【幂级数和函数的应用探究9600字（论文）】

摘要：幂级数和函数问题是数学分析课程中的重要内容，利用函数这一数学工具可以有效解决数学中的很多问题。介绍了幂级数和函数以及求和函数的方法，对幂级数和函数的应用展开了讨论。应用幂级数的和函数解决问题，必须细心分析，选择合适的幂级数是解决这类问题的核心。和函数可以通过逐项积分、逐项微分等方法求解，计算过程中要灵活变形，具体问题具体分析.掌握幂级数的和函数的应用方法，对提高问题的解决与处理能力有重要的帮助。关键词：幂级数；函数；应用1前言1.1研究背景幂级数论起源于18世纪，是数学众多分支学科中的一门学科。欧拉以及拉朗贝尔是先驱者，为建立幂级数论做了很多方面的工作。1774年，欧拉对幂级数的积分具有的一些性质进行了考量，同时发表于论文中。达朗贝尔，法国的一位数学家，在他所著的与流体力学相关的文章中提及了上述性质，比欧拉还要更早一些。所以，人们将这两个方程命名为了“达朗贝尔一欧拉方程”。19世纪，黎曼以及柯西对流体力学展开分析时，在以上方程的基础上进行了更加深入地探讨，因而该方程也被称之为“柯西一黎曼条件”。从这时候开始，幂级数就是针对基于复数域符合上述条件的构建的一类解析函数展开探究。19世纪，幂级数论实现了全面发展，就好比微积分在18世纪的数学中占据了统治地位，幂级数同样在19世纪的数学中占据了统计地位。黎曼、柯西以及魏尔斯特拉斯等人在复变量函数论的研究上应用到了很多技术，对于这门学科来说，正式特征他们也已经提出了。那时的数学家普遍认为，幂级数论这个分支是最为丰饶的，而且将其视同为当时的数学享受，克莱因也指出，在抽象科学中，这个理论是其中最为和谐的一个理论。20世纪初期，历经较长时间的发展，幂级数论的理论越发完善，技巧也更加精湛，作为数学的组成部分之一起到了至关重要的作用。它对部分学科如数论、微分方程以及概率论等的发展起到了积极地推动作用，诸多现代理论均基于当时的数学研究才得以发展，幂级数论也会被用作有力工具之一让现实生活中面临地复杂计算问题得到了很好的解决，如计算稳定场等等，也已普遍用于航空力学以及流体力学等多个领域，众多理工科专业都将该理论的基础内容列入到了必修课程的范畴。许多数学家也进行了非常多的研究工作，如法国的阿达玛、瑞典的米塔-列夫勒等，幂级数论也涉及到了越来越多的研究领域，他们在发展、拓展并且壮大这门学科上所作的贡献是非常之大的。所以，本文围绕着幂级数理论展开，对其思想方法的具体演变进程展开分析，不单单理论价值比较大，现实意义也是极为深远的。幂级数在研究函数方面是一个很有力的工具。作为函数级数中的一种，幂级数的形式比较简单，应用也极为广泛，基础初等函数在一定范围内都可展开成幂级。当前对幂级数和函数研究在不断发展，幂级数的性质日益完善。在数学分析中，幂级数是至关重要的内容之一，且从复变函数论来看，从理论与应用这两个层面来看，函数幂级数展开均起到了重要作用，而从复变函数来看，也被当作了一种重要工具。运用幂级数和函数的性质进行分析，可以解决很多数学难题。用幂级数表示的力学方程可以解决很多工程力学问题，在应用内容上非常丰富。目前幂级数对其他领域，如非线性椭圆型方程、循环码等，的研究含不够完善，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系。1.2研究意义当前，对幂级数和函数的研究已经较为全面，但在其应用方面的总结和研究还有一定的缺陷和不足，但这个内容对幂级数和函数能否在实际工作和生活中得到发展至关重要，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系，为一线工作人员提供理论的参考。本研究是基于幂级数和函数的理论性质的概述和应用相关文献的总结，这对在线性递归数列、三角级数求和以及组合问题等多个方面对函数幂级数的应用展开探讨起到了极大地帮助，为以后的研究提供参考依据。1.3研究现状函数和幂函数的应用在数学领域的研究不断深化，对数学教学中的研究也在不断发展。