北师大版八年级数学上册专题2.3实数【十大题型】同步练习(学生版+解析)

专题2.3实数【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1实数与数轴的综合应用】 1【题型2比较实数的大小】 2【题型3实数的有关运算】 2【题型4估算无理数】 3【题型5无理数整数部分或小数部分的有关计算】 4【题型6程序设计与实数的运算】 4【题型7新定义下的实数运算】 5【题型8实数中的实际应用题】 6【题型9实数中的规律探究题】 7【题型10实数性质的综合应用】 7【知识点1实数】无限不循环小数叫做无理数.常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．②含有π的绝大部分数，如2π．【题型1实数与数轴的综合应用】【例1】（2023春·七年级单元测试）如图，数轴上表示1，2的点分别为A，B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是（

）A．2−1 B．1−2 C．2−2【变式1-1】（2023春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么(b−a)2−|a+b|−3【变式1-2】（2023春·四川宜宾·七年级统考期中）如图，正方形ABCD的面积为7.顶点A在数轴上表示的数为1，点E在数轴上，且AD=AE，则点E表示的数是（

）A．7 B．7−1 C．1+7 【变式1-3】（2023春·河北沧州·七年级统考期中）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示3，设点A所表示的数为m．(1)实数m的值是______．(2)求m+22(3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有2c+4与d−4互为相反数，求2c+3d的立方根．【题型2比较实数的大小】【例2】（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）比较大小：5+12【变式2-2】（2023春·江苏·七年级专题练习）若0<x<1，则下列关系式成立的是（

）A．x<1x<C．1x<x<x【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）若a=39，b=5，c=2，则a，b，c的大小关系为（A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．a<b<c【题型3实数的有关运算】【例3】（2023·全国·七年级假期作业）若35取1.71，计算435A．71 B．171 C．1.71 D．17.1【变式3-1】（2023·江苏·七年级假期作业）若a、b、c是有理数，且满足等式a＋b2＋c3＝2﹣2＋33，试计算（a﹣c）2013＋b2014的值．【变式3-2】（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）计算下列各题：(1)−35÷(−7)×(−(2)−【变式3-3】（2023·全国·七年级专题练习）计算下列各题：（1）16+（2）7−2（3）−62【知识点2估算法】（1）若，则；（2）若，则；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．常见实数的估算值：，，．【题型4估算无理数】【例4】（2023春·四川成都·七年级成都七中校考期中）在数轴上表示−5和330的两点之间表示整数的点有（A．6 B．7 C．8 D．9【变式4-1】（2023春·七年级单元测试）判断11+1之值介于下列哪两个整数之间？（

A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7【变式4-2】（2023春·河北石家庄·七年级校考期末）如图，在数轴上标有O，A，B，C，D五个点，根据图中各点所表示的数，判断12应该在下列线段的（

）

A．OA上 B．AB上 C．BC上 D．CD上【变式4-3】（2023春·四川资阳·七年级统考期末）规定a表示小于a的最大整数，如3=2，10=3．现将37进行如下操作：37 【题型5无理数整数部分或小数部分的有关计算】【例5】（2023春·湖北宜昌·七年级校联考期中）若n<10<n+1，m<−8<m+1，其中m、n【变式5-1】（2023春·广东河源·七年级校考阶段练习）已知k是5的小数部分，则1k+1=【变式5-2】（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）已知6+10的小数部分为a，6−10的小数部分为b，则a+b2023A．1 B．−1 C．10 D．36【变式5-3】（2023春·四川眉山·七年级校考期中）已知6+11的整数部分为a，6−11的小数部分为(1)求a+b的值；(2)求a−b的值．【题型6程序设计与实数的运算】【例6】（2023·七年级单元测试）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【变式6-1】（2023春·贵州六盘水·七年级统考期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（

