北师大版2019选择性必修第一册专题5.1基本计数原理(5类必考点)(原卷版+解析)

专题5.1基本计数原理TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：分类加法计数原理】 1【考点2：分步乘法计数原理】 1【考点3：组数问题】 2【考点4：涂色问题】 2【考点5：利用两个计数原理解决其他实际问题】 2【考点1：分类加法计数原理】【知识点：分类加法计数原理】(1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．(2)能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点：①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类．②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事．③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．1．（2022·全国·高二课时练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（

）．A．18个 B．15个 C．12个 D．9个2．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A．4种 B．6种C．10种 D．16种3.(2022·杭州二中月考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．104.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是________．5．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有_______．【考点2：分步乘法计数原理】【知识点：分步乘法计数原理】(1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2)能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．②完成每一步有若干种方法．③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．(3)名称分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是解决完成一件事的不同方法的种数问题不同点运用加法运算运用乘法运算分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（

）种.A．A43 B．43 C．32．（2022·全国·高二课时练习）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法有______种．3．（2022·全国·高二课时练习）现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为______种．4．（2023·全国·高三专题练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．5．（2022·全国·高二课时练习）若a,b,c⊂−3,−2,−1,0,1,2,3,4，则符合条件的二次函数6．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗，争的初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定对某市A,B,C,D四个地区采取抽检，每周都抽检一个地区，且每周都是从上周未抽检的地区中随机抽取一个地区，设第1周抽到A地区，那么第6周也抽到A地区的概率是______（用最简分数表示）．7．（2022·全国·高二课时练习）（1）将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；（2）某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有_________种不同的选法．【考点3：组数问题】【知识点：组数问题】对于组数问题,应掌握以下原则

①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成,如果正面分类较多,可采用间接法求解.

②要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的首位.1．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（

）A．125种 B．100种 C．64种 D．60种2．（2022·黑龙江·鸡西实验中学高二阶段练习）（多选题）已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（

）A．组成可以有重复数字的四位数有500个B．组成无重复数字的四位数有96个C．组成无重复数字的四位偶数有66个D．组成百位是奇数的四位偶数有28个3．（2022·全国·高二课时练习）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.4．（2022·甘肃·玉门油田第一中学高二期中（理））用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数有________个.（用数字回答）5．（2022·广东·翠园中学高二期中）从不大于9的自然数中抽3个不同的数可以组成______个能被5整除的三位数．6．（2022·全国·高二课时练习）已知集合A=2,4,6,8，B=1,3,5,7,9，从A中取一个数作为十位数字，从7．（2022·全国·高二专题练习）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？8．（2022·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．9．（2022·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．【考点4：涂色问题】【知识点：涂色问题】涂色问题常用方法:

①根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理区域涂色问题的基本方法;

②根据共用了多少种颜色,分别计算出各种情形的种数,再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数;

③根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种2．（2022·全国·高三专题练习）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36

B．48

C．54

D．723．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）如图，用4种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（

）种A．144 B．73 C．48 D．324．（2023·全国·高三专题练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P−ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（

）A．36种 B．72种 C．48种 D．24种5．（2022·河北保定·高二期末）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（

）A．1440 B．720 C．1920 D．9606．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二期末（理））用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有_________种．7．（2021·民大附中海南陵水分校高二期中）如图，一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻B两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，有_______种不同的种植方法8．（2022·全国·高三专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.9．（2023·全国·高三专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．10．（2023·全国·高三专题练习）如图，从左到右共有5个空格．(1)向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？(2)用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？【考点5：利用两个计数原理解决其他实际问题】【知识点：利用两个计数原理解决其他实际问题】在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．[方法技巧]使用两个计数原理进行计数的基本思想对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．1．（2022·全国·高二期末）有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为A．24 B．14 C．10 D．92．（2022·全国·高二课时练习）4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）3．（2021·天津·静海一中高二期末）将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______________.专题5.1基本计数原理TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：分类加法计数原理】 1【考点2：分步乘法计数原理】 3【考点3：组数问题】 5【考点4：涂色问题】 9【考点5：利用两个计数原理解决其他实际问题】 16【考点1：分类加法计数原理】【知识点：分类加法计数原理】(1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．(2)能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点：①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类．②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事．③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．1．（2022·全国·高二课时练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（

