北师大版九年级数学下册3.2圆心角、弧、弦的关系【九大题型】同步练习(学生版+解析)

专题3.2圆心角、弧、弦的关系【九大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆心角、弧、弦的概念】 1【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 2【题型3利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 3【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 4【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 5【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 6【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 7【题型8圆心角、弧、弦中的证明问题】 8【题型9圆心角、弧、弦中的的倍数关系】 9【知识点1弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

【题型1圆心角、弧、弦的概念】【例1】（2022秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2022秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．AB=AD D．∠BCA【变式1-2】（2022秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=【变式1-3】（2022秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF=DF；②HC＝BF：③MF＝FC：④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠A．32° B．60° C．68° D．64°【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，AB=A．60° B．30° C．45° D．40°【变式2-2】（2022秋•天河区期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝．【变式2-3】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠【题型3利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝22，则半径R的长为（）A．1 B．2 C．2 D．22【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（）A．32 B．32 C．3 【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式3-3】（2022秋•曾都区期中）如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】【例4】（2022秋•龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且AD=DC=A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【变式4-1】（2022秋•海口期末）如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长等于．【变式4-2】（2022秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为．【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为．【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】【例5】（2022•海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（）A．25 B．253 C．2534 【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝．【变式5-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（）A．2 B．3 C．3+224【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】【例6】（2022•下城区校级四模）如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则DE的度数为（）A．50° B．25° C．80° D．65°【变式6-1】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28° B．64° C．56° D．124°【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为．【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】【例7】（2022秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果AB=2AC，则下列关于弦AB与弦ACA．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【变式7-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．【变式7-2】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定【变式7-3】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．（1）若BC=3AD，CD=2（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．【题型8圆心角、弧、弦中的证明问题】【例8】（2022秋•自贡期末）如图，AB为⊙O的直径，BE=CE，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接求证：BC＝CF．【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：BD=【变式8-2】（2022秋•福清市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为AC的中点．【变式8-3】（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）AD=（2）AE＝CE．【题型9圆心角、弧、弦的的倍数关系】【例9】（2022•原州区期末）在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，则CE与BE之间的等量关系是什么？请证明你的结论．专题3.2圆心角、弧、弦的关系【九大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆心角、弧、弦的概念】 1【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 4【题型3利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 6【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 9【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 12【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 16【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 19【题型8圆心角、弧、弦中的证明问题】 22【题型9圆心角、弧、弦中的的倍数关系】 25【知识点1弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

