM4所以2242,CM26故答案为:.四、解答题317.（10分）答案：（1）最小正周期为π，最大值为126π5π65π2π3（2）在,单调递增，在,单调递减π2解析：（1）f(x)sinxsinx32xsinxx3x2112xsin2x322π33sin2x，22π则f(x)的最小正周期为Tπ，5π2ππ3当2x2π,kZ，即xπ,kZ时，f(x)取得最大值为1；32122π2π63π（2）当x,时，2xπ，3ππ2π5π612则当2x，即x,时，fx为增函数；3ππ25π2π123当2x,π时，即x,时，fx为减函数，3π5π65π2π3在fx单调递增，在单调递减.,,18.（12分）答案：(1)an2n1(2).2an21解析：（1）2Sa1,Snnn2121当n1时,当n2时,,解得11.1122n21an11,nSnSn12n1nn12即n0,nn10aa20,,nn17数列n是以1为首项,2为公差的等差数列,an2n1.（2）因为an2n1,所以n12n1Snn22111111当时,,n21n21nn2n1n1Sn111141S1S1Sn12311111111111n2nn1n114232435111112n1111,2nn12nn142,1实数的取值范围为.19.（12分）答案：(1)答案和证明见解析1(2)4解析：（1）过点M作BC的平行线,分别交PB,PC于点E,F,过E作PA的平行线,交AB于点N,过N作BC的平行线交CD于点Q,则截面EFQN为所求截面,证明如下：因为PA//EN,PA截面,EN截面,所以PA//截面,因为BC//NQ,截面,NQ截面,所以//截面.（2）因为平面ABCD,DA,平面ABCD,所以,PDDA且,所以以D为坐标原点,,,为x,y,z轴建系如图,DADP8则D(0,0),C(0,0),B(2,0),P2)所以(0)(2)DC(0,0),,1所以BMBCBP(2,0,0)((2,2又因为,所以M2,2设平面MCD的法向量为,m(x,y,z)m2y0x1,y0,z1所以令m2)xyz0所以,m2设PB与平面MCD所成角为,则sinBP,mBPm2215,BPm34224511整理得210,解得（舍）,.8224x2y220.（12分）答案：（1）141（2）554解析：（1）设点M的坐标是(x,y)，点P的坐标是x,y，因为P是圆x2y25上的动点，2254所以x2y25，x2y2所以点M的轨迹C的方程是1.44(2)过点(3,0)且斜率k的直线l:y(x，552设直线l与曲线C交于点Ax,y，Bx,y，112x2(x2将直线l与曲线C的方程联立，消去y得1，2525化简得x3x80，29341341解得1，2，2241所以|1k2xx，125415即截得的线段的长度是.521.（12分）答案：（1）12245（2）576解析:（1）用a,b分别表示“选择物理”,“选择历史”,用c,d,e,f分别表示选择“选择化学”,“选择生物”,“选择政治”,“选择地理”,则所有选课组合的样本空间为,,