）．A．18个 B．15个 C．12个 D．9个【答案】B【分析】首位数字是2，则后三位数字之和为4，然后分类排列即可求解.【详解】由题知后三位数字之和为4，当一个位置为4时有004，040，400，共3个；当两个位置和为4时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9个；当三个位置和为4时112，121，211，共3个，所以一共有15个.故选：B2．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A．4种 B．6种C．10种 D．16种【答案】B【解析】分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种方法(如图)，同理，甲先踢给丙时，满足条件有3种方法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方式．3.(2022·杭州二中月考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10【答案】B【解析】①当a＝0时，有x＝－eq\f(b,2)，b＝－1,0,1,2，有4种可能；②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，(ⅰ)当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；(ⅱ)当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；(ⅲ)当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．∴有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.4.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是________．【答案】6【解答】从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．5．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有_______．【答案】28种【分析】根据新定义，分析a取不同的值时，b取值的个数，即可得解.【详解】当a为0时，b只能取0，1两个数；当a为9时，b只能取8，9两个数；当a为其它数时，b都可以取三个数，例如a=1时，b可取0,1,2.综上，一共有2+2+3×8=28种情形.故答案为：28种【考点2：分步乘法计数原理】【知识点：分步乘法计数原理】(1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2)能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．②完成每一步有若干种方法．③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．(3)名称分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是解决完成一件事的不同方法的种数问题不同点运用加法运算运用乘法运算分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（

）种.A．A43 B．43 C．3【答案】C【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况．【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能，因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有3×3×3×3=3故选：C．2．（2022·全国·高二课时练习）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法有______种．【答案】12【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】由分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法有3×4=12种.故答案为：12.3．（2022·全国·高二课时练习）现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为______种．【答案】12【分析】由分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，从中四件不同款式的上衣中，任选一件有4种选法，从中三件不同颜色的长裤中，任选一件有3种选法，根据分步计数原理，可得共有4×3=12种不同的选法.故答案为：124．（2023·全国·高三专题练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【答案】720【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】原来7个节目，形成8个空位，安排一位老校友；8个节目，形成9个空位，安排一位老校友；9个节目，形成10个空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有8×9×10=720种.故答案为：7205．（2022·全国·高二课时练习）若a,b,c⊂−3,−2,−1,0,1,2,3,4，则符合条件的二次函数【答案】294【分析】由分步乘法原理求解【详解】y=ax2+bx+c由集合元素的互异性知a,b,c互不相同，故符合条件的函数解析式有7×7×6=294个．故答案为：2946．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗，争的初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定对某市A,B,C,D四个地区采取抽检，每周都抽检一个地区，且每周都是从上周未抽检的地区中随机抽取一个地区，设第1周抽到A地区，那么第6周也抽到A地区的概率是______（用最简分数表示）．【答案】20【分析】根据分步乘法计数原理以及分类加法即可求解.【详解】由于第一次抽到A，则第二次不会抽A，有3种选择，若第三次抽到A,则第四次有3种选择，由于第6次要抽到A，则第五次不能抽到A，故只有2种选择，故在此种情况下，共有3×3×2=18种选择，若第三次没有抽A,则第三次有2种选择，若第四次抽到A，则第五次有3种选择；若第四次没有抽到A,则第四次有2种选择，第五次也有2种选择，故共有3×2×1×3+2×2因此所以满足第1周抽到A地区，那么第6周也抽到A地区的个数一共有18+42=60，全部情况有35=243，所以概率为故答案为：207．（2022·全国·高二课时练习）（1）将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；（2）某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有_________种不同的选法．【答案】

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20【分析】（1）将信件分别投入邮箱，由分步乘法原理计算；（2）按照选取的人是否会两种语言分类，用分类加法原理计算．【详解】解析：（1）第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；同理，第2，3，4封信各有3种投法．根据乘法原理，共有3×3×3×3=3（2）共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语又会日语时，选会日语的人有2种选法；第二类，当选出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人有6种选法；第三类，当既会英语又会日语的人不参与选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人，有2×6=12种选法．故共有2+6+12=20种选法．【考点3：组数问题】【知识点：组数问题】对于组数问题,应掌握以下原则

①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成,如果正面分类较多,可采用间接法求解.

