2022-2023学年云南省大理白族自治州高二下学期期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3云南省大理白族自治州2022-2023学年高二下学期期末质量监测数学试题1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.在试题卷上作答无效.无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答4，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，，∴，即.故选：A.2.已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（）A.0 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由于复数和对应的点分别为，，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为.故选：D.3.已知为单位向量，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.0〖答案〗C〖解析〗设与的夹角为，因为为单位向量，，即，即，即，所以，即.故选：C.4.某种应用于合成孔径成像设备中的多光束合成器件如图所示，利用该方法制作的光束合成器具有加工周期短，成本低等优势.其外形可近似为一个正六棱台，已知其上底面边长为1，下底面边长为2，高为，则其体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图上下底面的正六边形看作六个正三角形组合，故上底面面积为，下底面面积为.由棱台体积公式可得体积为.故选：C5.从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种，甲被选中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种，所以甲被选中的概率为，故选：B.6.已知函数，其中，若，对任意的都有，则下列说法错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗若，则，∴①，∵对任意的都有，∴，∴，得②，②－①得，即，∵，∴取，∴，故A正确；将代入②得，即，∵，取，∴，故B正确；∴，∴，故C正确；，故D错误.故选：D.7.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中点，连接，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴三棱锥外接球的球心为，半径，故三棱锥外接球的表面积．故选：B．8若，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设，，则在上为增函数，故，即.又在上为增函数，且，则有，即，故.设，则，故为减函数，，即，故，即.综合可得：．故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.记为等差数列的前项和，已知，则（）A. B.C D.〖答案〗BC〖解析〗设等差数列的公差为．∵，∴，且，解得：，，∴，．故选：BC．10.某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.直方图中的值为0.030B.估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分C.估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为90分D.估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分〖答案〗AD〖解析〗对A，，故，解得，故A正确；对B，该市普法知识竞赛成绩的平均数为，故B错误；对C，由表可得小于90分的人数频率，故竞赛成绩中位数不为90，故C错误；对D，由表可得估计该市普法知识竞赛成绩的众数为分，故D正确；故选：AD11.过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（）A.的准线方程是B.过的焦点的最短弦长为2C.直线过定点D.若直线过点，则的面积为24〖答案〗AC〖解析〗将代入中得，即，则抛物线为，所以的准线方程是，故A正确；抛物线的焦点为，可设过的焦点的直线为，联立，可得，设交点为，则，，所以，即过C的焦点的最短弦长为4，故B不正确；设，，直线为，联立，可得：，所以，，又，所以因为，，即，所以，化简整理得，即，得，所以直线为，所以直线过定点，故C正确；若直线过点，则，即，，所以，，直线为，即，所以点到直线的距离为，所以，故D不正确.故选：AC12.设定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A.的图象关于对称 B.的图象关于对称C.2为函数的周期 D.为偶函数〖答案〗ABC〖解析〗∵为偶函数，∴，∴的图象关于对称，故A正确；∵，∴，∴，∴，∴的图象关于对称，又所以即又，所以所以的图象关于对称，故B正确；由可得可得为奇函数，故D错误.因为，所以，（为常数），则，又因为，所以，所以，令，则，所以，所以，，，因为，且，所以，所以2为函数的周期，故C正确.故选：ABC.第II卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校高中三个年级共有学生2800名．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级学生的可能性是0.32．该校高三年级学生人数比高二年级学生多112人，现用分层随机抽样的方法在全校共抽取75名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为__________.〖答案〗27〖解析〗高二年级学生有人，则高三年级学生有人，根据分层随机抽样的方法可知，高三年级抽取的学生人数为．故〖答案〗为：27．14.已知直线与圆交于两点，则__________.〖答案〗〖解析〗圆化为，则圆心为，圆心到直线的距离为，所以.故〖答案〗为：.15.若二次函数的图象与曲线的图象有3个公共点，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由题意，得，即，令，由题意，直线与的图象有3个公共点，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当时，取极小值，当时，取极大值，当时，当时，作出的大致图象，如图，由图可知，当时，直线与的图象有3个公共点，则实数的取值范围是.故〖答案〗为：.16.已知椭圆，点是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗不妨设点在轴上方，设点的纵坐标为，点的纵坐标为，的内切圆的半径为，椭圆焦距为,取线段的中点，设点的纵坐标为，因为，所以，∴，即，∴三点共线，且，∴，∵，∴，,，∴，∴椭圆的离心率，故〖答案〗为：.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列中，.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）由可得,即，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以.（2）.18.在锐角中，内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.解：（1）由，整理得，所以，又，则.（2），因为为锐角三角形，所以，即，所以，即，所以的取值范围为.19.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求甲选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求至少有一名选手通过全部考核的概率.解：（1）设事件表示“甲选手能正确回答第轮问题”，由已知，设事件表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回答正确，而第三轮的问题回答错误，则；（2）设表示“甲选手通过全部考核”，则．设事件表示“乙选手能正确回答第轮问题”，由已知，设表示“乙选手通过全部考核”则．则至少有一名选手通过全部考核的概率为.20.如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，.（1）证明：；（2）设直线与平面所成角为，求的取值范围.解：（1）由题意可知，，又，所以，连接，如图所示：由，可知，是正三角形，又点为棱的中点，所以，平面，平面，，所以平面，平面，所以.（2）因为，，所以，又，，平面，所以平面，则直线与平面所成角为.在正中，，所以，在中，，当与重合时，取最大值1；当与重合时，取最小值，所以，的取值范围是.21.