2024届安徽省安庆市示范高中高三联考（三模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3安徽省安庆市示范高中2024届高三联考（三模）数学试题一、单选题1.已知线段是圆的一条长为4的弦，则（）A.4 B.6 C.8 D.16〖答案〗C〖解析〗取中点，连接，易知，所以.故选：C．2.复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由条件知，所以.故选：D．3.已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，记内切球和外接球的半径分别为和，则所以其外接球与内切球的表面积之比为.故选：A．4.已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（）A. B. C. D.的大小关系不确定〖答案〗B〖解析〗由题意可知，，，于是，又，所以，所以，两式相减得，所以.故选：B.5.已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（）A. B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，所以,即,由得，即，则，由焦半径公式可得.故选：A.6.已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，解得，所以，其在上单调递增，又因，所以函数为奇函数，，所以不等式可化为，于是，即，解得或.故选：C．7.在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（）A.该截面多边形是四边形B.该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点C.平面D.平面平面〖答案〗B〖解析〗对于A，将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，连分别与棱交于，得到截面多边形是五边形，A错误；对于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，所以，即，点是棱的一个三等分点，B正确；对于C，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，因为平面，所以平面，因为平面与平面相交，所以与平面不垂直，C错误；对于D，易知，所以，又，所以平面，结合C结论，所以平面与平面不平行，D错误.故选：B．8.若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（）对．A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗由条件知，于是，又，所以，于是“4项紧密数列”有；共有6对.故选：B．二、多选题9.已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗AB〖解析〗由，解得，故，由，可得，，要使有且仅有3个不同元素，则，解得，故选：AB．10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递增C.函数的最大值为D.若方程在上有且仅有8个不同的实根，则〖答案〗ACD〖解析〗由条件可知，因，又函数与的最小正周期均为，所以函数最小正周期为，A选项正确；时，，，，，则函数在上不可能单调递增，B选项错误；，当时，函数取最大值，C选项正确；，所以函数为偶函数，方程在上有且仅有8个不同的实根，则在上有四个根，此时，则，设令，得，令，得则在上和单调递增，在和上单调递减，又，，，如图所示，若想方程在上有四个根，则，即，因此选项D正确.故选：ACD．11.直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，从左到右依次排列，则（）A.线段与线段的中点必重合 B.C.线段的长度不可能成等差数列 D.线段的长度可能成等比数列〖答案〗ABD〖解析〗设直线，联立得，于是，联立得，于是，所以，因此线段与线段的中点必重合，A正确；设中点为，则，所以，B正确；假设线段的长度成等差数列，则，所以，于是，两边同时平方并整理得，于是，展开整理得，该方程有解，所以存在直线，使得线段的长度成等差数列，C错误；同上推理，当线段的长度相等时，线段，的长度成等比数列，D正确.故选：ABD．三、填空题12.在的展开式中，不含字母的项为_________．〖答案〗〖解析〗由条件可知不含字母的项为．故〖答案〗为：.13.一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________．〖答案〗〖解析〗设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，则，，所以，故〖答案〗为：．14.由函数图象上一点向圆引两条切线，切点分别为点，连接，当直线的横截距最大时，直线的方程为_________，此时_________．〖答案〗〖解析〗设点，圆的圆心为，如图所示，则以线段为直径的圆的方程为，整理得，与圆相交，两个圆相减得：直线，令，则，构造函数，，对其求导得，令，则，于是函数在上单调递增，在上单调递减，故函数最大值为，此时直线的方程为，且,于是．故〖答案〗为：，.四、解答题15.随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”．某校生物学社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据，其中表示年龄，表示脂肪含量，并计算得到，作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为．（1）请求出的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？（2）小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标，于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：甲款使用年限统计表使用年限5年6年7年8年合计台数10403020100乙款使用年限统计表使用年限5年6年7年8年合计台数30402010100如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？解：（1）因线性回归直线方程经过样本中心，所以将代入，得到．于是，当时，．所以的值为，估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317．（2）以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为（单位：年），则的分布列为56780.10.40.30.2于是．设乙款健身器材使用年限为（单位：年），则的分布列为56780.3040.20.1于是．因，所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久．16.如图，在四棱锥中，，，连接．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角正弦值的大小．（1）证明：因，所以，又，所以，根据余弦定理知，直角梯形中，，，，，，则，过点作，垂足为，则，,得，则有，得，，得，因，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系．则，于是，又，设平面的一个法向量为，于是，令，则，即，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.已知函数在点处的切线平行于直线．（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）若是函数的极值点，求证：．（1）解：的定义域为，，由题知，解得．由题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，只需，令，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以，于是，因此实数的取值范围是．（2）证明：由条件知，对其求导得，函数在上单调递增，且，所以存在，使，即，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，于是是函数的极值点，所以，即得证．18.已知数列的首项等于3，从第二项起是一个公差为2的等差数列，且成等比数列.（1）求数列的前项的和；（2）设数列满足且，若数列的前项的和为，求.