2022-2023学年四川省宜宾市高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3四川省宜宾市2022-2023学年高二下学期期末数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在试卷上的无效.3．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.1.已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由复数满足，可得，所以.故选：B.2.已知命题，，则命题为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题：“，”则命题为“，”.故选：A.3.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：C.4.下图是我国2012-2018年眼镜及其零件出口金额柱状图及同比增速折线图，则下列说法正确的是（）A.2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额逐年增加B.2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为16.41C.2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速逐年减少D.2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年〖答案〗D〖解析〗根据出口金额柱状图及同比增速折线图，可看出我国眼镜及其零件出口金额在2016年出现减少，选项A错误；2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为，选项B错误；2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速先减少，再增加，后又减少，选项C错误；从图中可知，2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年，为，选项D正确.故选：D5.已知为函数图象上一点，则曲线在点处切线斜率的最小值为（）A.1 B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗函数定义域为，，当且仅当，即时取等号，所以曲线在点处切线斜率的最小值为.

故选：C6.数据与有较强的线性相关关系，通过计算得到关于的线性回归方程为，经过分析、计算得，则样本点的残差为（）A. B. C. D.64.5〖答案〗A〖解析〗由题意可得，解得，所以，当时，，所以样本点的残差为.故选：A.7.设随机变量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为随机变量，则，又因为，则.故选：D.8.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（）（附：若，则，，）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，则，，则，因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为个.故选：A.9.函数的部分图像大致是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为，因为，所以为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以排除BC，因为，所以排除D，故选：A10.设，是椭圆上的两个点，且为坐标原点)，则的最大值和最小值的积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为，设，则，当时，最大值为，则的最大值为；当时，的小值为，则的最小值为；所以的最大值和最小值的乘积为.故选：D11.某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，与相邻，则将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.故选：C.12.已知，，，则，，的大关系是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由条件知，，设，，则，所以函数在上单调递增，于是，即，所以，设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当时取等号，所以，得到，所以．故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，的系数为__________．〖答案〗10〖解析〗展开式的第项为，令，则.故〖答案〗为：1014.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名志愿者将分别安排到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每个场地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一个场地服务，则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为__________．〖答案〗〖解析〗根据题意，先将4人分为三组，共有种分法，在将三组分段三个不同的场地，共有种分法，由分步计数原理得，共有种不同的情况，又由甲乙两名志愿者在同一场地服务，共有种情况，则甲乙两面志愿者在同一场地服务的概率为.故〖答案〗为：15.天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2023年为癸卯年，则3023年为________年．〖答案〗癸未〖解析〗将天干按顺序依次排列，十个一组；将地支也一样排列十二个一组，由此可知天干地支纪年法以为周期.不妨给十天干与十二地支依次标号：将甲子年记为，乙丑年记为则2023年可以记为，而，可知对应天干还是第10号；可知对应地支为第8号，则3023年为癸未年.故〖答案〗为：癸未.16.已知，且对都有成立，则实数的范围为__________．〖答案〗〖解析〗由题意，函数，要使得，即，即对恒成立，即对恒成立，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递增，所以函数在单增，在单减，所以，即，当且仅当时，等号成立，令，因为在单增，且，故使得，即，即，即，所以，即实数的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数（1）求的极值；（2）过坐标原点作曲线的切线，求切点坐标.解：（1）因为，所以则的单调增区间为，的单调减区间为，所以，；（2）设切点坐标为则①，由得：则由，，得：则.②，由①②得，即，即，若，此时，则该方程无实数根，若，解得，综上，代入得，所以切点坐标为18.如图，在四棱锥中，底面是一个边长为的菱形，且，侧面是正三角形.