在微积分学中，无穷级数是其中的一个重要部分，数学理论研究也好，工程实际应用也罢，都起到了非常重要的作用。作为与无穷级数相关的最为常用的函数项级数之一，从大学数学教学来看，对幂级数问题展开分析是有着极为深远的现实意义的。在多个实例的基础上，方艳等人[1]总结了求幂级数和函数的具体思路，并且对详细解题过程进行了列示。在对函数进行表示时，幂级数通过的是幂函数的和也就是多项式，作为函数项级数中的一种，具有形式简单的优点，应用也极为广泛。在范围一定的情况下，对基本初等函数进行展开是能够得到幂级数的。幂级数是符合四则运算法则的，提供了加减乘除这四种运算，无论是积分还是求导都极为方便，所以，在对函数性质进行探讨的过程中，幂级数无疑是一种有力工具，理论证明也好，工程计算也罢，应用都是极为广泛的。陈芳芳[2]以函数的幂级数展开式为中心，着重对其在欧拉公式证明、近似计算、电场计算、微分方程求解以及累积分布函数计算等多个方面的应用进行了介绍，目的是深化知识的理解。对任何概率分布参数的估计都是至关重要的，因为不精确和有偏的估计可能会产生误导。Muhammad等人[3]研究了一种柔性幂函数分布，提出了两种新的参数加权方法，即概率加权矩法和广义概率加权法。ZakaA等人[4]研究了两参数幂函数分布的极大似然估计、矩估计和百分位估计的修正。用蒙特卡罗模拟方法表明了估计量的抽样行为。对于某些参数值组合，在偏差、均方误差和总偏差方面，一些修正的估计量比传统的极大似然估计量、矩估计量和百分位数估计量更好。同时，将函数和幂级数应用到科研结果的验证，同时它们的应用已经发展到了各行各业，不在局限于理论的研究。密码学是近年来发展最为迅速的非交换密码学，其主要原因是对量子密码分析的抵制。SakalauskasE等人[5]提出了一种基于矩阵幂函数的非对称密码算法。Akimenko等人[6]研究了两种具有非线性死亡率和多循环繁殖条件的年龄结构种群动力学模型的行波解的显式递归算法和数值性质。递归公式使在研究中能够建立精确的数值算法，并通过一组参数化代数函数对种群动态的不同场景进行大量模拟。从复变函数来看，主要通过下述方法来对解析函数展开了探究：1、积分表示法，提出者为Cauchy；2、幂级数方法，提出者为Weierstrass。在对解析函数进行分析时，幂级数方法是其中的重要方法之一，在复变函数论中起到了重要作用。金帅等人[7]以单复变解析函数为对象，把幂级数展开式推广到了多复变的乘积域，也变成了对多复变全纯函数展开分析的重要工具之一。Zhou等人[8]对土壤异养呼吸的动态变化及其与气候因子的经验关系进行研究，用三种模型，即对数线性模型、指数模型和幂模型，进行拟合和评价。结果表明，幂函数模型比指数衰减模型更准确地描述了亚热带森林矿质土壤有机碳的分解动态。Rajat等人[9]在研究含水层物质颗粒粒度分布对其渗透性的影响时建立了幂函数模型，所建立的幂函数模型为估算井的产量、土工结构下的渗流和合理精度的过滤器设计提供了一个有效的工具。Goans[10]利用伤口保留度的幂函数描述，不同伤口类别在对数尺度上呈直线，不同坡度对应不同保留度类别。2相关理论2.1幂级数具有下列形式的函数项级数称为在点处的幂级数。称为在点处的幂级数。若对幂级数中的每一个，都有，则称为幂级数的和函数。简单来说，对于幂级数来说，和函数是通过若干个幂函数相加而得到的。所以，以让幂函数存在和函数为前提，自变量的取值范围就可以叫做幂级数的收敛区间或者是收敛域。其中，收敛域的二分之一就可以叫做收敛半径[11]。2.2幂级数和函数由幂级数可知，可以把幂级数的部分和记为：且部分和的极限就是和函数。即涉幂函数的和函数为，收连半径为，则：(1)连续性对于一个幂级数而言，若其和函数为，那么属于收敛区间的情况下，该函数是具有连续性的；也就是收敛区间中的所有点都是存在极限值的，和函数值是相等的。即。