2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）第01讲 二次根式的概念与性质（4个知识点+5类题型）-八年级数学下册同步学与练（浙教版）（原卷版）

第01讲二次根式的概念与性质（4个知识点+5类题型）课程标准学习目标1.二次根式的概念；2.二次根式有无意义的条件；3.二次根式的性质与化简；1.掌握二次根式的概念；2.掌握二次根式有无意义的条件；3、掌握二次根式的性质与化简；知识点01.二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.【即学即练1】1、（2023秋•云岩区月考）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【即学即练2】2、（2023春•宜城市期末）在式子，，，x+y中，二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知识点02.二次根式有无意义的条件：

（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【即学即练3】3、（2023•大理州二模）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≥5 C．x≥﹣5 D．x≤5【即学即练4】4、（2023秋•宁安市期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠0 D．x＞0且x≠2知识点03.二次根式的性质：（1），（双重非负性）．（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．应用：在实数范围内分解因式：（3）（4）=·（a≥0，b≥0）（5）=（a≥0，b>0）【即学即练5】5、（2023春•无棣县期末）下列等式正确的是（）A．＝﹣2 B．＝±9 C．＝﹣2 D．＝﹣5【即学即练6】6、（2023春•新市区校级期末）下列各式中，正确的是（）A． B．﹣ C． D．知识点04.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．（2）最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【即学即练7】7、（2023秋•石鼓区期末）若a＜0，则化简|a﹣3|﹣的结果为（）A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3【即学即练8】8、（2023春•广阳区校级期末）当1＜a＜2时，代数式+的值是（）A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a题型01求二次根式的值1．（2023下·八年级课时练习）当时，二次根式的值为（

）A．2 B． C． D．2．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（）A．2 B．±2 C．4 D．±43、（2023下·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）当时，二次根式的值为．4．（2023下·浙江·八年级专题练习）当时，二次根式的值为．5．（2023上·浙江宁波·七年级校考期中）当a＝2，b＝1.5时，求下列代数式的值．（1）a2+2ab+b2（2）+ab+1．题型02求二次根式中的参数1．（2023下·八年级单元测试）已知是正整数，则实数n的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）已知是整数，则正整数n的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．83．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足，则的值是.4．（2023上·河北邢台·八年级统考期末）若是二次根式，则a的取值范围是；若是正整数，则正整数a的最小值是．5．（2023下·福建福州·七年级统考期中）阅读材料并解决下列问题：已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值．解：∵5﹣﹣a即5﹣∴2b﹣a＝5，﹣a＝解得：a＝﹣（1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝，b＝．（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根．题型03二次根式有意义的条件1．（2023下·浙江绍兴·八年级校联考期中）如果有意义，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023下·浙江衢州·八年级期中）代数式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．一切实数3．（2023下·浙江·八年级开学考试）若，为实数，且，则的值为．4．（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）代数式的值等于．5．（2023下·浙江·八年级专题练习）已知．(1)求的值；(2)求的值．题型04利用二次根式的性质化简1．（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）若，则x的值不能是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2024·全国·八年级假期作业）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式；乙的解答为：原式，在两人的解法中（）A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定3．（2023上·四川达州·八年级校考期中）若，那么的结果是4．（2023上·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）已知：，化简：．5．（2023下·八年级单元测试）计算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．题型05复合二次根式的化简1．（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（

）因为，①，②所以.③所以.④A．① B．② C．③ D．④2．（2023上·上海宝山·八年级统考期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为．4．（2023下·湖北恩施·八年级统考期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”．5．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）阅读材料：小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．(3)化简：．A夯实基础1．（2023下·广西南宁·八年级统考期末）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）使式子有意义的实数的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且3．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如果二次根式有意义，则a的取值范围是．4．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期中）已知x、y为实数，且．则的平方根．5．（2023上·浙江·八年级专题练习）求下列函数的自变量x的取值范围：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．6．（2023上·江苏·八年级专题练习）（1）已知的平方根是的平方根是，求的平方根；（2）若都是实数，且，求的立方根．B能力提升1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数中，自变量x的取值范围为（

）．A． B． C．且 D．2．（2023上·四川达州·九年级校考阶段练习）若则x的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023上·陕西西安·八年级西安市航天中学校考阶段练习）已知，则的平方根等于．4．（2023上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：化简：．5．（2023上·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值．，且，当时，有最小值．请根据上述方法，解答下列问题：(1)若，则的值是___________．(2)求证：无论取何值都有意义；(3)若代数式的最小值为2，求的值6．（2023下·七年级课时练习）已知．求的值．C综合素养1．（2024下·全国·八年级假期作业）已知的三边长分别为a，2，3，则化简的结果为（

）A． B． C．5 D．－52．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式，得（

）A． B． C． D．3．（2023下·七年级课时练习）已知为有理数，求的值为．4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）问题探究：因为，所以，因为，所以请