北师大版八年级数学上册专题4.1比例线段【九大题型】同步练习(学生版+解析)

专题4.1比例线段【九大题型】【北师大版】 TOC\o"1-3"\h\u【题型1成比例线段的概念辨析】 1【题型2成比例线段与比例尺的结合】 2【题型3成比例线段的实际应用】 2【题型4利用比例的性质求字母的值】 4【题型5利用比例的性质求代数式的值】 4【题型6利用比例的性质进行证明】 4【题型7比例的性质在阅读理解中的运用】 5【题型8黄金分割的概念辨析】 7【题型9黄金分割的实际应用】 7【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1成比例线段的概念辨析】【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab=2，且a+2b=28．(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为.【变式1-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab=2，且(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【题型2成比例线段与比例尺的结合】【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行千米．【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是1：A．1350千米 B．135千米 C．13.5千米 D．1.35千米【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是厘米．【题型3成比例线段的实际应用】【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（）文学社篮球社动漫社上学期345下学期432A．文学社增加，篮球社不变B．文学社不变，篮球社不变C．文学社增加，篮球社减少D．文学社不变，篮球社减少【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（

）mA．−1−5 B．−1±5 C．5+1【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB−CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长.【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型4利用比例的性质求字母的值】【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知x3=y5=z6【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=x【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知y+zx=x+zy【题型5利用比例的性质求代数式的值】【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若a+bc=b【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若ab=cd=A．13 B．1 C．1.5 【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式A=ab+c，B=b①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B=2②若A=B=C，则A+B+C=3③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则④若a<b<c，则A<B<C；其中正确的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若x3=y（2）若a+23=b4=【题型6利用比例的性质进行证明】【例6】（2023春·九年级单元测试）已知a:b=c:d，且b≠nd，求证：ab【变式6-1】（2023春·浙江湖州·九年级统考阶段练习）已知a(1)求：a(2)求证：a【变式6-2】（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）已知ax=by=cz，且1x【题型7比例的性质在阅读理解中的运用】【例7】（2023春·重庆大渡口·九年级统考期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x，y，z满足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x−y−z的值”时，采用了引入参数法解；设y+zxy+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，将以上三个等式相加，得2x+k+z∵x，y，z都为正数，∴k=2，即y+zx∴2x−y−z=0.仔细阅读上述材料，解决下面的问题：（1）若正数x，y，z满足x2y+z=y（2）已知a+ba−b=b+c2b−c=c+a3c−a【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b解：设xa−b则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+x【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【变式7-3】（2023春·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）△ABC与△ABD是以AB为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边△ABC与△ABD，连结第三个顶点DC并延长交AB于E，则S△ABC【问题解决】如图（2），已知在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F．（1）找出以BF为公共边的所有“共边三角形”，若△ABC的面积为45cm（2）求证：AF=1（3）若将“D为BC的中点”条件，改为“BD:DC=2:3”，则AF:CF=______．【知识点3黄金分割】若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型8黄金分割的概念辨析】【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）我们把宽与长的比等于5−12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB<BC）的边BC上取一点E，使得CE=AB，连接AE，则BEABA．22 B．5−12 C．3−【变式8-1】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，下列选项错误的是（

