2024届河北省沧州市部分高中高三下学期二模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3河北省沧州市部分高中2024届高三下学期二模考试数学试题一､选择题1.已知，则的虚部为（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，则，所以的虚部为1.故选：A2.若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，故，又由圆的一般方程，可得，即，即或，所以实数的范围为.故选：C.3.化简（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.4.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据：2025303540578911用最小二乘法求得与之间的经验回归方程是，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（）（单位：百件）A.11.2 B.11.75 C.12 D.12.2〖答案〗D〖解析〗因为，，所以回归直线过点，故，解得，所以，将代入中，得，即当售价为45元时，该商品的销售量件数大约为百件.故选：D.5.在的展开式中，项的系数为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗相当于6个因式相乘，其中一个因式取，有种取法，余下5个因式中有2个取，有种取法，最后3个因式中全部取，有种取法，故展开式中的系数为.故选：A.6.若，则下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由对数函数单调性，可得，所以；因为，所以，又因为，所以，即，所以.故选：B.7.已知四面体满足，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为四面体满足，可得，设平面的一个法向量，则，令，解得，所以，所以，设点到平面的距离为，则.故选：D.8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，所以．令，定义域为，令，易知在上单调递增，且．所以，则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点．则，当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是．故选：D．二､多选题9.已知实数满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，所以的符号不确定，由不等式的性质知成立，但不一定成立，故A正确，B错误；因，故C正确；因为，所以，所以，故D错误.故选：AC.10.已知为抛物线的焦点，直线过且与交于两点，为坐标原点，为上一点，且，则（）A.过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条B.当的面积为时，C.为钝角三角形D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗如图①所示，因为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为.对于A，因为，当时，，故点在抛物线的外部，所以与仅有一个公共点的直线有3条，故A正确；对于B，由抛物线的方程可知，焦点，设的方程为，联立消去，整理得，所以，又，所以，解得，则，则，故B错误；对于C，由选项B可知，所以，故为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；对于D，由选项B可知，所以，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ACD.图①11.已知是定义在上的单调递增且图象连续不断的函数,若，恒有成立，设，则（）A.B.C.D.〖答案〗AD〖解析〗对于选项A：令，得，即，因为在上单调递增，可知不恒等于，所以，故A正确；对于选项B：若存在使得，令，得，则恒等于1，这与单调递增矛盾，故，故B错误；对于选项CD：若存在，使得，因为的图象连续不断，，故存在，使得，与上述矛盾，故，可得，则，当且仅当时取等号，又因为单调递增，故不取等号，即，令时，可得，则，当时，令，则，因为单调递减且，可知单调递增，所以，又因为，则，且在上单调递增，因为，可知，所以，故C错误，D正确.故选：AD.三､填空题12.已知集合，若，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗由题意知，又且，故，即的取值范围为.故〖答案〗为：.13.已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由的部分图象，可得．由图可知点在的图象上，则，，由五点作图法可得，，解得，则．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．作出函数的部分图象如图所示，由根据函数的图象知：当时，直线与函数在上的图象有两个交点，即方程在上有两个不相等的实数根．故〖答案〗为：14.已知为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗由及，得，，又，则，设，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，于是，且，整理得，且，因此，所以的离心率为.故〖答案〗为：四､解答题15.已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，记，求．解：（1）设等差数列的公差为，则，即，则，则数列为等比数列，设其公比为，由，得且，解得，所以．（2）由（1）可得，所以①，②，①②得：，所以．16.由教育部､体育总局､共青团中央共同主办，广西壮族自治区人民政府承办的中华人民共和国第一届学生（青年）运动会于2023年11月5日至15日在广西壮族自治区举办，这是全国青年运动会和全国学生运动会合并后的首届赛事.来自全国各地的学生青年运动健儿们共赴青春之约，在八桂大地挥洒汗水写就华章.青运会结束后，某学校组织学生参加与本届青运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届青运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计这600名学生成绩的中位数；（3）由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）；②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望和方差.附：若随机变量服从正态分布，则.解：（1）由频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1得：，解得.（2）由频率分布直方图，因为前4组的频率为，所以估计600名学生成绩的中位数为80.（3）①由频率分布直方图，可利用区间中点值和频率来估计平均数，即，所以，则，题意中是把这个2.8万人看成一个总体，这里面每个人的成绩分布是服从正态分布，为了便于计算，我们又可以把这个事件看成伯努利事件，每个人的成绩超过86.8分的概率约是，所以，此时，即估计竞赛成绩超过86.8分的人数约为4442人.②由①得，则，由于是从所有参赛的学生中随机抽取10人，所以我们把这个事件看作伯努利事件，即随机变量，所以.17.如图，在三棱柱中，是边长为2等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为3．（1）证明：平面平面；（2）若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值．（1）证明：取中点，连接，因为，所以为等边三角形，因为为中点，所以，，因为三棱柱的体积为3，设到平面的距离为，所以，所以，则平面，又平面，所以平面平面．（2）解：连接，由（1）知平面，又平面，所以，因为为的中点，，所以，且，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，因为，所以，因为为中点，所以，则，设平面的一个法向量，则，即，令，解得，故，设平面的一个法向量，则，即，令，解得，故，设平面与平面的夹角为，所以，所以，所以．18.已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程．解：（1）由题知双曲线的渐近线方程为，不妨设，则焦点到渐近线的距离，的离心率为，故双曲线的标准方程为．（2）由（1）可得，当直线的倾斜角为零时，由，得直线的方程为，代入双曲线方程可得，不妨令，，则，不符合题意，则直线的倾斜角不为零，设直线的方程为，，，联立，消去整理得，，，，．