2024届贵州省黔东南州高三下学期模拟统测(二模)数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2贵州省黔东南州2024届高三下学期模拟统测(二模)数学试题一､选择题1.设集合.则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，.故选：D.2.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由椭圆标准方程可得，所以离心率.故选：A.3.下列四组数据中，中位数等于众数的是（）A.1，2，4，4，1，1，3 B.1，2，4，3，4，4，2C.1，2，3，3，4，4，4 D.1，2，3，4，2，2，3〖答案〗D〖解析〗A选项：将数据由小到大排列，中位数与众数分别为2和1；B选项：将数据由小到大排列，中位数与众数分别为3和4；C选项：中位数与众数分别为3和4；D选项：将数据由小到大排列，中位数与众数分别为2和2.故选：D4.2024年3月，甲､乙两人计划去贵州旅游，现有梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨六个景区供他们选择，甲去两个景区，乙去三个景区，且甲不去梵净山，乙要去青岩古镇，则这两人的旅游景区的选择共有（）A.60种 B.100种 C.80种 D.120种〖答案〗B〖解析〗第一步，甲从黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨五个景区中任选两个，有种选择；第二步，乙从梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、肇兴侗寨这五个景区中任选两个，有种选择；故这两人的旅游景区的选择共有种.故选：B5.若函数的值域为.则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意可得要取遍所有正数，则需要求，因为，解得；故.故选：C6.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得.因为，所以.因为，即所以.故选：.7.在个数码的全排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，记为.例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此.那么（）A.19 B.20 C.21 D.22〖答案〗C〖解析〗由题意，对于八位数87542136，可得8与后面每个数字都构成逆序，7与后面每个数字都构成逆序，5与都构成逆序，4与都构成逆序，2与1构成逆序，所以.故选：C8.如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，则，得.因为，所以当时，，即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.故选：C二､多选题9.已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（）A.可能为纯虚数B.，，的虚部之积为CD.，，的实部之和为2〖答案〗ABD〖解析〗因为，其三个不同的复数根为：，，当时，此时为纯虚数，故A正确；因为三个根的虚部分别为1，，，三个虚部乘积为，故B正确；根据模长定义，，故C不正确；因为三个根的实部分别为0，1，1，三个实部之和为2，故D正确.故选：ABD.10.在棱长为2的正方体中，为棱的中点，则（）A. B.四面体外接球的表面积为C.平面 D.直线与平面所成的角为〖答案〗AC〖解析〗对于A，如图，连接，则，因为，所以四边形是平行四边形，则，所以，故A正确；对于B，因为为棱的中点，，所以四面体外接球的半径为，则其外接球的表面积为，故B错误；对于C，取的中点，连接，与选项A同理可证，因为平面，平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故C正确；对于D，在正方体中，平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，则直线与平面所成的角为，且，故D错误.故选：AC.11.拋物线的焦点到准线的距离为1，经过点的直线与交于两点，则（）A.当时，直线斜率的取值范围是B.当点与点重合时，C.当时，与的夹角必为钝角D.当时，为定值（为坐标原点）〖答案〗BCD〖解析〗依题意可得，对于选项A，当时，设直线的方程为，代入，得，则，得到且，所以，故选项A错误，对于选项B，当点与点重合时，直线的方程为，代入，得，设，则，则，所以选项B正确，当时，直线的方程为，代入，得，则，，易知异号，所以，则，所以，得到，所以选项正确，又当时，在内，则，又三点不可能共线，所以与的夹角必为钝角，所以选项C正确，故选：BCD.三､填空题12.已知向量三点共线，则_________.〖答案〗〖解析〗因为三点共线，所以，所以，可得故〖答案〗为：13.已知数列的通项公式为为其前项和，.则_________，_________.〖答案〗〖解析〗因为，所以；所以.故〖答案〗为：；14.若为定义在上的偶函数，且为奇函数，，则_________.〖答案〗〖解析〗由函数为定义在上的偶函数，且为奇函数，令，可得，因为，所以，所以.故〖答案〗为：.四､解答题15.在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求的面积.解：（1）因为，所以.因为，所以.因为，所以，所以由，得.因为，所以.（2）由余弦定理知.因为，所以，所以，故的面积.16.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.（1）解：当时，函数，且定义域为，且，当时，；时，；所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：由函数，可得，令，解得；令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为恒成立，所以，解得，又因为，所以的取值范围为.17.如图，在多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.（1）证明：平面平面；（2）试问线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请判断点的位置；若不存在，请说明理由.（1）证明：因为四边形为菱形，所以.因为平面平面，所以.又因为，且平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：设，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则设，则设平面的法向量为，因为，所以令，则.设平面的法向量为，因为，所以令，则.因为平面与平面夹角的余弦值为，所以，解得或（舍去），所以存在满足题意，且为的中点.18.随着温度降低，各种流行病毒快速传播.为了增强员工预防某病毒的意识，某单位决定先对员工进行病毒检测，为了提高检测效率，决定将员工分为若干组，对每一组员工的血液样本进行混检（混检就是将若干个人被采集的血液样本放到一个采集管中（采集之前会对这些人做好信息登记））.检测结果为阴性时，混检样本均视为阴性，代表这些人都未感染：如果出现阳性，相关部门会立即对该混检管的所有受试者暂时单独隔离，并重新采集该混检管的所有受试者的血液样本进行一一复检，直至确定其中的阳性.已知某单位共有N人，决定n人为一组进行混检，（1）若，每人被病毒感染的概率均为，记检测的总管数为X，求X的分布列：（2）若.每人被病毒感染的概率均为0.1，记检测的总管数为Z，求Z的期望.解：（1）由题意的取值可能为，，，，则的分布列为246（2）将3人进行混检，记混检的一组最终检测的试管数为，则可能的值为1，4，，则.