）A．BCAB≈0.618 C．BC2=AB⋅AC【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知线段AB=2，若C，D是AB的两个黄金分割点，则CD长为．【变式8-3】（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，线段AB=1，点C是线段AB的黄金分割点AC>BC，C1是线段AC的黄金分割点C1AC1>C1【题型9黄金分割的实际应用】【例9】（2023春·全国·九年级统考期中）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿（精确到专题4.1比例线段【九大题型】【北师大版】 TOC\o"1-3"\h\u【题型1成比例线段的概念辨析】 1【题型2成比例线段与比例尺的结合】 3【题型3成比例线段的实际应用】 5【题型4利用比例的性质求字母的值】 8【题型5利用比例的性质求代数式的值】 10【题型6利用比例的性质进行证明】 13【题型7比例的性质在阅读理解中的运用】 15【题型8黄金分割的概念辨析】 19【题型9黄金分割的实际应用】 22【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1成比例线段的概念辨析】【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab=2，且(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】(1)a=14,b=7(2)7【分析】（1）根据ab=2可得a=2b，再代入（2）根据比例中项的定义求解即可得．【详解】（1）解：∵a∴a=2b，∵a+2b=28，∴2b+2b=28，解得b=7，则a=2×7=14．（2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2=ab解得x=72或x=−7则x的值为72【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为.【答案】3【分析】根据题意得x:2=6:(x+1)，根据比例的基本性质即可求解．【详解】解：根据题意得x:2=6:(x+1)，即x(x+1)=2×6，解得x1=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．【变式1-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab=2，且(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】(1)a=14,b=7(2)7【分析】（1）根据ab=2可得a=2b，再代入（2）根据比例中项的定义求解即可得．【详解】（1）解：∵a∴a=2b，∵a+2b=28，∴2b+2b=28，解得b=7，则a=2×7=14．（2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2=ab解得x=72或x=−7则x的值为72【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【答案】A【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得bc=a【详解】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2∴∵a:b=10:15，∴bc【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．【题型2成比例线段与比例尺的结合】【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行千米．【答案】900【分析】由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达共飞了2小时，根据“比例尺是1：90000000”，又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案．【详解】解：甲乙两地的实际距离：2÷1180000000cm1800÷2=900（千米）；答：这架飞机每小时行900千米．故答案为：900．【点睛】本题考查比例线段，正确根据比例进行计算是解题关键．【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是1：A．1350千米 B．135千米 C．13.5千米 D．1.35千米【答案】B【分析】根据比例尺定义代入计算，最后化单位即可得到答案；【详解】解：由题意可得，实际距离为：13.5×1000000=13500000（厘米），∴13500000（厘米）=135（千米），故选B．【点睛】本题考查比例尺的运用，解题的关键是熟练掌握比例尺的定义及注意单位化简．【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为【答案】1：50000【分析】根据比例尺的定义，用图上距离比实际距离即可．【详解】4.8：240000=1：50000，即这张平面地图的比例尺为1：50000．故答案为1：50000．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．解决本题的关键是记住比例尺的定义．【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是厘米．【答案】6【分析】根据比例尺的定义，可得实际距离×比例尺=图上距离，依此列式计算即可．【详解】相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是2400000×1400000=6(故答案为:6．【点睛】本题考查了比例线段，比例尺的定义，掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键，注意单位之间的换算问题．【题型3成比例线段的实际应用】【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（）文学社篮球社动漫社上学期345下学期432A．文学社增加，篮球社不变B．文学社不变，篮球社不变C．文学社增加，篮球社减少D．文学社不变，篮球社减少【答案】D【分析】设该班上、下学期的学生人数都为x人，然后按照该班学生上、下学期各社团的人数比例计算出该班上、下学期的文学社的学生人数，上、下学期的篮球社的学生人数，再比较大小即可．【详解】解：设该班上、下学期的学生人数都为x人，则该班上学期的文学社的学生人数＝33+4+5x＝14x，上学期的篮球社的学生人数＝43+4+5x＝该班下学期的文学社的学生人数＝44+3+2x＝49x，下学期的篮球社的学生人数＝34+3+2x＝故上学期、下学期文学社团的学生人数增加了，篮球社团的学生人数不变．【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？【答案】45cm【分析】根据题意知道，一本书的厚度一定，书叠起的高度与书的本数成正比例，由此列比例解答．【详解】解：设书的高度是x厘米，25：10=x：18x=45所以，书的高度是45cm．【点睛】解答此题的关键是，先判断出哪两种相关联的量成何比例，再列出比例解答即可．【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（