【题型1圆心角、弧、弦的概念】【例1】（2022秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．【变式1-1】（2022秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．AB=AD D．∠BCA【分析】根据∠BAC＝∠DAC，得到BC=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，∴BC=∴BC＝CD，【变式1-2】（2022秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【解答】解：在⊙O中，AB=∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴AC=∴AC＝BD，故②正确；∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．【变式1-3】（2022秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF=DF；②HC＝BF：③MF＝FC：④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：∵F为CBD的中点，∴CF=∴∠FCM＝∠FAC，∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴CH=∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴AH的度数+CF∴CH的度数+AF∴AH+【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠A．32° B．60° C．68° D．64°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AE=BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠【解答】解：∵AE=∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，AB=A．60° B．30° C．45° D．40°【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．【解答】解：∵AB=∴∠2＝∠1＝45°，【变式2-2】（2022秋•天河区期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝120°．【分析】证明AC=【解答】解：∵AC＝BD，∴AC=∴∠BOD＝∠AOC＝120°，故答案为：120°．【变式2-3】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠【分析】由BC=CD=DE，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠【解答】解：如图，∵BC=CD=∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO=1故答案为：51°．【题型3利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝22，则半径R的长为（）A．1 B．2 C．2 D．22【分析】连接OA，OD，由弦AC＝BD，可得AC=BD，继而可得BC=AD，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得【解答】解：连接OA，OD，∵弦AC＝BD，∴AC=∴BC=∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD=2R∵AD＝22，∴R＝2，【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（）A．32 B．32 C．3 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A＝30°，根据垂径定理求出OD⊥AE，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，再求出MD即可．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠A＝30°，∵M为弧AE的中点，OM过圆心O，∴OM⊥AD，∴∠ADO＝90°，∴OD=12OA∴MD＝OM﹣OD＝6﹣3＝3，【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据垂径定理求出DE＝EF，AD=AF，求出ADC=DAF，求出AC＝DF，求出【解答】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=∵D为弧AC的中点，∴AD=∴ADC=∴AC＝DF，∵⊙O的直径为10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=O∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故选：D．【变式3-3】（2022秋•曾都区期中）如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则AD＝【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．证明四边形DEAF是正方形，可得AD=2AF，想办法求出AF【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵BC＝25，AB＝2AC，∴AC＝2，AB＝4，∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∴四边形DEAF是正方形，∴AD=2AF∵∠DAB＝∠DAC，∴BD=∴BD＝CD，∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝CF，∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，∴AF＝3，∴AD=2AF＝32故答案为：32．【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】【例4】（2022秋•龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且AD=DC=A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．∵AD=∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；∵AB是直径，∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；∵OA＝OD（⊙O的半径），∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝OA；同理，得OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，∴AD＝CD＝BC＝OA，∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；【变式4-1】（2022秋•海口期末）如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长等于12．【分析】通过等弧所对的圆心角相等和∠AOB＝120°，得到△AOC和△BOC都是等边三角形，再求出四边形AOBC的周长．【解答】解：∵C是AB的中点∴∠AOC＝∠BOC，而∠AOB＝120°∴∠AOC＝∠BOC＝60°∴△AOC和△BOC都是等边三角形∴OA＝OB＝CA＝CB＝3所以四边形AOBC的周长等于12．故填12．【变式4-2】（2022秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为9cm．【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB∵AB＝3cm，∴△AOB的周长为3+3+3＝9（cm）．故答案为：9cm．【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为63π．【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出BC=AD，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠【解答】解：连接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴ABC=∴BC=∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝36，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝33，∴⊙O的周长是2×π×33=63π故答案为63π．【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】【例5】（2022•海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（）A．25 B．253 C．2534 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．【解答】解：连OC，如图，∵C是AB的中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴S四边形AOBC＝2×1故选：D．【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝25π2【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根据三角形的面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，∴S甲＝S乙=12S圆故答案为：25π2【变式5-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵AC=∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD=12∴CD=O∴△OCD的面积=12×OD×同理可得，△OCE的面积=12×OE×∴四边形DOEC的面积=3【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（）A．2 B．3 C．3+224【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度数＝3×60°＝180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD＝弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，可得FA=22AD=2，在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，∵AB＝OA＝OB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴弧AB的度数＝60°，又∵AB＝BC＝CD，∴弧AB＝弧BC＝弧CD，∴弧ABD的度数＝3×60°＝180°，∴AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°，∵AN＝AF＝OE=2，∴AD平分NF，∴EF过O∴弧FD＝弧FA，∴△FAD为等腰直角三角形，∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA=22AD在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG在Rt△AGC中，CG＝AG=6∴S△ACF=12CF•AG=12×故选：D．【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】【例6】（2022•下城区校级四模）如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则DE的度数为（）A．50° B．25° C．80° D．65°【分析】连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出∠DOE＝50°，可得结论．【解答】解：连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥CB，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠DAC=12∠∴∠DOE＝2∠DAC＝50°，∴DE的度数为50°，【变式6-1】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28° B．64° C．56° D．124°【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴BD的度数为56°．【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为50°．【分析】连接BC，如图，由弧AD＝100°得到∠ACD＝50°，再证明AB=CD得到AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，则CD＝ED，所以∠DEC＝∠DCE＝50°，然后计算出∠ECB的度数，从而得到弧【解答】解：连接BC，如图，∵弧AD＝100°，∴∠ACD＝50°，∵AC＝BD，∴AC=即AB+∴AB=∴AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，∵AB＝ED，∴CD＝ED，∴∠DEC＝∠DCE＝50°，∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝2∠ECB，∴∠ECB=12∠∴弧AB的度数为50°．故答案为：50°．【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=12BO，AB∥可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故BC的度数是150°．【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】【例7】（2022秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果AB=2AC，则下列关于弦AB与弦ACA．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【分析】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB=2AD=2BD，由已知条件AB=2AC，得出AD=BD=AC，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根据三角形三边关系定理得出AD+BD【解答】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB=2AD=2∵AB=2AC∴AD=∴AD＝BD＝AC．在△ABD中，AD+BD＞AB，∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．故选：D．【变式7-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：连接OC，OD，∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，∴AB＞CD．【变式7-2】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，则弧FM＝弧AB，∴AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．【变式7-3】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．（1）若BC=3AD，CD=2（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小；（2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系．【解答】解：（1）∵BC∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD∵∠BOC+∠COD+∠AOD＝180°∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60°∴∠DAB=12∠BOD=12（∠∠ABC=12∠AOC=12（∠（2）①若AD＜CB，则∠DAB＞∠②若AD=CB，则∠DAB＝∠③若AD＞CB，则∠DAB【题型8圆心角、弧、弦中的证明问题】【例8】（2022秋•自贡期末）如图，AB为⊙O的直径，BE=CE，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接求证：BC＝CF．【分析】证明：连接AE，利用圆心角、弧与弦的关系证明即可．【解答】证明：连接AE∵CE∴∠A＝∠FBC，∵AB为直径，∴∠E＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∵CD⊥AB于D，∴∠FDB＝90°，∴∠CFB+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CFB，∴∠FBC＝∠CFB，∴BC＝CF．【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：BD=【分析】方法一：由CE∥AB知AC=BE，再由∠BOD＝∠AOC知方法二：连接OE，知∠OCE＝∠OEC，根据AB∥CE知∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，从而得∠BOD＝∠BOE，继而可得证．【解答】证明：方法一：∵CE∥AB，∴AC=∵∠BOD＝∠AOC，∴AC=∴BD=方法二：连接OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB∥CE，∴∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，∴∠BOD＝∠BOE，∴BD=【变式8-2】（2022秋•福清市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为AC的中点．【分析】根据等腰三角形的性质和