(2)可导性对于一个幂级数而言，若其和函数为，那么属于收敛区间的情况下，该函数是存在连续的导数的，能够逐项求导，也就是对于任取的一个，有，通过逐项求导可以得到一个幂级数，与原级数一样，它们的收敛半径是一致的；(3)可积性对于一个幂级数而言，若其和函数为，那么属于收敛区间的情况下，该函数是可积的，还可逐项积分，也就是对于任取的一个，那么有通过逐项积分可以得到一个幂级数，与原级数一样，它们的收敛半径是一致的[12]。3幂级数和函数的应用研究3.1函数展开成幂级数3.1.1泰勒级数对于一个确定的函数，需要考虑能不能找出一个幂级数，不单单在某一区间表现出了收敛性，而且相加得到的刚好是该函数。假使可以找出这种幂级数，那么我们就能够说，在这一收敛区间内，函数可以展开得到幂级数。泰勒中值定理如下：存在一个函数，如果有这么一个将包括在内的开区间，一直到都存在阶导数，那么在属于区间的情况下，就能够表示成两个部分的和，其一是的次多项式，其二是余项：其中这里是与之间的某个值。泰勒级数定义为：存在点的一个邻域，假使在其内存在各阶导数，，，，，则当时，点处的泰勒多项式如下：成为幂函数该幂函数就是的泰勒级数。显而易见的是，在的情况下，的泰勒级数是收敛的，且收敛于。除了外，的泰勒级数是否收敛？如果收敛，它是否一定收敛于？定理一：存在一个函数，若其在点处存在一个邻域，在其内存在各阶导数，那么在这个邻域内可以展开并得到泰勒级数是下述条件为充要条件的：在的情况下，的泰勒余项趋近于零，即证明：必要性证明：设在内能展开为泰勒级数，即：因为的阶泰勒公式可写成，其中是的泰勒级数的前项的和，又在内有。于是。由此，可证明条件的必要性。充分性证明：设对一切成立。因为的阶泰勒公式可写成，于是，即的泰勒级数在内收敛，并且收敛于。3.1.2麦克劳林级数在泰勒级数中取，得，此级数称为的麦克劳林级数。假使可以展开得到的幂函数，此时该展示式具有唯一性，和的麦克劳林级数之间是具有完全一致性的。事实上，如果在点的某领域内有幂级数展开式，那么必有：，，，把代入以上各式，得，，，...，...假定可以展开并得到的幂级数，此时该幂级数也为的麦克劳林级数。然而，反之并不成立，假使存在点的某一个邻域，在其中是收敛的，但是有可能不会一致收敛于。所以，假使处存在各阶导数，那么尽管可以作出的麦克劳林级数，但是在某一区间内该级数存不存在收敛性，会不会一致收敛于还是有待考察的。3.1.3幂级数和函数的应用的步骤第一步求，，...，，...第二步求，，...，，...第三步写出幂级数，并求出收敛半径。第四步考察当在区间内时余项的极限是否为零。若为零，则在区间内有3.2幂级数和函数的方法探究3.2.1定义法存在一个幂级数，用来表示其前项和函数列，如果其存在极限，也就是存在，那么这个幂级数就是具有收敛性的，且和函数［8］。例3.2-1:求幂级数的和函数，其中，。解:当时，该法简单、方便而且容易操作，仅需对求解得到前项和进行求极限操作即可，所以不论幂级数求和是以何种形式出现，该法均可适用。但是应当从实际问题出发来分析，如果幂级数的通项公式较为复杂，如等，对定义法进行适用并不具有可操作性。3.2.2逐项求导法在幂级数通项中，如果系数为下述两种情况，一种是1除以自然数，另一种是1除以两相邻自然数，也就是分母中包括了，那么先进行求导、后进行积分这种方法会较为可行。例3.2-2:求幂级数的和函数。解:根据题意不难发现，对这一幂级数而言，收敛区间是［－1，1］当时，不妨设先上式两边求导得:再求导得:只需2次求导操作就能够得到一个特殊幂级数，系数是与无关的，相当于一个无穷递缩等比数列，根据求和公式可以得到：上式两边积分得:再积分得:于是就得到当时的和函数为当时，综上所述3.2.3逐项积分法在幂级数通项中，如果系数为下述两种情况，一种是自然数，另一种是两相邻自然数的乘积，即在分子上时，那么先进行积分、后进行求导这种方法会较为可行［9］。例3.2-3:求幂级数的和函数。解:根据题意不难发现，对这一幂级数而言，收敛区间是(－1，+1)。