）A．2 B．3 C．2 D．3【变式6-2】（2023春·七年级单元测试）根据如图所示的计算程序，若输入的x的值为4，则输出的y的值为．【变式6-3】（2023春·全国·七年级专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是．【题型7新定义下的实数运算】【例7】（2023春·四川达州·七年级校考期末）对于实数a、b，定义mina，b的含义为∶当a<b时，min{a，b}=a；当a>b时，min{a，b}=b，例如∶min{1，−2}=−2．已知min{30，a}=a，【变式7-1】（2023春·江苏·七年级期末）我们规定用(a,b)表示一对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（其中a>0，b>0），将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“和谐数对”．例如：(4,1)的一对“和谐数对”为1(1)数对(16,5)的一对“和谐数对”是________；(2)若数对(9,b)的一对“和谐数对”相同，则b的值为________；(3)若数对(a,b)的一个“和谐数对”是(2,1)，直接写出ab的值________．【变式7-2】（2023春·全国·七年级专题练习）对于实数a，我们规定，用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：(1)仿照以上方法计算：[4]=_____；(2)计算：[1(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即10=3→[【变式7-3】（2023春·福建福州·七年级校考期末）如果有一个三位数p，百位数为9，十位数和个位数之和也是9，我们把这个三位数称为“九伴数”，把p的百位数和个位数互换位置得到数p′．并规定F（例如918∵1+8=9且百位是9∴918是“九伴数”，F（(1)若a=946，b=936，直接判断a，b是否是“九伴数”，如果是请求出F（a）或(2)若s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，①分别用含m，n的式子表示F（s）和F（②若2F（s）+F（t）=【题型8实数中的实际应用题】【例8】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（π≈3.14，结果精确到0.1）【变式8-1】（2023春·山东临沂·七年级统考期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2πlg，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2【变式8-2】（2023春·七年级课时练习）将一个半径为10cm的圆柱体容器里的药液倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？（结果精确到0.1）【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）（2）求所拼正方形的边长．【题型9实数中的规律探究题】【例9】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）按一定规律排列的一列数:3，82，153，244，其中第7A．437 B．637 C．357【变式9-1】（2023春·福建漳州·七年级校考阶段练习）22+4+1=3,32+6+1【变式9-2】（2023春·七年级课时练习）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对(m,n)表示第m排，从左到右第n个数，如(4,2)表示实数8，则这些实数中从小到大第十个有理数对应的有序数对是．【变式9-3】（2023春·全国·七年级专题练习）在草稿纸上计算：①13；②13+23；③13【题型10实数性质的综合应用】【例10】（2023春·七年级单元测试）已知a是19的整数部分，b是19的小数部分，求2a+b的值．【变式10-1】（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b<0，且b的倒数是它本身，且a、c满足c−42（1）计算：a2专题2.3实数【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1实数与数轴的综合应用】 1【题型2比较实数的大小】 4【题型3实数的有关运算】 6【题型4估算无理数】 8【题型5无理数整数部分或小数部分的有关计算】 10【题型6程序设计与实数的运算】 12【题型7新定义下的实数运算】 14【题型8实数中的实际应用题】 18【题型9实数中的规律探究题】 20【题型10实数性质的综合应用】 22【知识点1实数】无限不循环小数叫做无理数.常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．②含有π的绝大部分数，如2π．【题型1实数与数轴的综合应用】【例1】（2023春·七年级单元测试）如图，数轴上表示1，2的点分别为A，B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是（

）A．2−1 B．1−2 C．2−2【答案】A【分析】根据中点得AC=BC，然后从A点向左平移即可；【详解】解：∵点A是BC的中点，∴AC=BC=2∴点C所表示的数为：1−2故选：C【点睛】本题考查了无理数与数轴的关系、线段的中点性质等知识点，中点性质的运用是解题关键．【变式1-1】（2023春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么(b−a)2−|a+b|−3【答案】−3b【分析】根据实数a，b在数轴上对应的点的位置判断出：a，b，b−a，a+b的符号，再根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：a>0，b<0，且|a|>|b|，因此，a+b＞0，所以，(b−a)2故答案为：−3b【点睛】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及绝对值的性质等知识，正确判断符号是正确化简的前提．【变式1-2】（2023春·四川宜宾·七年级统考期中）如图，正方形ABCD的面积为7.顶点A在数轴上表示的数为1，点E在数轴上，且AD=AE，则点E表示的数是（