，，，，，，，即，，，或．当时，，不符合题意，．，，，解得，故直线的方程为．综上，直线的方程为或．19.若函数与在区间上恒有，则称函数为和在区间上的隔离函数.（1）若，判断是否为和在区间上的隔离函数，并说明理由；（2）若，且在上恒成立，求的值；（3）若，证明：是为和在上的隔离函数的必要条件.（1）解：是和在区间上的隔离函数.因为，所以，在上单调递增，在上单调递减，又，当时，在上取到最小值0，故.又，所以.综上，是和在区间上的隔离函数.（2）解：设，则，因为，则是的极小值点，也是最小值点，所以，即.当时，，当时，；当时，，所以，即恒成立（当且仅当时取等号），故.（3）证明：设，由（2）得（当且仅当时取等号），所以，当且仅当时取等号，设，则，所以在上单调递增，又，所以存在使得，即，则，又，则，由隔离函数定义可得，所以，设，则，又，则是的极小值点，所以，即，结合，得，故，所以是为和在上的隔离函数的必要条件.河北省沧州市部分高中2024届高三下学期二模考试数学试题一､选择题1.已知，则的虚部为（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，则，所以的虚部为1.故选：A2.若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，故，又由圆的一般方程，可得，即，即或，所以实数的范围为.故选：C.3.化简（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.4.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据：2025303540578911用最小二乘法求得与之间的经验回归方程是，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（）（单位：百件）A.11.2 B.11.75 C.12 D.12.2〖答案〗D〖解析〗因为，，所以回归直线过点，故，解得，所以，将代入中，得，即当售价为45元时，该商品的销售量件数大约为百件.故选：D.5.在的展开式中，项的系数为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗相当于6个因式相乘，其中一个因式取，有种取法，余下5个因式中有2个取，有种取法，最后3个因式中全部取，有种取法，故展开式中的系数为.故选：A.6.若，则下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由对数函数单调性，可得，所以；因为，所以，又因为，所以，即，所以.故选：B.7.已知四面体满足，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为四面体满足，可得，设平面的一个法向量，则，令，解得，所以，所以，设点到平面的距离为，则.故选：D.8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，所以．令，定义域为，令，易知在上单调递增，且．所以，则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点．则，当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是．故选：D．二､多选题9.已知实数满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，所以的符号不确定，由不等式的性质知成立，但不一定成立，故A正确，B错误；因，故C正确；因为，所以，所以，故D错误.故选：AC.10.已知为抛物线的焦点，直线过且与交于两点，为坐标原点，为上一点，且，则（）A.过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条B.当的面积为时，C.为钝角三角形D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗如图①所示，因为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为.对于A，因为，当时，，故点在抛物线的外部，所以与仅有一个公共点的直线有3条，故A正确；对于B，由抛物线的方程可知，焦点，设的方程为，联立消去，整理得，所以，又，所以，解得，则，则，故B错误；对于C，由选项B可知，所以，故为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；对于D，由选项B可知，所以，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ACD.图①11.已知是定义在上的单调递增且图象连续不断的函数,若，恒有成立，设，则（）A.B.C.D.〖答案〗AD〖解析〗对于选项A：令，得，即，因为在上单调递增，可知不恒等于，所以，故A正确；对于选项B：若存在使得，令，得，则恒等于1，这与单调递增矛盾，故，故B错误；对于选项CD：若存在，使得，因为的图象连续不断，，故存在，使得，与上述矛盾，故，可得，则，当且仅当时取等号，又因为单调递增，故不取等号，即，令时，可得，则，当时，令，则，因为单调递减且，可知单调递增，所以，又因为，则，且在上单调递增，因为，可知，所以，故C错误，D正确.故选：AD.三､填空题12.已知集合，若，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗由题意知，又且，故，即的取值范围为.故〖答案〗为：.13.已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由的部分图象，可得．由图可知点在的图象上，则，，由五点作图法可得，，解得，则．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．作出函数的部分图象如图所示，由根据函数的图象知：当时，直线与函数在上的图象有两个交点，即方程在上有两个不相等的实数根．故〖答案〗为：14.已知为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗由及，得，，又，则，设，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，于是，且，整理得，且，因此，所以的离心率为.故〖答案〗为：四､解答题15.已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，记，求．解：（1）设等差数列的公差为，则，即，则，则数列为等比数列，设其公比为，由，得且，解得，所以．（2）由（1）可得，所以①，②，①②得：，所以．16.由教育部､体育总局､共青团中央共同主办，广西壮族自治区人民政府承办的中华人民共和国第一届学生（青年）运动会于2023年11月5日至15日在广西壮族自治区举办，这是全国青年运动会和全国学生运动会合并后的首届赛事.来自全国各地的学生青年运动健儿们共赴青春之约，在八桂大地挥洒汗水写就华章.青运会结束后，某学校组织学生参加与本届青运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届青运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计这600名学生成绩的中位数；（3）由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）；②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望和方差.附：若随机变量服从正态分布，则.解：（1）由频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1得：，解得.（2）由频率分布直方图，因为前4组的频率为，所以估计600名学生成绩的中位数为80.（3）①由频率分布直方图，可利用区间中点值和频率来估计平均数，即，所以，则，题意中是把这个2.8万人看成一个总体，这里面每个人的成绩分布是服从正态分布，为了便于计算，我们又可以把这个事件看成伯努利事件，每个人的成绩超过86.8分的概率约是，所以，此时，即估计竞赛成绩超过86.8分的人数约为4442人.②由①得，则，由于是从所有参赛的学生中随机抽取10人，所以我们把这个事件看作伯努利事件，即随机变量，所以.17.如图，在三棱柱中，是边长为2等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为3．（1）证明：平面平面；（2）若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值．（1）证明：取中点，连接，因为，所以为等边三角形，因为为中点，所以，，因为三棱柱的体积为3，设到平面的距离为，所以，所以，则平面，又平面，所