设两边除以令则将上式两边积分得:再积分得:再积分得:只需3次求积分操作就能够得到一个特殊幂级数，通项公式是与无关的，相当于一个无穷递缩等比数列，根据求和公式可以得到：在上式的基础上第1次求导，可知:第2次求导得:第3次求导得:而可得所求和函数3.2.4其他方法例3.2-4:存在一个幂级数，试求其和函数以及收敛域。解:因为故当时级数收敛。可知在的情况下级数是收敛的，的情况下级数是发散的，因而收敛区间为［－1，1)。又由于所以，令则不难求出:故当时，时，因为故有3.3幂级数和函数的几点应用介绍3.3.1皮亚诺型余项应用于函数幂级数的求解分析学有两大分支，一个是级数理论，另一个是微积分学，它们当作基础知识和基本工具被广泛用于其它各个分支，它们是以函数作为研究对象的，基本工具都是极限，一个是从离散层面，另一个是从连续层面，综合在一起来对函数展开探究。在对函数进行分析时，级数是其中的一种重要工具，无论是从理论来看还是从实际应用来看，均占据着非常重要的地位，理由如下：1、通过级数可让众多较为常见的非初等函数得到表示；2、函数也可以通过级数来表达，这样就可通过级数来对函数展开探究。黄勇等人[13]以学习高等数学为例，指出在级数展开法的作用下，复杂程度相对较高的变系数微分方程是可以转化的，得到一组线性代数方程，这种转化研究的方法还是有很大的优势的。陈乾等人[14]还是以学习高等数学为例，在无穷级数这个章节中，对学生面临学习困境的有硬件进行了剖析，而后从下述方面着手提出了可行策略：1、“教”，2、“学”。姜莹莹等人[15]通过级数等多个概念的引入，比较分析了中等数学和高等数学采取的学习方法上的异同之处，指出应当转换适应。于力等人[16]围绕着带皮亚诺型余项的泰勒公式展开，探讨如何应用于极值的判定和极限的求解。袁秀萍[17]同样针对带皮亚诺型余项的泰勒公式展开了探究，探讨的是如何应用于考研试题方面。从分析学来看，在点的邻域上对函数进行展开，得到一个幂级数，无疑是从实际计算来看还是从函数理论来看，实用性都是比较强的，可对处函数的解析作出判定；在对函数能否在点的邻域上展开得到幂级数作出判定时，其关键在于对这一邻域内泰勒公式余项的极限是否等于0作出判定。下面就要着重对皮亚诺型余项怎样用于对点的邻域上函数可否展开得到幂级数作出判定展开探讨。在函数给定的情况下，在点的邻域上对其进行展开，得到一个幂级数，那么就需对满足进行证明。对于一些函数而言，通过皮亚诺型余项就能够证明，过程也会极为方便，具体可以参照下述例题。例3.3-1通过直接展开法在点的邻域上对函数进行展开，得到一个幂级数。解:因，从而，所以函数生成的麦克劳林级数是，（3.3-1）根据上述过程极易得出下述结论：级数(3.3-1)的收敛半径为，在的情况下，该级数是收敛的，在的情况下，该级数是发散的，所以收敛区间为(-1，1]。在该收敛区间内对泰勒公式余项具体的极限值展开探讨。因为，得到，使用皮亚诺型余项，所以.对于，使用拉格朗日型余项，得到，其中，在0与1之间。所以，，都有，得.3.3.2Qp函数空间中的随机函数从泛函分析、复分析以及算子理论等多个领域来看，全纯函数空间无疑是其中的热点方向之一，和众多学科存在着极大地相关性。如利用复合算子和复动力系统形成了极大地相关性，利用Lipschitz算子和泛函分析形成了极大地相关性，利用Hilbert算子和多变量算子理论形成了极大地相关性。从现代数学领域来看，函数空间起到了至关重要的作用，表现出来的形式也不相同，以调和分析领域为例，常常会遇到Besov空间以及Hardy空间等。上世纪上半叶，在Hardy等众多数学家的带领下，人们对单变量Hardy空间展开了系统性的探讨。而后，单变量解析函数空间理论实现了迅猛发展，空间理论以及Bergman空间理论等也在不断被提出。从全纯函数空间理论来看，空间起到了极为重要的作用，其最早出现于1993年Aulaskari与Lappan的文章[18]中。对于空间，可以知道，当时，；当时，等价于Dirichlet空间；当时，。当时，可以作为一般的Dirichlet型空间的生成空间，这方面引起了一些学者的关注。此外，空间也有多种推广形式，如和空间[19-20]。