（1）求证：；（2）若平面平面，求平面与平面所成角的正弦值.解：（1）取的中点，连接、、.底面是一个边长为的菱形，且，则，是正三角形，为的中点，，是正三角形，为的中点，，，、平面，平面，平面，.（2）由（1）知，，当平面平面时，平面平面，平面，平面，又，以为坐标原点，、、的正方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系.则、、、、、，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，则，令，可得，所以，，则，平面与平面所成角的正弦值为.19.四川2022年启动新高考，2025年实行首届新高考，新高考采用“3+1+2”模式.“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目，不分文理科；“1”为在物理、历史2门选考科目中自主选择1门；“2”为从思想政治、地理、化学、生物4门选考科目中自主选择2门.某校2022级高一学生选科情况如下表：选科组合物化生物化政物化地史政地史政生史化政总计男1808040903020440女15070601204020460总计3301501002107040900选择物理不选物理总计男女总计（1）完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关”？（2）在新高考中，数学学科有如下变化：数学增加了多选题，选择题部分的结构为：第1至第8题为单选题，单选每题选对得5分，选错或不选得0分；第9至第12题为多选题，每道多选题共有4个选项，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.若在某次数学考试中，第11题正确选项为ABD，第12题正确选项为CD.某考生因找不到第11题、12题的解题思路和方法，只能对这2道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.此考生针对11、12题两道有难度的多选题，为避免得零分，采取了保守的方案，即每题均随机选取一项，求该考生11题和12题得分之和的数学期望.附表及公式：0.150.10.050.012.0722.7063.8416.635解：（1）依题意可得的列联表选择物理不选择物理合计男300140440女280180合计580320900可得，所以不能有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关”（2）根据题意，可得得分的随机变量的可能取值为0，2，4，则，，，所以随机变量的的分布列为：024则随机变量的期望为.20.已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，左右顶点分别为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为．（1）求的方程；（2）过点的直线与椭圆交于（不同于）两点，问：是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，，由消去x并整理得，则，，因为直线的斜率，直线的斜率，而，因此，即直线和的斜率之比为定值，于是，，所以存在，使得.21.已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）记，若与的图像有两个交点，记交点的横坐标分别为求证：.解：（1）由题得，因为，令，①当，即时，当时；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，，所以函数在上单调递减；③当，即时，当时，；当时，；函数在单调递减，在单调递增；综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由题得，因为由是函数若与图像的两个交点的横坐标，所以是函数的两个零点，故因为要证，即证只需证因为令则证明令对是恒成立，所以在单调递减，，即恒成立，故成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）已知点，曲线与曲线交于，两点，求的值．解：（1）由题可知：，，所以的普通方程为又，即直角坐标方程为：（2）由（1）可知，的参数方程为：，代入中有：，即，即，所以[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）已知函数的最小值为，且，，都是正数，，证明：.解：（1）当时，，解得；当时，则有，解得；当时，，解得.综上所述，不等式的解集为.（2）由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故，所以，又因为，，均为正数，所以，当且仅当时，等号成立，故.四川省宜宾市2022-2023学年高二下学期期末数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在试卷上的无效.3．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.1.已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由复数满足，可得，所以.故选：B.2.已知命题，，则命题为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题：“，”则命题为“，”.故选：A.3.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：C.4.下图是我国2012-2018年眼镜及其零件出口金额柱状图及同比增速折线图，则下列说法正确的是（）A.2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额逐年增加B.2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为16.41C.2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速逐年减少D.2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年〖答案〗D〖解析〗根据出口金额柱状图及同比增速折线图，可看出我国眼镜及其零件出口金额在2016年出现减少，选项A错误；2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为，选项B错误；2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速先减少，再增加，后又减少，选项C错误；从图中可知，2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年，为，选项D正确.故选：D5.已知为函数图象上一点，则曲线在点处切线斜率的最小值为（）A.1 B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗函数定义域为，，当且仅当，即时取等号，所以曲线在点处切线斜率的最小值为.