②要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的首位.1．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（

）A．125种 B．100种 C．64种 D．60种【答案】B【分析】首先确定百位数字，再根据允许有重复数字，即可确定十位与个位的数字，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先排百位数字，只能是1，2，3，4中的一个，故有4种排法，因为允许有重复数字，故十位与个位均有5种排法，故一共有4×5×5=100种；故选：B2．（2022·黑龙江·鸡西实验中学高二阶段练习）（多选题）已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（

）A．组成可以有重复数字的四位数有500个B．组成无重复数字的四位数有96个C．组成无重复数字的四位偶数有66个D．组成百位是奇数的四位偶数有28个【答案】AB【分析】对于A，注意首位不为0及数字可以重复即可；对于B，注意首位不为0及数字不可以重复即可；对于C，分个位数为0和不为0两种情况讨论，注意首位不为0；对于D，从特殊位置入手，先考虑首位、百位和个位，注意是可以重复的.【详解】解：对于A，组成可以有重复数字的四位数有4×5×5×5=500个，故A正确；对于B，组成无重复数字的四位数有4×4×3×2=96个，故B正确；对于C，若个位数为0时，则有4×3×2=24个，若个位数不为0时，则有2×3×3×2=36个，所以组成无重复数字的四位偶数有24+36=60个，故C错误；对于D，组成百位是奇数的四位偶数有4×2×5×3=120个，故D错误.故选：AB.3．（2022·全国·高二课时练习）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.【答案】52【分析】由特殊位置法与特殊元素法分类讨论，利用分类与分步计数原理即可解决.【详解】根据题意，对该没有重复数字的三位偶数进行分类讨论，第一类：0在个位数时，先填百位，有5种方法，再填十位，有4种方法，故能组成5×4=20个没有重复数字的三位偶数；第二类，0不在个位数时，先填个位，只有2、4两种方法，再填百位，0不能在此位，故有4种方法，最后填十位，有4种方法，故能组成2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数；综上，一共可以组成32+20=52个没有重复数字的三位偶数.故答案为：52.4．（2022·甘肃·玉门油田第一中学高二期中（理））用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数有________个.（用数字回答）【答案】648【分析】按特殊位置先排法,先排百位,再排十位,个位即可.【详解】由于0不能做首位，按照百位,十位,个位的顺序排，共有9×9×8=即可以组成没有重复数字的三位数有648个.故答案为：648.5．（2022·广东·翠园中学高二期中）从不大于9的自然数中抽3个不同的数可以组成______个能被5整除的三位数．【答案】136【分析】根据分步乘法原理和分类加法原理计数．【详解】不大于9的自然数有10个：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，从中取3个，组成被5整除的三位数，个位是0时，有9×8=72个，个位是5时，有8×8=64个，共有72+64=136个．故答案为：1366．（2022·全国·高二课时练习）已知集合A=2,4,6,8，B=1,3,5,7,9，从A中取一个数作为十位数字，从【答案】

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10【分析】根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.【详解】①从A中取一个数作为十位数字，有4种不同的取法，从B中取一个数作为个位数字，有5种不同的取法．由乘法原理可知，能组成4×5＝20个不同的两位数．②要组成十位数字小于个位数字的两位数，可分如下情况：当个位数字为9时，十位上的数字有4种取法，能组成4个十位数字小于个位数字的两位数；当个位数字为7时，十位上的数字有3种取法，能组成3个十位数字小于个位数字的两位数；当个位数字为5时，十位上的数字有2种取法，能组成2个十位数字小于个位数字的两位数；当个位数字为3时，十位上的数字有1种取法，能组成1个十位数字小于个位数字的两位数．所以组成的十位数字小于个位数字的两位数有1＋2＋3＋4＝10个．故答案为：20，10．7．（2022·全国·高二专题练习）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？【答案】576个【分析】由已知，可分三步来进行考虑，先考虑千位数，有9种情况，然后再考虑后三位数字，共有9种情况，最后再确定后三位数字的顺序，共有7种情况，合并在一起即可.【详解】显然四位数字全部相同的四位数恰有9个，下面考虑四位数字中恰有两个不同数字的四位数，分三步考虑：第一步，先考虑千位数字，有9种选法：1，第二步，考虑百位、十位、个位上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了千位上的数字外，再从0，第三步，前两步确定两个数字后，再对个位、十位、百位上的数字进一步确定.这三个位置上分别各有2种选择，但要去掉一种情况：即选出的个位、十位、百位上的数字都和千位上的数字完全相同，故有（2×2×2−1综上所述，共有这种四位数9+9×9×7=576种选法.所以，共有576个这种四位数8．（2022·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．【答案】(1)408(2)113322【分析】（1）根据分步乘法原理计算所有的四位数，进而可得这24个数的数字之和，（2）确定24个数中，每个数位上2，3，5，7出现的次数，进而可求这些数的和,（1）共可组成4×3×2×1＝24个四位数，这24个四位数的数字和为24×2+3+5+7（2）这24个四位数中，数字2在千位的有3×2×1＝6个，同样，3、5、7在千位的各有6个．同理，2、3、5、7在百位、十位、个位各出现6次．所以所有数之和为2+3+5+79．（2022·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．【答案】(1)408(2)113322【分析】（1）根据分步乘法原理计算所有的四位数，进而可得这24个数的数字之和，（2）确定24个数中，每个数位上2，3，5，7出现的次数，进而可求这些数的和,（1）共可组成4×3×2×1＝24个四位数，这24个四位数的数字和为24×2+3+5+7（2）这24个四位数中，数字2在千位的有3×2×1＝6个，同样，3、5、7在千位的各有6个．同理，2、3、5、7在百位、十位、个位各出现6次．所以所有数之和为2+3+5+7【考点4：涂色问题】【知识点：涂色问题】涂色问题常用方法:

