2024届湖南省永州市高三第三次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3湖南省永州市2024届高三第三次模拟考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以.故选：A2.样本数据16，24，14，10，20，15，12，14上四分位数为（）A.14 B.15 C.16 D.18〖答案〗D〖解析〗将数据从小到大排序可得，共8个样本数据，则上四分位数即第百分位数为，即为.故选：D.3.已知非零数列满足，则（）A.8 B.16 C.32 D.64〖答案〗D〖解析〗由可得，则.故选：D.4.的展开式中第四项的系数为540，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为的展开式中第四项为，所以，解得，所以.故选：C.5.为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（）A.26 B.25 C.24 D.23〖答案〗C〖解析〗将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有种分法，而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法，所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为种.故选：C.6.在中，，，，，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，由，可得是以为直径的圆，所以的轨迹方程为，取的中点为，设，可得，所以，所以，所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为，由，所以，所以，所以，所以.故选：A.7.已知函数,其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，在上单调递增.令，上单调递增，因为，所以为奇函数，则化为所以，解得，.故选：C.8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图,,,，设,则，平分,,,由双曲线定义可知，，即,在中，由余弦定理知化简得,由得,不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则,.故选：B.二、多项选择题9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量，若，则B.设，，则“”成立的充要条件是“”C.已知，，则D.若，，，则事件与相互独立〖答案〗A〖解析〗对于A，随机变量服从正态分布，且对称轴为，因为，所以，故，故A正确；对于B，当时，，当时，，此时成立，但，故B错误；对于C，，故，故C错误；对于D，，故D错误.故选：A.10.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（）A.的最小值为2B.当直线的斜率为时，C.设直线，的斜率分别为，，则D.过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则〖答案〗BCD〖解析〗，设直线的方程为.对于A，把代入得，设，则，所以，A错；对于B，当直线的斜率为时，，B对；对于C，由题意知则，，所以，C对；对于D，由有，因为的方程为，令得，所以点为的中点，即，D对.故选：BCD.11.在平面四边形中，，，为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为.则下列说法正确的是（）A.当时，，分别为线段，上的动点，则的最小值为B.当时，三棱锥外接球的直径为C.当时，以为直径的球面与底面的交线长为D.当时，绕点旋转至所形成的曲面面积为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，如图，取中点，连接，，则，，所以为二面角的平面角，角，由题意可得，当时，根据余弦定理可得，当为中点且时，长度最短，由等面积法可得，求得最小值为故A对.对于B，如图，的外接圆的圆心分别为，三棱锥外接球的球心为，连接，则，当时，则，所以，所以球的半径故B错.对于C，当时，如图，过球心作则为的中点，且，又球半径为1，球与的一交点为，则，又过作，，球与底面的交线如图，所以交线长为，故C对.对于D，转过的曲面为圆锥的一部分侧面积，该圆锥母线长为，底面圆半径为1，故面积为，故D对.故选：ACD.三、填空题12.已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为________.〖答案〗〖解析〗,,,,都是实数，且,,解得,即实数的取值范围为故〖答案〗为：13.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则________.〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理可得，即，所以，即，因为，所以，因为，所以，即,所以.故〖答案〗为：.14.已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则________________.〖答案〗〖解析〗由可得，所以，，，，.因为对于，恒有，所以当时，，而，故〖答案〗为：.四、解答题15.绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株.甲地土质含有元素，乙地土质不含有元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株.（1）根据所给数据，完成下面的列联表（单位：株），并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与元素含量有关联？列联表类别树苗成活情况合计成活不成活含元素不含元素合计（2）若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为，求的分布列及方差参考公式：，参考数据：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879解：（1）依题意可得列联表如下：类别树苗成活情况合计成活不成活

含元素45550不含元素401050合计8515100零假设为：该品种树苗成活与元素含量无关联.根据列联表中的数据，，根据小概率值独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为该品种树苗成活与元素含量无关联.（2）由题意知，不成活的树苗共有株，甲地不成活的树苗有株，的可能取值为,故，，，故的分布列为：期望；方差.16.如图，在多面体中，底面为直角梯形，，，平面，.（1）证明：；（2）若，，且多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：在中，，在中，，所以，，所以，又平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：设多面体的体积为，，则，解得，如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，那么，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数.（1）当时，求在的单调区间及极值.（2）若恒成立，求的取值范围.解：（1）当，时，，则，令，解得，令，解得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，所以在处取得极小值为，无极大值.（2）依题意可得，对，恒成立，即，令，当时，，单调递减，当时，，则，令，解得，令，解得，综上所述，在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即，所以的取值范围为.18.已知数列为等比数列，为等差数列，且，，.（1）求，的通项公式；（2）数列的前项和为,集合共有5个元素，求实数的取值范围；（3）若数列中，，，求证：.（1）解：设数列的公比为，数列的公差为，则由，，所以，所以，，即，所以，所以；（2）解：设数列，则，所以，，令，，可得，故当时，最大，且，所以，即的取值范围为.（3）证明：由，则当时，，当时，也满足上式，所以，，所以原不等式成立.19.