人教数学九年级下册全册相似学案

测试1图形的相似学习要求1．理解相似图形、相似多边形和相似比的概念．2．掌握相似多边形的两个基本性质．3．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质．课堂学习检测一、填空题1．________________________是相似图形．2．对于四条线段a，b，c，d，如果____________与____________(如)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________．3．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形．4．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________．5．相似多边形的两个基本性质是____________，____________．6．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________．反之亦真．即______(a，b，c，d不为零)．7．已知2a－3b＝0，b≠0，则a∶b＝______8．若则x＝______．9．若则______．10．在一张比例尺为1∶20000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，则A，B两地实际距离为______m．二、选择题11．在下面的图形中，形状相似的一组是()12．下列图形一定是相似图形的是()A．任意两个菱形 B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形 D．两个矩形13．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有()A．1种 B．2种 C．3种 D．4种三、解答题14．＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；(2)A′B′和BC的长；(3)D′C′∶DC．综合、运用、诊断15．已知：如图，△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．16．已知：如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．拓展、探究、思考17．如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD．如图乙所示，线段EF＝10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?测试2相似三角形学习要求1．理解相似三角形的有关概念，能正确找到对应角、对应边．2．掌握相似三角形判定的基本定理．课堂学习检测一、填空题1．△DEF∽△ABC表示△DEF与△ABC______，其中D点与______对应，E点与______对应，F点与______对应；∠E＝______；DE∶AB＝______∶BC，AC∶DF＝AB∶______．2．△DEF∽△ABC，若相似比k＝1，则△DEF______△ABC；若相似比k＝2，则______，______．3．若△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k1；△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为k2，则△ABC______△A2B2C4．相似三角形判定的基本定理是平行于三角形____________和其他两边相交，所_________________与原三角形______．5．已知：如图，△ADE中，BC∥DE，则①△ADE∽______；②③二、解答题6．已知：如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式．(1)若△ADC∽△CDB；(2)若△ACD∽△ABC；(3)若△BCD∽△BAC．综合、运用、诊断7．已知：如图，△ABC中，AB＝20cm，BC＝15cm，AD＝，DE∥BC．求DE的长．8．已知：如图，AD∥BE∥CF．(1)求证：(2)若AB＝4，BC＝6，DE＝5，求EF．9．如图所示，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．求证：PA∶PB＝PC∶PD．拓展、探究、思考10．已知：如图，E是□ABCD的边AD上的一点，且，CE交BD于点F，BF＝15cm，求DF的长．11．已知：如图，AD是△ABC的中线．(1)若E为AD的中点，射线CE交AB于F，求；(2)若E为AD上的一点，且，射线CE交AB于F，求测试3相似三角形的判定学习要求1．掌握相似三角形的判定定理．2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算．课堂学习检测一、填空题1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．6．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．7．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A'C′＝2cm，A′B′＝，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．8．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝，EF＝，FD＝，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．9．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．9题图10．如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．10题图二、选择题11．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是()A．∠B＝∠DACB．∠BAC＝∠ADCC．AC2＝DC·BCD．AD2＝BD·BC12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是()A．5 B．C． D．13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是()三、解答题14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，(1)图中有哪两个三角形相似?(2)求证：AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA；(3)若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD；(4)若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；(5)求证：AC·BC＝AB·CD．15．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；(2)△ODE∽△OAB；(3)△ABC∽△DEF．综合、运用、诊断16．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C．求证：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB．17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD＝BE·EC．18．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD·BC＝OB·BD．19．如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦CF交AB于E．求证：CB2＝CF·CE．