设分别是双曲线的左､右两焦点，过点的直线与的右支交于两点，曲线的虚轴的端点与其焦点的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）当时，求直线的方程.解：（1）由题意可得，，解得，，，所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，，则，因为直线过点，所以，即，由，，则，在中，由余弦定理得，所以，则，即直线的斜率为，所以，即，即直线的方程为.22.已知.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由已知，（）定义域为，，①当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增；②当时，令，解得（舍），，∴当时，，∴在区间上单调递减，当时，，∴在区间上单调递增，综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）当时，，由（1）知，在区间上单调递减.，不妨设，∴，，∴，∴，∴，设，，则，且，等价于，即在上单调递增，∴在上恒成立，∴在时恒成立，令，∵，，∴当，即时，的最大值为，∴，综上所述，实数的取值范围是.云南省大理白族自治州2022-2023学年高二下学期期末质量监测数学试题1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.在试题卷上作答无效.无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答4，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，，∴，即.故选：A.2.已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（）A.0 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由于复数和对应的点分别为，，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为.故选：D.3.已知为单位向量，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.0〖答案〗C〖解析〗设与的夹角为，因为为单位向量，，即，即，即，所以，即.故选：C.4.某种应用于合成孔径成像设备中的多光束合成器件如图所示，利用该方法制作的光束合成器具有加工周期短，成本低等优势.其外形可近似为一个正六棱台，已知其上底面边长为1，下底面边长为2，高为，则其体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图上下底面的正六边形看作六个正三角形组合，故上底面面积为，下底面面积为.由棱台体积公式可得体积为.故选：C5.从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种，甲被选中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种，所以甲被选中的概率为，故选：B.6.已知函数，其中，若，对任意的都有，则下列说法错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗若，则，∴①，∵对任意的都有，∴，∴，得②，②－①得，即，∵，∴取，∴，故A正确；将代入②得，即，∵，取，∴，故B正确；∴，∴，故C正确；，故D错误.故选：D.7.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中点，连接，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴三棱锥外接球的球心为，半径，故三棱锥外接球的表面积．故选：B．8若，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设，，则在上为增函数，故，即.又在上为增函数，且，则有，即，故.设，则，故为减函数，，即，故，即.综合可得：．故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.记为等差数列的前项和，已知，则（）A. B.C D.〖答案〗BC〖解析〗设等差数列的公差为．∵，∴，且，解得：，，∴，．故选：BC．10.某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.直方图中的值为0.030B.估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分C.估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为90分D.估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分〖答案〗AD〖解析〗对A，，故，解得，故A正确；对B，该市普法知识竞赛成绩的平均数为，故B错误；对C，由表可得小于90分的人数频率，故竞赛成绩中位数不为90，故C错误；对D，由表可得估计该市普法知识竞赛成绩的众数为分，故D正确；故选：AD11.过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（）A.的准线方程是B.过的焦点的最短弦长为2C.直线过定点D.若直线过点，则的面积为24〖答案〗AC〖解析〗将代入中得，即，则抛物线为，所以的准线方程是，故A正确；抛物线的焦点为，可设过的焦点的直线为，联立，可得，设交点为，则，，所以，即过C的焦点的最短弦长为4，故B不正确；设，，直线为，联立，可得：，所以，，又，所以因为，，即，所以，化简整理得，即，得，所以直线为，所以直线过定点，故C正确；若直线过点，则，即，，所以，，直线为，即，所以点到直线的距离为，所以，故D不正确.故选：AC12.设定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A.的图象关于对称 B.的图象关于对称C.2为函数的周期 D.为偶函数〖答案〗ABC〖解析〗∵为偶函数，∴，∴的图象关于对称，故A正确；∵，∴，∴，∴，∴的图象关于对称，又所以即又，所以所以的图象关于对称，故B正确；由可得可得为奇函数，故D错误.因为，所以，（为常数），则，又因为，所以，所以，令，则，所以，所以，，，因为，且，所以，所以2为函数的周期，故C正确.故选：ABC.第II卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校高中三个年级共有学生2800名．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级学生的可能性是0.32．该校高三年级学生人数比高二年级学生多112人，现用分层随机抽样的方法在全校共抽取75名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为__________.〖答案〗27〖解析〗高二年级学生有人，则高三年级学生有人，根据分层随机抽样的方法可知，高三年级抽取的学生人数为．故〖答案〗为：27．14.已知直线与圆交于两点，则__________.〖答案〗〖解析〗圆化为，则圆心为，圆心到直线的距离为，所以.故〖答案〗为：.15.若二次函数的图象与曲线的图象有3个公共点，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由题意，得，即，令，由题意，直线与的图象有3个公共点，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当时，取极小值，当时，取极大值，当时，当时，作出的大致图象，如图，由图可知，当时，直线与的图象有3个公共点，则实数的取值范围是.故〖答案〗为：.16.已知椭圆，点是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗不妨设点在轴上方，设点的纵坐标为，点的纵坐标为，的内切圆的半径为，椭圆焦距为,取线段的中点，设点的纵坐标为，因为，所以，∴，即，∴三点共线，且，∴，∵，∴，,，∴，∴椭圆的离心率，故〖答案〗为：.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列中，.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）由可得,即，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以.（2）.18.在锐角中，内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.解：（1）由，整理得，所以，又，则.（2），因为为锐角三角形，所以，即，所以，即，所以的取值范围为.19.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求甲选手进入第三