故选：C6.数据与有较强的线性相关关系，通过计算得到关于的线性回归方程为，经过分析、计算得，则样本点的残差为（）A. B. C. D.64.5〖答案〗A〖解析〗由题意可得，解得，所以，当时，，所以样本点的残差为.故选：A.7.设随机变量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为随机变量，则，又因为，则.故选：D.8.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（）（附：若，则，，）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，则，，则，因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为个.故选：A.9.函数的部分图像大致是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为，因为，所以为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以排除BC，因为，所以排除D，故选：A10.设，是椭圆上的两个点，且为坐标原点)，则的最大值和最小值的积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为，设，则，当时，最大值为，则的最大值为；当时，的小值为，则的最小值为；所以的最大值和最小值的乘积为.故选：D11.某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，与相邻，则将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.故选：C.12.已知，，，则，，的大关系是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由条件知，，设，，则，所以函数在上单调递增，于是，即，所以，设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当时取等号，所以，得到，所以．故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，的系数为__________．〖答案〗10〖解析〗展开式的第项为，令，则.故〖答案〗为：1014.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名志愿者将分别安排到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每个场地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一个场地服务，则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为__________．〖答案〗〖解析〗根据题意，先将4人分为三组，共有种分法，在将三组分段三个不同的场地，共有种分法，由分步计数原理得，共有种不同的情况，又由甲乙两名志愿者在同一场地服务，共有种情况，则甲乙两面志愿者在同一场地服务的概率为.故〖答案〗为：15.天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2023年为癸卯年，则3023年为________年．〖答案〗癸未〖解析〗将天干按顺序依次排列，十个一组；将地支也一样排列十二个一组，由此可知天干地支纪年法以为周期.不妨给十天干与十二地支依次标号：将甲子年记为，乙丑年记为则2023年可以记为，而，可知对应天干还是第10号；可知对应地支为第8号，则3023年为癸未年.故〖答案〗为：癸未.16.已知，且对都有成立，则实数的范围为__________．〖答案〗〖解析〗由题意，函数，要使得，即，即对恒成立，即对恒成立，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递增，所以函数在单增，在单减，所以，即，当且仅当时，等号成立，令，因为在单增，且，故使得，即，即，即，所以，即实数的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数（1）求的极值；（2）过坐标原点作曲线的切线，求切点坐标.解：（1）因为，所以则的单调增区间为，的单调减区间为，所以，；（2）设切点坐标为则①，由得：则由，，得：则.②，由①②得，即，即，若，此时，则该方程无实数根，若，解得，综上，代入得，所以切点坐标为18.如图，在四棱锥中，底面是一个边长为的菱形，且，侧面是正三角形.（1）求证：；（2）若平面平面，求平面与平面所成角的正弦值.解：（1）取的中点，连接、、.底面是一个边长为的菱形，且，则，是正三角形，为的中点，，是正三角形，为的中点，，，、平面，平面，平面，.（2）由（1）知，，当平面平面时，平面平面，平面，平面，又，以为坐标原点，、、的正方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系.则、、、、、，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，则，令，可得，所以，，则，平面与平面所成角的正弦值为.19.四川2022年启动新高考，2025年实行首届新高考，新高考采用“3+1+2”模式.“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目，不分文理科；“1”为在物理、历史2门选考科目中自主选择1门；“2”为从思想政治、地理、化学、生物4门选考科目中自主选择2门.某校2022级高一学生选科情况如下表：选科组合物化生物化政物化地史政地史政生史化政总计男1808040903020440女15070601204020460总计3301501002107040900选择物理不选物理总计男女总计（1）完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关”？（2）在新高考中，数学学科有如下变化：数学增加了多选题，选择题部分的结构为：第1至第8题为单选题，单选每题选对得5分，选错或不选得0分；第9至第12题为多选题，每道多选题共有4个选项，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.若在某次数学考试中，第11题正确选项为ABD，第12题正确选项为CD.某考生因找不到第11题、12题的解题思路和方法，只能对这2道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.此考生针对11、12题两道有难度的多选题，为避免得零分，采取了保守的方案，即每题均随机选取一项，求该考生11题和12题得分之和的数学期望.附表及公式：0.150.10.050.012.0722.7063.8416.635解：（1）依题意可得的列联表选择物理不选择物理合计男300140440女280180合计580320900可得，所以不能有99％的把握认