拓展、探究、思考20．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．22．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．测试4相似三角形应用举例学习要求能运用相似三角形的知识，解决简单的实际问题．课堂学习检测一、选择题1．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是()A．15m B．60m C．20m D．2．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为()A． B． C． D．3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝，那么窗户的高AB为()第3题图A． B． C． D．4．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角，梯上点D距离墙，BD长，则梯子长为()第4题图A． B． C． D．二、填空题5．如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝，则树AB的高度为______m．第5题图6．如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm．第6题图三、解答题7．已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求它的边长．8．如果课本上正文字的大小为4mm×(高×宽)，一学生座位到黑板的距离是5m，教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?综合、运用、诊断9．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?10．(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，AB∥A′B′)，可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?11．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为的黄丽同学BC的影长BA为，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度．(精确到)12．(1)已知：如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OE⊥BC于E点，连结ED交OC于F点，作FG⊥BC于G点，求证点G是线段BC的一个三等分点．(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．(要求：写出作法，保留画图痕迹，不要求证明)测试5相似三角形的性质学习要求掌握相似三角形的性质，解决有关的计算或证明问题．课堂学习检测一、填空题1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角的角平分线之比等于______．3．相似三角形的周长比等于______．4．相似三角形的面积比等于______．5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______．6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．8．同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______，面积比是______．9．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______，面积比是______．10．同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______，面积比是______．11．正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______，面积比是______．12．在比例尺1∶1000的地图上，1cm2所表示的实际面积是______．二、选择题13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为()A．9∶4 B．4∶9C．3∶2 D．81∶1614．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB的面积为()A．18 B．27C．36 D．4515．如图所示，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若，则此三角形移动的距离AA'是()A． B． C．1 D．三、解答题16．已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF的面积∶四边形EMNF的面积∶四边形MBCN的面积．综合、运用、诊断17．已知：如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是角平分线．(1)求证：AD2＝CD·AC；(2)若AC＝a，求AD．18．已知：如图，□ABCD中，E是BC边上一点，且相交于F点．(1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比；(2)若△BEF的面积S△BEF＝6cm2，求△AFD的面积S△AFD．19．已知：如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．拓展、探究、思考20．已知：如图所示，以线段AB上的两点C，D为顶点，作等边△PCD．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB．(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB．21．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于O点，若S△AOD∶S△DOC＝2∶3，求S△AOB∶S△COD．22．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．测试6位似学习要求1．理解位似图形的有关概念，能利用位似变换将一个图形放大或缩小．2．能用坐标表示位似变形下图形的位置．课堂学习检测1．已知：四边形ABCD及点O，试以O点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍．(1)(2)(3)(4)2．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为()A．(0，0)，2B．(2，2)，C．(2，2)，2D．(2，2)，3综合、运用、诊断3．相似比为1∶2，并写出各对应顶点的坐标．4．已知：如下图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D点的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．(1)求E点和A点的坐标；(2)试以点P(0，2)为位似中心，作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后，再作关于x轴的对称图形，得到图形A2B2C2D2E2拓展、探究、思考5．在已知三角形内求作内接正方形．6．在已知半圆内求作内接正方形．答案与提示第二十七章相似测试11．形状相同的图形．2．其中两条线段的比，另两条线段的比相等，比例线段．3．对应角相等，对应边的比相等．4．对应边的比，全等，5．对应角相等，对应边的比相等．6．两个内项之积等于两个外项之积，ad＝bc．7．3∶2．8．9．1．10．1000．11．C．12．B．13．C．14．(1)k＝2∶3；(2)A＇B＇＝9，BC＝8；(3)3∶2．15．16．相似．17．