依题意可得，所以.故〖答案〗为：19.已知双曲线的渐近线方程为的焦距为，且.（1）求的标准方程；（2）若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：（i）的斜率之积为定值；（ii）存在定点，使得关于点对称.（1）解：因为的渐近线方程为，所以，则，所以，因为，所以，得.因为，所以，可得，所以，故的标准方程为.（2）证明：（i）设，如下图所示：设过点的切线的斜率为，则切线方程为，即，所以，即，因此的斜率是上式中方程的两根，即.又因为所以所以的斜率之积为定值，且定值为2.（ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为，联立，得.因为，所以，则，同理可得，所以.因为，所以.所以，得.因为都在上，所以或（舍去），所以存在定点，使得关于点对称.贵州省黔东南州2024届高三下学期模拟统测(二模)数学试题一､选择题1.设集合.则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，.故选：D.2.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由椭圆标准方程可得，所以离心率.故选：A.3.下列四组数据中，中位数等于众数的是（）A.1，2，4，4，1，1，3 B.1，2，4，3，4，4，2C.1，2，3，3，4，4，4 D.1，2，3，4，2，2，3〖答案〗D〖解析〗A选项：将数据由小到大排列，中位数与众数分别为2和1；B选项：将数据由小到大排列，中位数与众数分别为3和4；C选项：中位数与众数分别为3和4；D选项：将数据由小到大排列，中位数与众数分别为2和2.故选：D4.2024年3月，甲､乙两人计划去贵州旅游，现有梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨六个景区供他们选择，甲去两个景区，乙去三个景区，且甲不去梵净山，乙要去青岩古镇，则这两人的旅游景区的选择共有（）A.60种 B.100种 C.80种 D.120种〖答案〗B〖解析〗第一步，甲从黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨五个景区中任选两个，有种选择；第二步，乙从梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、肇兴侗寨这五个景区中任选两个，有种选择；故这两人的旅游景区的选择共有种.故选：B5.若函数的值域为.则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意可得要取遍所有正数，则需要求，因为，解得；故.故选：C6.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得.因为，所以.因为，即所以.故选：.7.在个数码的全排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，记为.例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此.那么（）A.19 B.20 C.21 D.22〖答案〗C〖解析〗由题意，对于八位数87542136，可得8与后面每个数字都构成逆序，7与后面每个数字都构成逆序，5与都构成逆序，4与都构成逆序，2与1构成逆序，所以.故选：C8.如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，则，得.因为，所以当时，，即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.故选：C二､多选题9.已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（）A.可能为纯虚数B.，，的虚部之积为CD.，，的实部之和为2〖答案〗ABD〖解析〗因为，其三个不同的复数根为：，，当时，此时为纯虚数，故A正确；因为三个根的虚部分别为1，，，三个虚部乘积为，故B正确；根据模长定义，，故C不正确；因为三个根的实部分别为0，1，1，三个实部之和为2，故D正确.故选：ABD.10.在棱长为2的正方体中，为棱的中点，则（）A. B.四面体外接球的表面积为C.平面 D.直线与平面所成的角为〖答案〗AC〖解析〗对于A，如图，连接，则，因为，所以四边形是平行四边形，则，所以，故A正确；对于B，因为为棱的中点，，所以四面体外接球的半径为，则其外接球的表面积为，故B错误；对于C，取的中点，连接，与选项A同理可证，因为平面，平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故C正确；对于D，在正方体中，平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，则直线与平面所成的角为，且，故D错误.故选：AC.11.拋物线的焦点到准线的距离为1，经过点的直线与交于两点，则（）A.当时，直线斜率的取值范围是B.当点与点重合时，C.当时，与的夹角必为钝角D.当时，为定值（为坐标原点）〖答案〗BCD〖解析〗依题意可得，对于选项A，当时，设直线的方程为，代入，得，则，得到且，所以，故选项A错误，对于选项B，当点与点重合时，直线的方程为，代入，得，设，则，则，所以选项B正确，当时，直线的方程为，代入，得，则，，易知异号，所以，则，所以，得到，所以选项正确，又当时，在内，则，又三点不可能共线，所以与的夹角必为钝角，所以选项C正确，故选：BCD.三､填空题12.已知向量三点共线，则_________.〖答案〗〖解析〗因为三点共线，所以，所以，可得故〖答案〗为：13.已知数列的通项公式为为其前项和，.则_________，_________.〖答案〗〖解析〗因为，所以；所以.故〖答案〗为：；14.若为定义在上的偶函数，且为奇函数，，则_________.〖答案〗〖解析〗由函数为定义在上的偶函数，且为奇函数，令，可得，因为，所以，所以.故〖答案〗为：.四､解答题15.在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求的面积.解：（1）因为，所以.因为，所以.因为，所以，所以由，得.因为，所以.（2）由余弦定理知.因为，所以，所以，故的面积.16.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.（1）解：当时，函数，且定义域为，且，当时，；时，；所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：由函数，可得，令，解得；令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为恒成立，所以，解得，又因为，所以的取值范围为.17.如图，在多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.（1）证明：平面平面；（2）试问线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请判断点的位置；若不存在，请说明理由.（1）证明：因为四边形为菱形，所以.因为平面平面，所以.又因为，且平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：设，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则设，则设平面的法向量为，因为，所以令，则.设平面的法向量为，因为，所以令，则.因为平面与平面夹角的余弦值为，所以，解得或（舍去），所以存在满足题意，且为的中点.18.随着温度降低，各种流行病毒快速传播.为了增强员工预防某病毒的意识，某单位决定先对员