）A．7 B．7−1 C．1+7 【答案】A【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为7，所以AB=7，而AB=AE，得AE=7，A点的坐标为1，故E点的坐标为【详解】解：∵正方形ABCD的面积为7，即AB∴AB=7∵AB=AE，∴AE=7∵A点表示的数为1，∴E点表示的数为7+1【点睛】本题考查了实数与数轴有关的问题，算术平方根，关键是结合题意求出AB=AE=7【变式1-3】（2023春·河北沧州·七年级统考期中）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示3，设点A所表示的数为m．(1)实数m的值是______．(2)求m+22(3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有2c+4与d−4互为相反数，求2c+3d的立方根．【答案】(1)3(2)3(3)2【分析】（1）根据数轴上右加左减的规律求解即可；（2）把m的值代入m+22（3）根据非负数的性质求出c和d的值，再求求2c+3d的立方根．【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示3，∴实数m的值是3−2故答案为：3−2（2）解：当m=3m+2==3−=3（3）解：∵2c+4与d−4互为相反数，∴2c+4+∵d−4≥0，2c+4∴2c+4=0，d−4即2c+4=0，d−4=0，∴c=−2，d=4，∴3即2c+3d的立方根是2．【点睛】本题考查了非负数的性质，实数与数轴的关系，相反数的定义，以及立方根的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．【题型2比较实数的大小】【例2】（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）比较大小：5+12【答案】<【分析】根据实数比较大小的方法求解即可．【详解】解：5+122∴5+1∵52∴5<3∴5+1∴5+1又∵5+1∴5+1故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．【变式2-1】（2023·全国·七年级专题练习）比较2−1和2−【答案】2【分析】利用作差法及无理数的估算，即可比较出大小．【详解】解：2−1−∵22∴22∴−3+22∴2∴2【点睛】本题考查了无理数大小的比较方法-作差法，无理数的估算，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．【变式2-2】（2023春·江苏·七年级专题练习）若0<x<1，则下列关系式成立的是（

）A．x<1x<C．1x<x<x【答案】B【分析】可以采用取特殊值法，逐一求解，然后进行比较即可．【详解】解：∵0<x<1∴令x=∴1x=4，x∵1∴x2故选B．【点睛】本题主要考查了实数的大小比较、负整数指数幂、整数指数幂等知识点，灵活利用相关运算法则以及掌握特殊值法是解答本题的关键．【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）若a=39，b=5，c=2，则a，b，cA．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．a<b<c【答案】A【分析】根据无理数的估算判断出2<39<2.2【详解】解：∵8<9<10.648，∴2<3∵4.84<5，∴2.2<5∴2<39<【点睛】此题考查了实数的大小比较，无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．【题型3实数的有关运算】【例3】（2023·全国·七年级假期作业）若35取1.71，计算435A．71 B．171 C．1.71 D．17.1【答案】D【分析】先合并同类根式，然后将35【详解】解：4==当35取1.71时，100【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是合并同类立方根式，然后将数据代入进行运算．【变式3-1】（2023·江苏·七年级假期作业）若a、b、c是有理数，且满足等式a＋b2＋c3＝2﹣2＋33，试计算（a﹣c）2013＋b2014的值．【答案】0【分析】根据题意得出a＝2，b＝﹣1，c＝3，再代入即可求值．【详解】解：∵a、b、c是有理数，且满足等式a＋b2＋c3＝2﹣2＋33，∴a＝2，b＝﹣1，c＝3，则（a﹣c）2013+b2014＝﹣12013+（﹣1）2014＝0．【点评】本题考查了实数的运算，理解实数的意义，求出a、b、c的值是解题关键．【变式3-2】（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）计算下列各题：(1)−35÷(−7)×(−(2)−【答案】(1)182(2)13【分析】（1）根据有理数混合运算的法则进行计算即可；（2）先算括号里面的，再算乘方，乘法，最后算加减即可．【详解】（1）解：原式＝5×（﹣17）﹣23×（﹣60）+112＝﹣57＝182（2）原式＝﹣1﹣0.5×43＝﹣1﹣23＝﹣1+4＝13【点睛】本题考查的是实数的运算，在解答此类问题时要注意各种运算律的灵活应用．【变式3-3】（2023·全国·七年级专题练习）计算下列各题：（1）16+（2）7−2（3）−62【答案】（1）118；（2）−π；（3）【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可得；（2）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算实数的加减即可得；（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可得．【详解】解：（1）原式=4+(−3)−1=4−3−1=11（2）原式=7−2=7−2=−π；（3）原式=36=6+2=8+2【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．【知识点2估算法】（1）若，则；（2）若，则；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．常见实数的估算值：，，．【题型4估算无理数】【例4】（2023春·四川成都·七年级成都七中校考期中）在数轴上表示−5和330的两点之间表示整数的点有（A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】首先对−5和330进行估算，然后把−5【详解】解：∵4<5<9，∴2<5∴−3<−5∵27<30<64，∴3<3把−5和3∴表示−5和330的两点之间的整数有−2、−1、0、1、2、3，共有故选：A【点睛】本题考查了无理数的估算、数轴，解本题的关键在正确估算出−5和3【变式4-1】（2023春·七年级单元测试）判断11+1之值介于下列哪两个整数之间？（