解：（1）因成等比数列，所以，即，解得，所以当时，，又不符合上式，所以数列的通项公式为，因此，当时，，又符合上式，所以当时，；（2）由（1）知，令，所以，又，所以，因此，所以，于是.19.已知椭圆，圆．（1）点是椭圆的下顶点，点在椭圆上，点在圆上（点异于点），连，直线与直线的斜率分别记作，若，试判断直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．（2）椭圆的左、右顶点分别为点，点（异于顶点）在椭圆上且位于轴上方，连分别交轴于点，点在圆上，求证：的充要条件为轴．（1）解：设，则，于是，因点，所以，于是，整理得，又直线的方程为，即，所以直线过定点，定点坐标为．（2）证明：设，则，设，因，所以直线，所以，因，所以直线，所以，于是．先证充分性：当轴时，，所以，即，于是，设直线交轴于点，因轴，所以，又，所以，于是，不妨设点在第一象限，点在第二象限，则，即，所以直线的方程为，联立，得，解得或，所以，于是，所以充分性成立．再证必要性：当时，即，整理得，又，所以，又三点共线，所以直线的方程为，三分共线，所以直线的方程为，联立，消去，得，即，所以轴，即必要性得证．安徽省安庆市示范高中2024届高三联考（三模）数学试题一、单选题1.已知线段是圆的一条长为4的弦，则（）A.4 B.6 C.8 D.16〖答案〗C〖解析〗取中点，连接，易知，所以.故选：C．2.复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由条件知，所以.故选：D．3.已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，记内切球和外接球的半径分别为和，则所以其外接球与内切球的表面积之比为.故选：A．4.已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（）A. B. C. D.的大小关系不确定〖答案〗B〖解析〗由题意可知，，，于是，又，所以，所以，两式相减得，所以.故选：B.5.已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（）A. B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，所以,即,由得，即，则，由焦半径公式可得.故选：A.6.已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，解得，所以，其在上单调递增，又因，所以函数为奇函数，，所以不等式可化为，于是，即，解得或.故选：C．7.在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（）A.该截面多边形是四边形B.该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点C.平面D.平面平面〖答案〗B〖解析〗对于A，将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，连分别与棱交于，得到截面多边形是五边形，A错误；对于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，所以，即，点是棱的一个三等分点，B正确；对于C，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，因为平面，所以平面，因为平面与平面相交，所以与平面不垂直，C错误；对于D，易知，所以，又，所以平面，结合C结论，所以平面与平面不平行，D错误.故选：B．8.若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（）对．A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗由条件知，于是，又，所以，于是“4项紧密数列”有；共有6对.故选：B．二、多选题9.已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗AB〖解析〗由，解得，故，由，可得，，要使有且仅有3个不同元素，则，解得，故选：AB．10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递增C.函数的最大值为D.若方程在上有且仅有8个不同的实根，则〖答案〗ACD〖解析〗由条件可知，因，又函数与的最小正周期均为，所以函数最小正周期为，A选项正确；时，，，，，则函数在上不可能单调递增，B选项错误；，当时，函数取最大值，C选项正确；，所以函数为偶函数，方程在上有且仅有8个不同的实根，则在上有四个根，此时，则，设令，得，令，得则在上和单调递增，在和上单调递减，又，，，如图所示，若想方程在上有四个根，则，即，因此选项D正确.故选：ACD．11.直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，从左到右依次排列，则（）A.线段与线段的中点必重合 B.C.线段的长度不可能成等差数列 D.线段的长度可能成等比数列〖答案〗ABD〖解析〗设直线，联立得，于是，联立得，于是，所以，因此线段与线段的中点必重合，A正确；设中点为，则，所以，B正确；假设线段的长度成等差数列，则，所以，于是，两边同时平方并整理得，于是，展开整理得，该方程有解，所以存在直线，使得线段的长度成等差数列，C错误；同上推理，当线段的长度相等时，线段，的长度成等比数列，D正确.故选：ABD．三、填空题12.在的展开式中，不含字母的项为_________．〖答案〗〖解析〗由条件可知不含字母的项为．故〖答案〗为：.13.一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________．〖答案〗〖解析〗设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，则，，所以，故〖答案〗为：．14.由函数图象上一点向圆引两条切线，切点分别为点，连接，当直线的横截距最大时，直线的方程为_________，此时_________．〖答案〗〖解析〗设点，圆的圆心为，如图所示，则以线段为直径的圆的方程为，整理得，与圆相交，两个圆相减得：直线，令，则，构造函数，，对其求导得，令，则，于是函数在上单调递增，在上单调递减，故函数最大值为，此时直线的方程为，且,于是．故〖答案〗为：，.四、解答题15.随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”．某校生物学社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据，其中表示年龄，表示脂肪含量，并计算得到，作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为．（1）请求出的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？（2）小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标，于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：甲款使用年限统计表使用年限5年6年7年8年合计台数10403020100乙款使用年限统计表使用年限5年6年7年8年合计台数30402010100如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？解：（1）因线性回归直线方程经过样本中心，所以将代入，得到．于是，当时，．所以的值为，估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317．（2）以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为（单位：年），则的分布列为56780.10.40.30.2于是．设乙款健身器材使用年限为（单位：年），则的分布列为56780.3040.20.1于是．因，所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久．16.如图，在四棱锥中，，，连接．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角正弦值的大小．（1）证明：因，所以，又，所以，根据余弦定理知，直角梯形中，，，，，，则，过点作，垂足为，则，,得，则有，得，，得，因，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系．则，于是，又，设平面的一个法向量为，于是，令，则，即，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.已知函数在点处的切线平行于直线