高考数学 试题汇编 第四节 古典概型与几何概型 理（含解析）

第四节古典概型与几何概型古典概型考向聚焦从近几年高考试题可以看出,高考对古典概型的考查主要是等可能事件概率求法,通常结合互斥事件、对立事件求概率,一般以选择、填空题的形式出现,5分左右,属于中低档题;有时还会与统计、随机变量的分布列、期望与方差等综合在一起,以解答题形式出现,为中等难度试题,12分左右备考指津计算古典概型事件A的概率的关键是求出基本事件总数n和事件A所含基本事件数m1.(年广东卷,理7,5分)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()(A)49 (B)13 (C)2解析:从10到99,这90个两位数中,符合个位数与十位数之和是奇数的有45个,其中个位数为0的有:10、30、50、70、90共5个,由古典概型知:p=545=1答案:D.2.(年陕西卷,理10)甲乙两人一起去游“西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是()(A)136 (B)19 (C)5解析:∵甲、乙参观每一个景点是随机且独立的,∴在最后一个小时参观哪一个景点是等可能的,∴甲有6种可能性,乙也有6种可能性,基本事件空间总数n=36,事件“二人同在一个景点参观”的基本事件数m=6,由古典概型概率公式得所求事件的概率P=mn=1答案:D.确定一个试验是否为古典概型主要在于这个试验的结果是否具有有限性和等可能性,明确试验的基本事件数,进而利用公式P(A)=mn是解概率题的关键.3.(年新课标全国卷,理4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()(A)13 (B)12 (C)2解析:法一:设3个兴趣小组分别为A、B、C,甲乙参加3个兴趣小组(按甲前乙后排)为:AA,AB,AC;BA,BB,BC;CA,CB,CC.故两同学参加同一个兴趣小组概率为39=1法二:甲、乙各自参加其中一个小组有32=9种,甲、乙参加同一个小组的选法有3种,所以其概率为39=1答案:A.4.(年上海数学,理11,4分)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).

解析:依题意知,所求事件的概率为P=C32×答案:25.(年福建卷,理13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于.

解析:从5个小球取出2个小球所有可能的取法n=C52=10(种),而若取出的2个小球颜色不同则红、黄各取一个,取法m=C31·C21=6(种),∴所求事件的概率P=答案:36.(年江苏卷,3)盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是.

解析:从4只球中随机摸出两只球,共有C42种不同的取法,其中两球颜色不同的取法有C31·C11=3种,所以它们颜色不同的概率是P=答案:1几何概型考向聚焦对几何概型的考查,主要以选择、填空题的形式出现,以面积型为主,有时也涉及长度型、体积型等,难度不大,所占分值5分左右.将几何概型与平面区域、不等式、函数、平面向量、空间几何体等问题相结合是命题的一个方向备考指津几何概型求解时要注意转化,根据实际问题的具体情况,合理设置参数,建立适当的坐标系,在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的点,便可构造出度量区域7.(年北京卷,理2,5分)设不等式组0≤(A)π4 (B)π(C)π6 (D)解析:不等式组0≤x≤2,0≤y≤2,对应直角坐标系内的区域D为如图所示的正方形ABCD,面积为4,在区域D内随机取一点,此点到原点的距离大于2对应的区域为如图所示的阴影部分,即落在圆x2+y2=4(0≤x≤答案:D.8.(年湖北卷,理8,5分)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()(A)1-2π (B)12(C)2π (D)解析:如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S3,两块阴影部分的面积分别为S2,S4,则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=14π(2a)2=πa2,而S1+S2与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆,即S1+S2+S2+S3=πa2.②①-②得S2=S4,由图可知S2=(S扇形EOD+S扇形COD)-S正方形OEDC=12πa2-a2,所以S阴影=πa2-2a2由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率为P=S阴影S扇形OAB=答案:A.几何概型的求解依据是概率P=S阴影S9.(年辽宁卷,理10,5分)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为()(A)16 (B)13 (C)2解析:如图,设AC=xcm,则CB=(12-x)cm,由x(12-x)<32,x2-12x+32>0,解得x<4或x>8,故点C移动的区间长度为2×4=8,由几何概型知P=812=2答案:C.10.(年福建卷,理4)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于()(A)14 (B)13 (C)1解析:记“Q点落在△ABE内部”为事件A,则P(A)=S△ABES矩形ABCD答案:C.几何概型具有无限性和等可能性这两个特点,因此几何概型的求解与古典概型的求解思路是一样的,都属于“比例解法”,即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形长度(或面积或体积)”与“试验的基本事件所占总长度(或面积或体积)”之比来计算.11.(年湖南卷,理15,5分)函数f(x)=sin(ωx+)的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,其中,P为图象与y轴的交点,A,C为图象与x轴的两个交点,B为图象的最低点.(1)若=π6,点P的坐标为(0,332),则ω=;(2)若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为.

解析:(1)f'(x)=ωcos(ωx+),根据条件得ωcosπ6=332(2)f'(x)=ωcos(ωx+),当ωx+=π2时,得A(π2当ωx+=3π2时,得C(3所以|AC|=xC-xA=πω,又B点纵坐标为-ω,所以△ABC的面积S'=12·πω·|-ω曲线段ABC与x轴所围成的区域面积S=-xAxCf'(x)dx=f(xA)-f(xC)=sin(ω·-sin(ω·3π2-所以该点在△ABC内的概率为P=π22=答案:3π在计算概率时,要分析试验结果与概率模型,在几何概型的概率计算中,要搞清“区域”的含义.12.(年江西卷,理12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于12,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于14,则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为解析:由题意知小波周末不在家看书即看电影或打篮球所对应单位圆的区域如图阴影部分所示.∴不在家看书的概率为P=π=1-14+116=答案:1313.(年陕西卷,理13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为.

解析:这是面积型几何概型概率的求解.矩形的面积为1×3=3,而阴影部分的面积为013x2dx=x3|0答案:114.(年新课标全国卷,理13)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分01f(x)dx,先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得积分01解析:因为0≤f(x)≤1且由积分的