A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7【答案】B【分析】根据9<11<16，估算出11在哪两个整数之间，再根据不等式的基本性质即可得出结论．【详解】解：∵9<11<16，∴3<11∴3+1<11∴4<11【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．【变式4-2】（2023春·河北石家庄·七年级校考期末）如图，在数轴上标有O，A，B，C，D五个点，根据图中各点所表示的数，判断12应该在下列线段的（

）

A．OA上 B．AB上 C．BC上 D．CD上【答案】B【分析】计算已知点的平方，再进行判断即可．【详解】解：∵2.52=6.25∴2.5<12∴12在数轴上的位置会在线段AB上，【点睛】本题考查无理数的估算，数轴表示数的意义和方法，正确的估算无理数的大小是正确判断的前提．【变式4-3】（2023春·四川资阳·七年级统考期末）规定a表示小于a的最大整数，如3=2，10=3．现将37进行如下操作：37 【答案】677【分析】根据可用a表示小于a的最大整数，反推回去每次求最小整数可得答案．【详解】解：∵第四次2=1，最小整数为则第三次为22+1=第二次为52+1=第一次为262+1=故答案为：677【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了任何实数a，用a表示小于a的最大整数，反推是解题的关键．【题型5无理数整数部分或小数部分的有关计算】【例5】（2023春·湖北宜昌·七年级校联考期中）若n<10<n+1，m<−8<m+1，其中m、n【答案】0【分析】根据平方根的定义估算出n＜10＜n＋1和m＜−8＜m＋1在各自范围内的数，求出【详解】由题意可知，求出10和8的整数部分，可得，∵32＜10＜42，∴3＜10＜4，即n＝3，∵22＜8＜32，∴－3＜－8＜－2，即m＝－3，∴m＋n＝0，故答案为0.【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握该方法是本题解题的关键.【变式5-1】（2023春·广东河源·七年级校考阶段练习）已知k是5的小数部分，则1k+1=【答案】1【分析】先估算出k的值，再代入化简即可．【详解】解：∵2<5∴k=5∴1故答案为：1【点睛】本题考查无理数的估算、二次根式的化简，掌握二次根式的运算法则是得出正确答案的前提．【变式5-2】（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）已知6+10的小数部分为a，6−10的小数部分为b，则a+b2023A．1 B．−1 C．10 D．36【答案】D【分析】根据题意得出a=10【详解】解：∵3<10∴9<6+10<10∴6+10的小数部分为6+10−9=10−3∴a=∴a+b2023【点睛】本题考查了无理数的估算，根据题意得出a=10【变式5-3】（2023春·四川眉山·七年级校考期中）已知6+11的整数部分为a，6−11的小数部分为(1)求a+b的值；(2)求a−b的值．【答案】(1)13−(2)5+【分析】（1）先估算出3<11<4，进而得到9<6+11<10，2<6−11（2）根据（1）所求进行求解即可．【详解】（1）解：∵9<11<16，∴3<11∴9<6+11<10，∴2<6−11∴a=9，∴a+b=9+4−11（2）解：由（1）得a−b=9−4−【点睛】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a、b的值是解题的关键．【题型6程序设计与实数的运算】【例6】（2023·七年级单元测试）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】D【分析】根据运算规则即可求解．【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，16=③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式6-1】（2023春·贵州六盘水·七年级统考期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（