）mA．−1−5 B．−1±5 C．5+1【答案】D【分析】设下部高为xm【详解】解：设下部的高度为xm，则上部高度是2−x∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴2−xx解得x=5−1或经检验，x=5∴x=5故选：D．【点睛】本题考查比例的性质及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB−CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长.【答案】AE的长为1或4或52【分析】根据题意设未知数，分AEAB=EF【详解】解：设AE=x(0<x<5)，则DE=5−x.应分两种情况进行讨论：⑴当AEAB即x2=25−x时，解得⑵当AEAB=DEEF，即综上所述，AE的长为1或4或52【点睛】此题考查成比例的线段，矩形的性质，解题关键在于掌握比例式两边的关系以及分情况讨论.【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型4利用比例的性质求字母的值】【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=【答案】1或−2【分析】根据题意得出a+b−c=ck,a−b+c=bk,−a+b+c=ak，三式相加得出a+b+c=a+b+c【详解】解：∵a+b−cc∴a+b−c=ck,a−b+c=bk,−a+b+c=ak∴a+b−c+a−b+c−a+b+c=即a+b+c=a+b+c当a+b+c≠0时，k=1，当a+b+c=0时，k=a+b−c故答案为：1或−2．【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键．【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知x3=y5=z6【答案】x=6，y=10【分析】设x3=y5=z6=k，则x=3k，y=5k，z=6k，由【详解】设x3=y5=z6=k，则x=3k∵3y=2z+6∴3×5k=2×6k+6解得：k=2∴x=3×2=6，y=5×2=10即x、y的值分别为6、10【点睛】本题考查了比例的性质，若几个比相等，即ab=cd=ef，常常设其比值为k，则有a=kb，c【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=x【答案】(1)a=9(2)x=6【分析】（1）设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，（2）由题意可直接得出9x=x【详解】（1）由题意可设a3=b∵a+b+c=36，∴3k+4k+5k=36，解得：k=3，∴a=9，（2）∵ax∴9x整理，得：x2解得：x=63【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知y+zx=x+zy【答案】1或4．【分析】由y+zx=x+z【详解】解：∵y+zx∴y+z=kx,x+z=ky,x+y=kz，∴2x+2y+2z=2x+y+z当x+y+z≠0时，∴k=2，则k2当x+y+z=0时，x+y=−z，∴k=x+yz=故答案为：1或4．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“利用比例的基本性质进行求值”是解本题的关键．【题型5利用比例的性质求代数式的值】【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若a+bc=b【答案】-1或8【分析】设a+bc=b【详解】设a+∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），∴（a+b+c）(2-k)=0，当a+b+c=0时，即a+b=-c，∴k=a+bc=−c∴(a+b)(b+c)(c+当a+b+c≠0时，则2-k=0，解得：k=2，∴(a+b)(b+c)(c+故答案为：-1或8【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键．【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若ab=cd=A．13 B．1 C．1.5 【答案】D【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【详解】解：由ab∴b=3a，∴3a−2c+e【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式A=ab+c，B=b①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B=2②若A=B=C，则A+B+C=3③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则④若a<b<c，则A<B<C；其中正确的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①a:b:c=1:1:2，设a=t,b=t,c=2t，代入A、B、C，进行计算即可判断；②根据A=B=C得A=ab+c=ba+c③当a=b=2时，代入A、B、C，可得1A+1B+1C④根据a，b，c为正整数，且a<b<c得b+c>a+c>a+b，即可判断；【详解】解：①a:b:c=1:1:2，设a=t,b=t,c=2t，∴A=t即A×C+B=1故①正确；②∵A=B=C，∴A=a若a+b+c=0，即b=c=−a，则A=a若a+b+c≠0，则A=a+b+c即A的值为−1或12故②不正确；③当a=c=2时，A=2b+2，B=b∴1A∵b是方程x2∴b2∴b+4∴1A故③不正确；④∵a，b，c为正整数，且a<b<c，∴b+c>a+c>a+b，∴A<B<C，故④正确；综上，①④正确，正确的个数是2个，【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，比例的性质，解题的关键是掌握这些知识点，并正确计算．【变式5-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若x3=y（2）若a+23=b4=【答案】（1）5；（2）a:b:c=4:8:7【分析】（1）先设x3=y5=（2）先设a+23=b4=c+56【详解】解：（1）设x3∴x=3k,y=5k,z=7k，∴x−y+zx+y−z（2）设a+23∴a=3k−2,b=4k,c=6k−5，∴2(3k−2)−4k+3(6k−5)=21，解得k=2，∴a=6−2=4,b=8,c=7，∴a:b:c=4:8:7．【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参数，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值．【题型6利用比例的性质进行证明】【例6】（2023春·九年级单元测试）已知a:b=c:d，且b≠nd，求证：ab【答案】见解析【分析】由a:b=c:d得到ad=bc，则利用等式的基本性质得到adn=bcn，ab−adn=ab−bcn，则ab−nd【详解】解：∵a:b=c:d，∴ad=bc，∴adn=bcn，∴ab−adn=ab−bcn，∴ab−nd∴a【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．【变式6-1】（2023春·浙江湖州·九年级统考阶段练习）已知a(1)求：a(2)求证：a【答案】(1)14【分析】(1)根据a与b的比值，设a=2k，b=3k，再将a，b的值代入代数式化简可求解.(2)由(1)中的a=2k，b=3k，分别代入等式的左右两边，即可得证.