已知为坐标原点，动点在椭圆上，动点满足，记点的轨迹为（1）求轨迹的方程；（2）在轨迹上是否存在点，使得过点作椭圆的两条切线互相垂直？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由：（3）过点的直线交轨迹于，两点，射线交轨迹于点，射线交椭圆于点，求四边形面积的最大值.解：（1）设则，由得，又在椭圆上，所以代入化简得，所以点的轨迹的方程为（2）当两条切线的斜率存在时，设过点的切线为，联立，消去得则由判别式，得，设两条切线的斜率分别为，依题意得，即，又点在轨迹上，，解得，或(当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得不合题意，综上，存在满足条件的点，且点的坐标为或(.（3）将代入轨迹的方程，可得，由，可得①，且，，所以，因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积，将代入椭圆C的方程可得，由，可得②，令，由①②可知，因此，故，当且仅当，即时，取得最大值2，由题知的面积，又易知面积，从而四边形的面积，所以四边形的面积的最大值为.湖南省永州市2024届高三第三次模拟考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以.故选：A2.样本数据16，24，14，10，20，15，12，14上四分位数为（）A.14 B.15 C.16 D.18〖答案〗D〖解析〗将数据从小到大排序可得，共8个样本数据，则上四分位数即第百分位数为，即为.故选：D.3.已知非零数列满足，则（）A.8 B.16 C.32 D.64〖答案〗D〖解析〗由可得，则.故选：D.4.的展开式中第四项的系数为540，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为的展开式中第四项为，所以，解得，所以.故选：C.5.为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（）A.26 B.25 C.24 D.23〖答案〗C〖解析〗将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有种分法，而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法，所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为种.故选：C.6.在中，，，，，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，由，可得是以为直径的圆，所以的轨迹方程为，取的中点为，设，可得，所以，所以，所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为，由，所以，所以，所以，所以.故选：A.7.已知函数,其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，在上单调递增.令，上单调递增，因为，所以为奇函数，则化为所以，解得，.故选：C.8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图,,,，设,则，平分,,,由双曲线定义可知，，即,在中，由余弦定理知化简得,由得,不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则,.故选：B.二、多项选择题9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量，若，则B.设，，则“”成立的充要条件是“”C.已知，，则D.若，，，则事件与相互独立〖答案〗A〖解析〗对于A，随机变量服从正态分布，且对称轴为，因为，所以，故，故A正确；对于B，当时，，当时，，此时成立，但，故B错误；对于C，，故，故C错误；对于D，，故D错误.故选：A.10.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（）A.的最小值为2B.当直线的斜率为时，C.设直线，的斜率分别为，，则D.过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则〖答案〗BCD〖解析〗，设直线的方程为.对于A，把代入得，设，则，所以，A错；对于B，当直线的斜率为时，，B对；对于C，由题意知则，，所以，C对；对于D，由有，因为的方程为，令得，所以点为的中点，即，D对.故选：BCD.11.在平面四边形中，，，为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为.则下列说法正确的是（）A.当时，，分别为线段，上的动点，则的最小值为B.当时，三棱锥外接球的直径为C.当时，以为直径的球面与底面的交线长为D.当时，绕点旋转至所形成的曲面面积为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，如图，取中点，连接，，则，，所以为二面角的平面角，角，由题意可得，当时，根据余弦定理可得，当为中点且时，长度最短，由等面积法可得，求得最小值为故A对.对于B，如图，的外接圆的圆心分别为，三棱锥外接球的球心为，连接，则，当时，则，所以，所以球的半径故B错.对于C，当时，如图，过球心作则为的中点，且，又球半径为1，球与的一交点为，则，又过作，，球与底面的交线如图，所以交线长为，故C对.对于D，转过的曲面为圆锥的一部分侧面积，该圆锥母线长为，底面圆半径为1，故面积为，故D对.故选：ACD.三、填空题12.已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为________.〖答案〗〖解析〗,,,,都是实数，且,,解得,即实数的取值范围为故〖答案〗为：13.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则________.〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理可得，即，所以，即，因为，所以，因为，所以，即,所以.故〖答案〗为：.14.已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则________________.〖答案〗〖解析〗由可得，所以，，，，.因为对于，恒有，所以当时，，而，故〖答案〗为：.四、解答题15.绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株.甲地土质含有元素，乙地土质不含有元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株.（1）根据所给数据，完成下面的列联表（单位：株），并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与元素含量有关联？列联表类别树苗成活情况合计成活不成活含元素不含元素合计（2）若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为，求的分布列及方差参考公式：，参考数据：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879解：（1）依题意可得列联表如下：类别树苗成活情况合计成活不成活

含元素45550不含元素401050合计8515100零假设为：该品种树苗成活与元素含量无关联.根据列联表中的数据，，根据小概率值独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为该品种树苗成活与元素含量无关联.（2）由题意知，不成活的树苗共有株，甲地不成活的树苗有株，的可能取值为,故，，，故的分布列为：期望；方差.16.如图，在多面体中，底面为直角梯形，，，平面，.（1）证明：；（2）若，，且多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：在中，，在中，，所以，，所以，又平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：设多面体的体积为，，则，解得，如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，那么，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数.（1）当时，求在的单调区间及极值.（2）若恒成立，求的