2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第2章 一元二次方程（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第2章一元二次方程（知识归纳+题型突破）1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.题型一一元二次方程的相关概念【例1】下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5巩固训练：1．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是3，它的一个根是2，则这个方程为．2．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（

）A．， B．， C．， D．，3．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是．4．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(

)A．1 B． C． D．25．若是关x的方程的解，则的值为．6．若实数，分别满足，，且，则的值为．7．设，是方程的两个根，则．题型二一元二次方程的解法【例2】用适当的方法解下列一元二次方程（1）4（x-1）2-36=0（直接开平方法）（2）x2+2x-3=0（配方法）（3）x（x-4）=8-2x（因式分解法）（4）（x+1）（x-2）=4（公式法）巩固训练：1．用适当方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．2．用配方法解方程，则方程可变形为（

）A． B． C． D．3．x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（

）A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x＋1＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x﹣1＝04．解下列方程：①

②

③

④．较简便的方法依次是（

）A．直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法B．因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法C．直接开平方法，公式法，公式法，因式分解法D．直接开平方法，公式法，因式分解法，因式分解法5．若，则的值为（

）A． B．4 C．或4 D．3或4题型三一元二次方程根的判别式【例3】关于x的方程（m-2）x2-4x+1=0有实数根，则m的取值范围是（

）A．m≤6 B．m<6 C．m≤6且m≠2 D．m<6且m≠2巩固训练：1．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围（）A． B．且 C．且 D．2．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是．3．关于的一元二次方程有两个实数根．(1)求的取值范围；(2)若的两条直角边的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．4．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围：（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根．题型四一元二次方程根与系数的关系【例4】．20．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（）A． B． C． D．巩固训练：1．若，是一元二次方程的两根，则的值为(

)A．2020 B．2019 C．2018 D．20172．已知，是方程的两根，则的值为（

）A． B． C． D．3．关于的方程有实数根，方程的两根分别是、，且，则值是（

）A． B． C． D．4．已知关于的一元二次方程．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若，且该方程的两个实数根的平方和为10，求的值．题型五配方法的应用【例5】．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（）A． B． C． D．不能确定巩固训练：1．若，则p的最小值是（

）A．2021 B．2015 C．2016 D．没有最小值2．已知实数的最大值为.3．已知，则的值是．4．阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．材料二：对于实数a，b，若，则．完成问题：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若实数m，n满足．求的最大值．题型六一元二次方程的实际应用【例6】．某超市一月份的营业额为3万元，第一季度的营业额共为15万元，如果每个月的平均增长率为，则由题意可列方程为（

）A． B． C．D．巩固训练：1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（

）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人2．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．3．如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出安装木门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为．4．某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（）元．A．10 B．15 C．20 D．255．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步，”意思是：一个矩形的面积为平方步，宽比长少步，问宽和长各多少步？如果设矩形的长为步，由题意，可列方程为．6．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的乘积为736，求原来的两位数．7．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由．8．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？题型七一元二次方程的几何应用【例7】．将一个边长为4的正方形分割成如图所示的9部分，其中全等，也全等，中间小正方形的面积与面积相等，且是以为底的等腰三角形，则的面积为（

）

A．2 B． C． D．巩固训练：1．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，(1)的面积等于平方厘米？(2)五边形的面积最小？最小值是多少？2．如图1，在平面直⻆坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，连接，，的面积为32．(1)求的长；(2)如图2，点D是第一象限内一点，连接，，，，求度数；(3)如图3，在（2）的条件下，点E是第四象限内一点，连接，且，点F在的延长线上，2∠EFB=∠ODE+∠DOE，OF=OE+OA，求点D的坐标．3．已知正方形，为上动点，，于，延长交于点．(1)如图1，当时，；(2)如图2，，求；(3)如图3，若，直线写出的值______．题型八材料信息题【例8】．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：(1)若是倍根方程，求的值；(2)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图像上，求此倍根方程的表达式．巩固训练：1．已知关于x的方程，其中p，q都是实数．(1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值．(2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值．(3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．2．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为的4倍，且，求的值．(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可