【详解】(1)解：由ab∴aa(2)证明：由(1)得，aa+2bb∴a【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，设比例参数是解题的关键.【变式6-2】（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.【答案】见解析【分析】设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，证明k=m即可证得．【详解】证明：设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，则b=ak，则k=ba设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，解得：m=dc∵a，b，c，d四个数成比例，∴ab=c∴ba=d∴k=m，则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及比例线段的定义，解题关键是理解证明的思路．【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）已知ax=by=cz，且1x【答案】见解析【分析】根据已知设ax=by=cz=k，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出【详解】设ax=by=cz=k，从而a=kx，b=k于是a+b+c=k（1x+1又因为1x+1a3【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键【题型7比例的性质在阅读理解中的运用】【例7】（2023春·重庆大渡口·九年级统考期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x，y，z满足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x−y−z的值”时，采用了引入参数法解；设y+zxy+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，将以上三个等式相加，得2x+k+z∵x，y，z都为正数，∴k=2，即y+zx∴2x−y−z=0.仔细阅读上述材料，解决下面的问题：（1）若正数x，y，z满足x2y+z=y（2）已知a+ba−b=b+c2b−c=c+a3c−a【答案】（1）k=13【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足x2y+z∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），∴x+y+z=3k（x+y+z），∵x、y、z均为正数，∴k=13（2）证明：设a+ba−b则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，∴8a+9b+5c=0．故答案为（1）k=13【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b解：设xa−b则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+x【答案】−1【分析】设y+zx【详解】解：设y+zx则y+z=xk，z+x=yk，x+y=zk，∴2（x+y+z）=k（x+y+z），解得，k=2，∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，解得，x=y=z，则x−y−zx+y+z【点睛】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【答案】（1）85【分析】（1）根据a+bb（2）先在等式两边同时减去1再结合a+bb【详解】（1）∵ab∴a+bb（2）∵ab∴ab∴a−bb又∵a+bb∴a−bb∴a−ba+b【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．【变式7-3】（2023春·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）△ABC与△ABD是以AB为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边△ABC与△ABD，连结第三个顶点DC并延长交AB于E，则S△ABC【问题解决】如图（2），已知在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F．（1）找出以BF为公共边的所有“共边三角形”，若△ABC的面积为45cm（2）求证：AF=1（3）若将“D为BC的中点”条件，改为“BD:DC=2:3”，则AF:CF=______．【答案】（1）△ABF、△DBF、△CBF，S△DBF=S△ABF=15【分析】（1）根据“共边三角形”的概念可求解，则有S△DBFS△CBF（2）由（1）及题意可进行求解；（3）由题意易得S△DBFS△CBF【详解】（1）解：由题意得：以BF为公共边的“共边三角形”为：△ABF、△DBF、△CBF，由“共边三角形”的性质：S△DBFS△CBF∴S△ABF∵△ABC的面积为45cm∴S△DBF∴S△CBF（2）证明：由“共边三角形”的性质：S即：1530∴AFAC∴AF=1（3）解：由“共边三角形”的性质：S△DBFS△CBF∴S△ABF∵S△ABF∴AFCF故答案为25【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据“共边三角形”的概念找到成比例的线段，然后进行解决问题即可．【知识点3黄金分割】若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型8黄金分割的概念辨析】【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）我们把宽与长的比等于5−12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB<BC）的边BC上取一点E，使得CE=AB，连接AE，则BEABA．22 B．5−12 C．3−【答案】B【分析】设BC=a，根据黄金矩形的概念求出AB，结合图形计算，得到答案．【详解】解：设BC=a，∵矩形ABCD为黄金矩形，∴AB=5−12∴BE=a-5−12a=3−∴⋅BE【点睛】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为5−1【变式8-1】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，下列选项错误的是（

）A．BCAB≈0.618 C．BC2=AB⋅AC【答案】B【分析】根据黄金分割的定义得BCAB【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，∴BC∴BC2=AB⋅AC∴A、C、D选项不符合题意，【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值为5−12，近似值为【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知线段AB=2，若C，D是AB的两个黄金分割点，则CD长为．【答案】2【分析】