）A．2 B．3 C．2 D．3【答案】D【分析】把x=2代入程序，重复计算x2−1，直到结果小于【详解】解：把x=2代入程序，x2把x=3代入程序，x输出2，故选A．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，实数大小的比较，解题关键是根据程序进行计算求解．【变式6-2】（2023春·七年级单元测试）根据如图所示的计算程序，若输入的x的值为4，则输出的y的值为．【答案】1【分析】先把x=4=2＜4，代入12【详解】当x=4=2时，y=12故答案为1．【点睛】本题考查了代数式求值和算术平方根，解答本题的关键就是弄清楚图中给出的计算程序．【变式6-3】（2023春·全国·七年级专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是．【答案】2【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．【详解】解：64＝8，38＝2，2的算术平方根是2故答案为：2．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．【题型7新定义下的实数运算】【例7】（2023春·四川达州·七年级校考期末）对于实数a、b，定义mina，b的含义为∶当a<b时，min{a，b}=a；当a>b时，min{a，b}=b，例如∶min{1，−2}=−2．已知min{30，a}=a，【答案】4【分析】根据a和b的范围，求出a和b的值，然后代入2a−b即可求解．【详解】解：∵min30，a∴a＜∵a和b为两个连续正整数，5＜∴a=5，∴2a−b=2×5−6=4．故答案为：4【点睛】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．【变式7-1】（2023春·江苏·七年级期末）我们规定用(a,b)表示一对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（其中a>0，b>0），将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“和谐数对”．例如：(4,1)的一对“和谐数对”为1(1)数对(16,5)的一对“和谐数对”是________；(2)若数对(9,b)的一对“和谐数对”相同，则b的值为________；(3)若数对(a,b)的一个“和谐数对”是(2,1)，直接写出ab的值________．【答案】(1)14,(2)1(3)14【分析】（1）利用“和谐数对”的规定解答即可；（2）利用“和谐数对”的定义列出关于b的等式解答即可；（3）利用“和谐数对”的定义列出关于a、b的等式解答即可．【详解】（1）解：∵m=116=∴数对(16,5)的一对“和谐数对”是14,5故答案为：14,5（2）解：∵数对(9,b)的一对“和谐数对”相同，∴1∴b=1故答案为：19（3）解：∵数对(a,b)的一个“和谐数对”是(2,1)，∴m=1a=2，n=b=1∴a=14，b=1，或a=1，∴ab=14故答案为：14【点睛】本题主要考查了新定义的实数运算，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．【变式7-2】（2023春·全国·七年级专题练习）对于实数a，我们规定，用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：(1)仿照以上方法计算：[4]=_____；(2)计算：[1(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即10=3→[【答案】(1)2；6(2)131(3)255【分析】（1）根据题目所给的定义进行求解即可；（2）通过计算发现，所求的和中共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5和1个6，将这些数字相加即可得到答案；（3）根据题目所给定义可知，经过4次操作后结果为1的最小正整数为256，则可得经过3次操作后结果为1的最大正整数为255．【详解】（1）解：∵4=2∴4=2∵36<37<49，∴6<37∴37=6故答案为：2；6；（2）解：∵1=1∴[=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6=131；（3）解：∵256=16∴256=16，16=4，4=2∴256刚好经过4次操作后的结果为1，∵255=15，15=3，∴255刚好经过3次操作后的结果为1，∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，算术平方根，正确理解题意是解题的关键．【变式7-3】（2023春·福建福州·七年级校考期末）如果有一个三位数p，百位数为9，十位数和个位数之和也是9，我们把这个三位数称为“九伴数”，把p的百位数和个位数互换位置得到数p′．