①根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理区域涂色问题的基本方法;

②根据共用了多少种颜色,分别计算出各种情形的种数,再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数;

③根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.【详解】对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有4×3×2=24种涂色方法，对于④，与②③相邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步乘法计数原理得故选:C2．（2022·全国·高三专题练习）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36

B．48

C．54

D．72【答案】D【分析】符合条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法计数原理分别求出其方法数，相加即可求得结果.【详解】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有4×3×2×1×2种方案，即48种方案；区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有4×3×2×1×1种方案，即24种方案；所以符合条件的涂色方案共有72种，故选：D.3．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）如图，用4种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（

）种A．144 B．73 C．48 D．32【答案】C【分析】依次对区域B、C、A、D涂色，结合分类加法与分步乘法计数原理可得结果.【详解】先对区域B涂色，有4种选择，其次再对区域C涂色，有3种选择，然后再与区域A、D涂色，有两种情况：（1）若区域A、D同色，有2种情况；（2）若区域A、D不同色，有2×1=2种情况.综上所述，不同的涂法种数为4×3×2+2故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P−ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（

）A．36种 B．72种 C．48种 D．24种【答案】B【分析】利用分步乘法原理和分类加法原理分析求解【详解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种选择．①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择；②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择．综上，不同的涂法种数为4×3×2×1×2+1×1故选：B．5．（2022·河北保定·高二期末）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（

）A．1440 B．720 C．1920 D．960【答案】C【分析】按照地图涂色问题的方法，先分步再分类去种植花卉即可求得不同的种植方法种数.【详解】如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E.第一步，选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择；第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择；第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择；第四步；若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种；若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择；则区域E可选择的花卉有4种，故不同的种植方法种数是6×5×4×(1×4+3×4)=1920.故选：C6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二期末（理））用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有_________种．【答案】38880【分析】第一步对四条侧棱涂色，第二步对底面四边形的四边涂色（需分类讨论：按选取的新颜色种类分类）．然后由分步乘法原理计算．【详解】按题意可先对四条侧棱涂色，有6×5×4×3=360种方法，再对底面四边形的四条边涂色，如果选取了1种新颜色，这1种颜色只涂一边，方法数为2×4×(2+2)=32，这1种颜色涂对边，方法数为2×2×(2×2)=16，如果选取的2种新颜色，涂2条邻边，方法数为2×4×(1+2)=24，涂两条对边，方法数为2×2×(2×2)=16，涂3条边，方法数为4×2×2=16，涂4条边，方法数为2，如果没有选取新颜色，只有2种方法，所以底面4条边的涂色方法数为(32+16)+(24+16+6+2)+2=108，所以所求涂色方法数为360×108=38880故答案为：38880.7．（2021·民大附中海南陵水分校高二期中）如图，一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻B两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，有_______种不同的种植方法【答案】96【分析】先对A部分种植，再对B部分种植，对C部分种植进行分类：①若与B相同，②若与B不同进行讨论即可.【详解】先对A部分种植，有4种不同的种植方法，再对B部分种植，又3种不同的种植方法，对C部分种植进行分类：①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×2=48（种），②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2=48（种），综上所述，共有96种种植方法．故答案为：96.8．（2022·全国·高三专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.【答案】66【分析】运用分类计数原理、分步计算原理，结合组合定义进行求解即可.【详解】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有C42−1=5当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有2种方法选法，因此不同的涂色方法有2×2×2=8种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有2种方法选法，因此不同的涂色方法有2×3×2×(2+1)=36种，当选择四种颜色时，不同的涂色方法有2×2×2+2×2=12种，所以共有10+8+36+12=66种不不同的涂色方法，故答案为：669．（2023·全国·高三专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．【答案】420【分析】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解【详解】由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60种染色方法；当S,A,B染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或