随机级数提出于1896年，提出者为Broel，但是当作理论研究，是从Zygmund以及Steinhaus等人在20世纪三十年代发表的文章为起始点的[21-22]。自此，国内外非常多的学者都对随机级数展开了探讨，成果也是比较可喜的。在对随机级数展开的探讨中，我国学者也取得了大量成果，其中较具代表性的就是余家荣教授。随机级数可以分为很多种，如随机Dirichlet级数和随机幂级数等。近年来，许多学者从值分布、收敛性以及增长性等多个方面展开了探究，得出的成果也是颇具创造性的。全纯函数均可以表示成幂级数的形式，在对单位圆盘内的解析函数进行分析时，缺项幂级数或者是一般幂级数又是其中的重要工具之一，在幂级数中，随机幂级数为其中的特殊形式之一，和缺项幂级数之间存在诸多相似特征，但是不同之处也是有很多的。例如，对于Hadamard缺项级数：已有如下结果:，从文献[23-24]可以看出，上述结果并不适用于随机幂级数。相较于一般幂级数而言，随机幂级数是存在诸多不同之处的，以Steinhaus序列为例：，而对于一般幂级数只有因此，研究随机幂级数所表示的函数与函数空间的关系是有必要的。随机Dirichlet级数是序列满足的随机级数，其中和均为实变量。文献[25]中研究了随机Dirichlet级数的一些性质，如增长性和收敛性.上世纪九十年代至今，在随机泰勒级数方面人们展开了深入地分析，这里的表示的是一个复数序列，表示的是一个Rademacher序列，即仅取±1的随机序列。1993年，Cochran，Ullrich以及Shapiro对随机泰勒级数是在函数空间内的等多个系数的判别条件进行了列示。关于随机幂级数的研究，目前在等空间上已有很好的结果，其中为随机Bernolli序列，也就是随机变量之间并不存在相关性，且每个变量取+1和-1的概率均为1/2。田范基在文献[26]中给出了一般随机幂级数属于函数空间的充分条件，这里的表示的是一个随机变量序列，具有独立对称性，而且符合。具有Steinhaus序列的随机幂级数，是一类重要的随机级数，其中为Steinhaus序列是指对于所有的有。Anderson，Clunie和Pommerenke给出了时，大概率是在空间的条件内的，Sledd给出了时，大概率是在空间的条件内的。此外，1994年，乌兰哈斯对随机幂级数大概率在与内的条件进行了列示。3.3.3无理性幂级数理论在函数上的应用从幂级数理论研究来看，构造出某一种不在单位圆范围内不可开拓的幂级数是其中的一块重要内容。魏尔斯特拉斯最开始对其展开了探究，同时对自然边界这个概念进行了引入。随后包括波莱尔以及庞加莱等在内的众多数学家展开了深入分析，同时构造出了各式各样的例子。1921年，赫克引入了无理性幂级数，作为不在单位圆范围内不可开拓的幂级数中的一种，施瓦兹、纽曼以及莫德尔等多位数学家都展开了深入探讨，得出了非常多有用结论。Car01l等人则让无理性幂级数理论得到了更为快速的发展。1921年，在《论解析函数和模1数的分布》[27]中，赫克以数为对象，根据外尔均匀分布以及模1均匀分布这两大定理，提出，如果是一个无理数，那么不在单位圆范围内的情况下，与这两个幂级数显然是无法开拓的。这里的和分别代表的分数部分与整数部分。需要注意，赫克认为，二次域上还是能够对幂级数系数展开讨论的。1938年，由于赫克带来的影响，在《模l数的分布及其代数数》[28]中，CPisot在整系数的幂级数的基础上结合了单位圆范围内的共轭代数数类，得出了许多颇有价值的结论，其中的一个结论是不在单位圆范围内的整系数幂级数能够开拓，这个结论起到了重要作用。在Pisot等人进行的工作的基础上，RSalem对于与整系数幂级数相关的理论进行了证实，指出问题中存在的代数性质。1949年，在《具有整系数的幂级数》[29]中，Salem从对数进行探究这一视角着手，对整系数幂级数的各种理论展开了分析。Salem总结得到，赫克定理不以均匀分布定理为前提也能得到证明，同时对下述结论进行了证明，其中赫克的理论也涵盖在内。