2022-2023学年浙江省绍兴市高一下学期6月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省绍兴市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数在复平面内对应的点是，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗复数在复平面内对应的点为，则，所以.故选：B．2.某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗数据、、、、、、、、、共个数，因为，因此，该组数据的第百分位数为.故选：C.3.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量，，对于A，，，A错误；对于B，，，B错误；对于C，由于，即与不共线，C错误；对于D，，因此，D正确.故选：D.4.已知m，n是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，由知，存在过的平面与平面相交，当为交线时，满足，而，A错误；对于B，当与相交时，令交线为，若，则满足，B错误；对于C，，在平面内存在直线垂直于，为此直线时，满足，而，C错误；对于D，因为，则存在过的平面与平面相交，令交线为，有，又，因此，而，所以，D正确.故选：D.5.抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：“正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）A.与B相互独立 B.与B对立C. D.〖答案〗D〖解析〗总的可能有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正反)，(反，反，正)，(反，反，反)，故，，，，而，，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；{(正，反，反)，(反，正反)，(反，反，正)}，{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}，{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正反)，(反，反，正)}，所以，故选项D正确.故选：D.6.轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A.30° B.45° C.60° D.90°〖答案〗C〖解析〗在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，，则，过点作交底面圆于点，连接，如图，则是异面直线PB与AC所成角或其补角，显然，即是正三角形，所以，即异面直线PB与AC所成角的大小为.故选：C.7.已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函数，的周期为，由图象可得，令，可得，，所以，即，又，所以，，，又，所以，所以.故选：A.8.在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱上的一个动点，若，，则三棱锥外接球的表面积是（）A.144π B.36π C.9π D.6π〖答案〗B〖解析〗令长方体的高为，，于是，解得，在中，，则外接圆半径，显然平面，因此三棱锥外接球的球心在线段的中垂面上，球心到平面的距离为，则球半径，所以三棱锥外接球的表面积.故选：B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.10.5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐.据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”.某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图.同比第一季度，下列说法正确的是（）A.今年商品A的营收是去年的4倍B.今年商品B的营收是去年的2倍C.今年商品C的营收比去年减少D.今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变〖答案〗ABD〖解析〗设去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，由扇形图可得款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，A正确；款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，B正确；款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，C错误；因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为，商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为，所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确.故选：ABD.11.如图，在边长为的正方形中，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且二面角为.若、分别为、的中点，则（）A. B.平面C.平面平面 D.点到平面的距离为〖答案〗ABD〖解析〗连接交于点，连接，取的中点，连接、，对于A选项，在正方形中，因为，，，所以，，则，所以，，则，即，翻折后，则有，，又因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，A对；对于B选项，因为、分别为、的中点，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为，，则四边形为梯形，又因为、分别为、的中点，所以，，因为平面，平面，则平面，因为，、平面，则平面平面，因为平面，故平面，B对；对于C选项，因，且，，，所以，，所以，，则，在中，，所以，，因为平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因为平面，所以，，所以，，且，翻折前，，翻折后，，若平面平面，且平面平面，平面，所以，平面，因为平面，则，事实上，，，，则，即、不垂直，假设不成立，故平面与平面不垂直，C错；对于D选项，因为，且平面，所以，，在中，，，由余弦定理可得，所以，，所以，，设点到平面的距离为，由，即，所以，，D对.故选：ABD.12.在中，D为BC的中点，点E满足.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗在中，D为BC的中点，，，如图，对于A，，有，A正确；对于B，，B正确；对于D，过作交的延长线于，由D为BC的中点，得是的中位线，则，于是，D正确；对于C，由选项D知，，假定，则，，，与矛盾，因此，C错误.