时，S的最大值为测试21．相似，A点，B点，C点，∠B，EF，DE．2．≌，2，3．∽；k1k2．4．一边的直线，构成的三角形，相似．5．①△ABC；②AC，DE；③EC，CE．6．(1)(2)(3)7．．8．(1)提示：过A点作直线AF＇∥DF，交直线BE于E＇，交直线CF于F＇．．9．提示：PA∶PB＝PM∶PN，PC∶PO＝PM∶PN．10．OF＝6cm．提示：△DEF∽△BCF．11．(1)(2)1∶2k．测试31．平行于，直线，相交．2．三组，比相等．3．两组，相应的夹角．4．两个，两个角对应相等．5．△ABC∽△A＇C＇B＇，因为这两个三角形中有两对角对应相等．6．△ABC∽△A＇B＇C＇．因为这两个三角形中有两对角对应相等．7．△ABC∽△A＇B＇C＇，因为这两个三角形中，有两组对应边的比相等，且相应的夹角相等．8．△ABC∽△DFE．因为这两个三角形中，三组对应边的比相等．9．6对．10．6对．11．D．12．D．13．A．14．(1)△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△ACB∽△CDB；(2)略；(3)(4)(5)提示：AC·BC＝2S△ABC＝AB·CD．15．提示：(1)OD∶OA＝OF∶OC，OE∶OB＝OF∶OC；(2)OD∶OA＝OE∶OB，∠DOE＝∠AOB，得△ODE∽△OAB；(3)证DF∶AC＝EF∶BC＝DE∶AB．16．略．17．提示：连结AE、ED，证△ABE∽△ECD．18．提示：关键是证明△OBC∽△ADB．∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°．∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC．∴∠OBC＝90°．∴∠D＝∠OBC．∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC．∴△ADB∽△OBC．∴AD·BC＝OB·BD．19．提示：连接BF、AC，证∠CFB＝∠CBE20．提示：过C作CM∥BA，交ED于M．21．相似．提示：由△BHA∽△AHC得再有BA＝BD，AC＝AE．则：再有∠HBD＝∠HAE，得△BDH∽△AEH．22．提示：可证△APE∽△ACB，则则测试41．A．2．B．3．A．4．C．5．3．6．12．7．48mm．8．教师在黑板上写的字的大小约为7cm×6cm(高×宽)．9．树高．10．11．∵EF∥AC，∴∠CAB＝∠EFD．又∠CBA＝∠EDF＝90°，∴△ABC∽△FDE．故教学楼的高度约为．12．(1)提示：先证EF∶ED＝1∶3．(2)略．测试51．相等，相似比．2．相似比、相似比、相似比．3．相似比．4．相似比的平方．5．相似比．相似比的平方．6．4∶5．7．5∶2，25∶4．8．1∶2，1∶4．9．10．11．12．100m2．13．C.14．C．15．A．16．1∶3∶5．17．(1)提示：证△ABC∽△BCD；(2)18．(1)(2)54cm2．19．(1)(2)20．(1)CD2＝AC·DB；(2)∠APB＝120°．21．4∶922．BP＝2，或或9．当BP＝2时，S△ABP∶S△PCD＝1∶9；当时，S△ABP∶S△DCP＝1∶4；当BP＝9时，S△ABP：S△PCD＝9∶4．测试61．略．2．C．3．图略．A＇(－2，1)，B＇(－1，－2)，C＇(3，－1)，D＇(1，2)．4．(1)(2)B1(3，2)，C1(3，－1)，D1(9，－1)，E1(9，2)；(3)B2(7，－2)，C2(7，1)，D2(13，1)，E2(13，－2)．5．方法1：利用位似形的性质作图法(图16)图16作法：(1)在AB上任取一点G＇，作G＇D＇⊥BC；(2)以G＇D＇为边，在△ABC内作一正方形D＇E＇F＇G＇；(3)连结BF＇，延长交AC于F；(4)作FG∥CB，交AB于G，从F，G各作BC的垂线FE，GD，那么DEFG就是所求作的内接正方形．方法2：利用代数解析法作图(图17)图17(1)作AH(h)⊥BC(a)；(2)求h＋a，a，h的比例第四项x；(3)在AH上取KH＝x；(4)过K作GF∥BC，交两边于G，F，从G，F各作BC的垂线GD，FE，那么DEFG就是所求的内接正方形．6．提示：正方形EFGH即为所求．第二十七章相似全章测试一、选择题1．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为()第1题图A． B． C． D．2．如图所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是()第2题图A． B．C． D．3．如图所示，在△ABC中∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于E点，则下列结论正确的是()第3题图A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC4．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，，AC＝3，则CD长为()第4题图A．1 B． C．2 D．5．若P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线共有()A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是()第6题图A． B．C． D．7．如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是()第7题图A．PA·AB＝PC·PB B．PA·PB＝PC·PDC．PA·AB＝PC·CD D．PA∶PB＝PC∶PD8．如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件第8题图①∠B＋∠DAC＝90°②∠B＝∠DAC③CD：AD＝AC：AB④AB2＝BD·BC其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有()A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题9．如图9所示，身高的小华站在距路灯杆5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为，则路灯的高度AB为______．图910．如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且，射线CF交AB于E点，则等于______．第10题图11．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE∶EB＝2∶3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为______第11题图12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______．三、解答题13．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．14．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．15．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)16．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．17．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．(1)求∠D的度数；(2)求证：AC2＝AD·CE．18．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．19．已知：如图，△ABC中，AB＝4，D是AB边上的一个动点，DE∥BC，连结DC，设△ABC的面积为S，△DCE的面积为S′．(1)当D为AB边的中点时，求S′∶S的值；(2)若设试求y与x之间的函数关系式及x的取值范围．20．已知：如图，抛物线y＝x2－x－1与y轴交