用代表一个正有理函数，是会无限增大的，存在一个级数，表示其收敛半径，是的极点之一，是任取的一个实数，那么如果为代数整数；就为代数的，而且有理数域的判定条件全部不符合，则。的自然边界是单位圆。证明会用到两个定理，一个是波利亚一卡尔松定理，另一个是普林斯海姆定理。1962年，在《无理性幂级数》[30]中，得益于扩大数域法的采用，施瓦兹对这一定理进行了推广。Salem感谢KurtMahler教授，他是受到Mahler教授所写的信的启发，信中谈及了ATllue(1863—1922)于1912年所写的一篇文章，该文章对PV数具有的性质展开了分析，这让他也格外的注意。对于一个幂级数来看，其系数是会极大地影响到收敛边界上的各种表现的，1892年阿达玛就已经对此进行了明确。随后，众多数学家都对不在收敛区间内的函数能不能够解析开拓展开了探究，如斯泽古、波莱尔以及奥斯特洛斯基等，提出了部分极为重要的定理，也举出了部分极具代表性的无法解析开拓的例子。在数论理论持续发展的同时，人们也构造出了越来越多的无法解析开拓的例子，无理性幂级数便是其中之一。莫德尔、赫克以及纽曼等多位数学家展开了深入探讨，已有较多深刻结论得出。在对所得结论进行证明时，外尔均匀分布定理无疑是其中一个重要基础。从无理性幂级数理论后期取得的发展来看，Caroll等多位数学家将该理论归结到了不可开拓幂级数理论的范畴，使之变成了一种特殊情形。4结论与展望幂级数在赋值过程中存在截断误差，且很多无穷级数收敛速度慢，需要较大的展开项数才能获得可靠的逼近效果。此外，这些逼近方法在自变量区间内效果不稳定，例如幂级数展开在零点附近时有较好的逼近效果，而渐近级数展开通常在自变量取值较大时才能很好地逼近原函数。在计算机技术持续发展的同时，计算能力的提高，出现了许多数学软件，例如Matlab、Maple等，这些数学软件由算法标准程序发展而来，可以对函数进行赋值和操作。但是这些数学软件中对特殊函数的赋值算法还是不够丰富、高效。因此，探索更精确高效的赋值算法，具有重要意义。【参考文献】方艳,程航.幂级数和函数的几种常见解法[J].海峡科学,2018(02):87-88.陈芳芳.函数的幂级数展开式的应用[J].科技资讯,2018,16(14):118-119.MuhammadS,UlH,IjazH,etal.ComparisonofTwoNewRobustParameterEstimationMethodsforthePowerFunctionDistribution[J].PlosOne,2016,11(8):e0160692.ZakaA,AkhterAS.ModifiedMoment,MaximumLikelihoodandPercentileEstimatorsfortheParametersofthePowerFunctionDistribution[J].PakistanJournalofStatistics&OperationResearch,2014,10(4):369.SakalauskasE,MihalkovichA.NewAsymmetricCipherofNon-CommutingCryptographyClassBasedonMatrixPowerFunction[J].Informatica,2013,24(2):283-298.AkimenkoVV.Nonlinearage-structuredmodelsofpolycyclicpopulationdynamicswithdeathratesaspowerfunctionswithexponentn[J].MathematicsandComputersinSimulation,2017,133:175-205.金帅,毛奕岑.幂级数在多复变函数论中的一个推广[J].数学学习与研究,2017(19):5.ZhouW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