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13.函数的最小正周期是_____________.〖答案〗〖解析〗函数的最小正周期.故〖答案〗为：.14.某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为_____________米.〖答案〗〖解析〗令甲的位置为点，如图，在中，，由余弦定理得，，过作于，所以所求距离的最小值为（米）.故〖答案〗为：.15.已知一组样本数据，，，，的方差为5，且满足，则样本数据的方差为____________.〖答案〗9〖解析〗因为，所以数据，，，，的平均数为，方差，由已知，数据的平均数，方差.故〖答案〗为：.16.直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是____________.〖答案〗〖解析〗如下图所示：将面、面沿着延展为一个平面，将面、面沿着延展一个平面，连接，此时，线段的长即为周长的最小值，则，，由于，，，则，延展后，则四边形为矩形，因为，，则为等腰直角三角形，所以，，延展后，则，由余弦定理可得.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.记、、为平面单位向量，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）由已知，且，所以，，则，所以，，因为，所以，.（2）由已知可得，且，所以，.18.在正方体中，棱长为3，是上底面的一个动点.（1）求三棱锥的体积；（2）当是上底面的中心时，求与平面ABCD所成角的余弦值.解：（1）如图所示，根据题意得：.（2）如图所示，过点做平面ABCD的垂线，垂足为G，易知G为AC中点，故为与平面ABCD所成线面角，又，所以与平面ABCD所成角的余弦值为：.19.为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，.（1）利用图中边长关系，证明：；（2）若，求.解：（1）在中，，，，则，在中，，，，则，在中，，，则，依题意，四边形是矩形，则，所以.（2）由及（1）知，，则，而为锐角，即有，，又是锐角，于是，所以.20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.（1）求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.解：（1）由频率分布直方图可知，解得，，众数为70，因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则，解得，所以中位数为.（2）记3名男生分别为，记2名女生分别为，则所有抽签的情况有：未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签，共有10种情况，其中中签者中男生比女生多的有：未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签，共7种，所以中签者中男生比女生多的概率为.21.如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.（1）已知，且（i）当时，求的面积；（ii）若，求.（2）已知，且，求AC的最大值.解：（1）（i）设，在中，由余弦定理得，解得，在中，，则底边上的高，所以的面积.（ii）设，依题意，，则，，即，而，所以.（2）连接，中，，，由余弦定理得，则，，设，在中，，于是，在中，，由余弦定理得：，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，，所以AC的最大值是.22.如图，在正三棱台中，，D，E分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且，D，P，Q均在平面上，若与的面积比为3：8，（i）证明：（ii）求与平面所成角的正弦值.解：（1）由棱台的性质知：延长交于点S，又，所以三棱锥为正四面体，为的中点，连接SE并延长，分别交BC，于点F、G，则F为中点，且为△的中线，所以G为等边的中心，连接AG，则平面SBC，又D为的中点，综上，，，且，，所以，即；，即，故，所以DE//AG，所以DE⊥平面SBC.（2）（i）延长交于点H，若均平面上，则共线，设，则，过A作AM//BC交PQ于点M，，则，设BQ=k，则，故且则，又所以，所以，即，所以，故Q为BC的中点，所以，即.（ii）由（i）知：即为面，连接，易知，且，由面，面，故面，综上，，连接交DP于点N，易知，且，所以，故，所以，又为与平面的交线，，面，设平面与平面所成角为，所以，故平面与平面所成角的正弦值为.浙江省绍兴市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数在复平面内对应的点是，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗复数在复平面内对应的点为，则，所以.故选：B．2.某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗数据、、、、、、、、、共个数，因为，因此，该组数据的第百分位数为.故选：C.3.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量，，对于A，，，A错误；对于B，，，B错误；对于C，由于，即与不共线，C错误；对于D，，因此，D正确.故选：D.4.已知m，n是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，由知，存在过的平面与平面相交，当为交线时，满足，而，A错误；对于B，当与相交时，令交线为，若，则满足，B错误；对于C，，在平面内存在直线垂直于，为此直线时，满足，而，C错误；对于D，因为，则存在过的平面与平面相交，令交线为，有，又，因此，而，所以，D正确.故选：D.5.抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：“正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）A.与B相互独立 B.与B对立C. D.〖答案〗D〖解析〗总的可能有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正反)，(反，反，正)，(反，反，反)，故，，，，而，，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；{(正，反，反)，(反，正反)，(反，反，正)}，{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}，{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正反)，(反，反，正)}，所以，故选项D正确.故选：D.6.轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A.30° B.45° C.60° D.90°〖答案〗C〖解析〗在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，，则，过点作交底面圆于点，连接，如图，则是异面直线PB与AC所成角或其补角，显然，即是正三角形，所以，即异面直线PB与AC所成角的大小为.故选：C.7.已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函数，的周期为，由图象可得，令，可得，，所以，即，又，所以，，，又，所以，所以.故选：A.8.在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱上的一个动点，若，，则三棱锥外接球的表面积是（）A.144π B.36π C.9π D.6π〖答案〗B〖解析〗令长方体的高为，，于是，解得，在中，，则外接圆半径，显然平面，因此三棱锥外接球的球心在线段的中垂面上，球心到平面的距离为，则球半径，所以三棱锥外接球的表面积.故选：B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.10.5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐.据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”.某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图.同比第一季度，下列说法正确的是（）A.今年商品A的营收是去年的4倍B.今年商品B的营收是去年的2倍C.今年商品C的营收比去年减少D.今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变〖答案〗ABD〖解析〗设去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，由扇形图可得款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，A正确；款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，B正确；款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，C错误；因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为，商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为，所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确.故选：ABD.11.如图，在边长为的正方形中，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且二面角为.若、分别为、的中点，则（）A. B.平面C.平面平面 D.点到平面的距离为〖答案〗ABD〖解析〗连接交于点，连接，取的中点，连接、，对于A选项，在正方形中，因为，，，所以，，则，所以，，则，即，翻折后，则有，，又因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，A对；对于B选项，因为、分别为、的中点，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为，，则四边形为梯形，又因为、分别为、的中点，所以，，因为平面，平面，则平面，因为，、平面，则平面平面，因为平面，故平面，B对；对于C选项，因，且，，，所以，，所以，，则，在中，，所以，，因为平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因为平面，所以，，所以，，且，翻折前，，翻折后，，若平面平面，且平面平面，平面，所以，平面，因为平面，则，事实上，，，，则，即、不垂直，假设不成立，故平面与平面不垂直，C错；对于D选项，因为，且平面，所以，，在中，，，由余弦定理可得，所以，，所以，，设点到平面的距离为，由，即，所以，，D对.故选：ABD.12.在中，D为BC的中点，点E满足.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗在中，D为BC的中点，，，如图，对于A，，有，A正确；对于B，，B正确；对于D，过作交的延长线于，由D为BC的中点，得是的中位线，则，于是，D正确；对于C，由选项D知，，假定，则，，，与矛盾，因此，C错误.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13.函数的最小正周期是_____________.〖答案〗〖解析〗函数的最小正周期.故〖答案〗为：.14.某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为_____________米.〖答案〗〖解析〗令甲的位置为点，如图，在中，，由余弦定理得，，过作于，所以所求距离的最小值为（米）.故〖答案〗为：.15.已知一组样本数据，，，，的方差为5，且满足，则样本数据的方差为____________.〖答案〗9〖解析〗因为，所以数据，，，，的平均数为，方差，由已知，数据的平均数，方差.故〖答案〗为：.16.直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是____________.〖答案〗〖解析〗如下图所示：将面、面沿着延展为一个平面，将面、面沿着延展一个平面，连接，此时，线段的长即为周长的最小值，则，，由于，，，则，延展后，则四边形为矩形，因为，，则为等腰直角三角形，所以，，延展后，则，由余弦定理可得.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.记、、为平面单位向量，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）由已知，且，所以，，则，所以，，因为，所以，.（2）由已知可得，且，所以，.18.在正方体中，棱长为3，是上底面的一个动点.（1）求三棱锥的体积；（2）当是上底面的中心时，求与平面ABCD所成角的余弦值.解：（1）如图所示，根据题意得：.（2）如图所示，过点做平面ABCD的垂线，垂足为G，易知G为AC中点，故为与平面ABCD所成线面角，又，所以与平面ABCD所成角的余弦值为：.19.为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，.（1）利用图中边长关系，证明：；（2）若，求.解：（1）在中，，，，则，在中，，，，则，在中，，，则，依题意，四边形是矩形，则，所以.（2）由及（1）知，，则，而为锐角，即有，，又是锐角，于是，所以.20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.（1）求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者