并规定F（例如918∵1+8=9且百位是9∴918是“九伴数”，F（(1)若a=946，b=936，直接判断a，b是否是“九伴数”，如果是请求出F（a）或(2)若s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，①分别用含m，n的式子表示F（s）和F（②若2F（s）+F（t）=【答案】(1)a不是“九伴数”，b是“九伴数”，175(2)①F（s）【分析】（1）按照“九伴数”定义验证即可；（2）①根据s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，n，用m，n表示出s和t，表示出F（s）、F（t）；②根据2F（s）+F（【详解】（1）∵4+6=10，∴a不是“九伴数”，∵3+6=9，∴b是“九伴数”，∴F（（2）①∵s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，n，∴s=900+10（t=900+10（∴F（F（②∵2F（∴2（∴n+2m=23，∴m=7，m=8，m=9，∴s=927，s=918，s=909，∴当s=927，nF(s)＝9927＝1103，m此时mF(t)＞nF(s)，当s=918，nF(s)＝7918，mF(t)此时mF(t)＞nF(s)，当s=909，nF(s)＝5909，mF(t)此时mF(t)＞nF(s)，【点睛】此题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是读懂题意并根据新定义做题．【题型8实数中的实际应用题】【例8】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（π≈3.14，结果精确到0.1）【答案】1.2平方米【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。【详解】解：由题意得，正方形的边长为2米，则半圆的半径为r=2剩下的木料的面积=2−12π≈2−1=2−0.785，=1.215，≈1.2（平方米）答：剩下的木料的面积约为1.2平方米．【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系．【变式8-1】（2023春·山东临沂·七年级统考期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2πlg，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2【答案】42次【分析】根据题意可知，直接把数值代入公式中进行计算即可．【详解】解：T＝2π0.59.8≈1.42，60÷1.42答：在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．【点睛】本题考查了实数的应用.认真审题找准数值是关键．【变式8-2】（2023春·七年级课时练习）将一个半径为10cm的圆柱体容器里的药液倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？（结果精确到0.1）【答案】17.7cm【分析】由题意得，圆柱体和长方体里面的药液是一样的，所以体积相同，根据高度一样，结合体积公式可得两个容器底面积相等，列出式子求出即可．【详解】解：由题意得两个容器底面积相等，所以体积相同，再根据体积公式可得两个容器的底面积相等，即正方形面积为π×102＝100π设长方体容器底面边长为x∴x2=100π∴x==100π长方体容器底面边长为100π≈17.7cm．答：长方体容器的底面边长约为17.7cm．【点睛】本题主要考查了实数的实际应用，能够得出底面积相等，列出方程，准确的解出方程是解决本题的关键．【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）（2）求所拼正方形的边长．【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为2cm【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为xcm【详解】（1）如图，∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据题意得x∴x=2答：拼成的正方形边长为2cm【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割．【题型9实数中的规律探究题】【例9】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）按一定规律排列的一列数:3，82，153，244，其中第7A．437 B．637 C．357【答案】B【分析】观察这列数，得到分子和分母的规律，进而得到答案．【详解】解：根据一列数：3，82=32−1第n个数分母是n，分子是(n+1)2-1的算术平方根，据此可知：第7个数是82​故选B．【点睛】此题考查了数字的变化类，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键，难点在于观察出分子的变化．【变式9-1】（2023春·福建漳州·七年级校考阶段练习）22+4+1=3,32+6+1【答案】n【分析】观察被开方数所隐含的规律，然后用含字母n的式子表示规律即可．【详解】∵22＋4＋1＝22＋2×2×1＋132＋6＋1＝32＋2×4×1＋1；42＋8＋1＝42＋2×4×1＋1；52＋10＋1＝22＋2×5×1＋1；…∴n故答案为n2【点睛】本题主要考查的是算术平方根、探究数字的变化规律，掌握被开放数的变化规律是解题的关键．【变式9-2】（2023春·七年级课时练习）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对(m,n)表示第m排，从左到右第n个数，如(4,2)表示实数8，则这些实数中从小到大第十个有理数对应的有序数对是．【答案】（14，9）【分析】根据题意可知第十个有理数为10，即100，根据第m排有m个数，找到第100个数即可求解．【详解】解：依题意