2024-2025学年新教材高中数学 第6章 导数及其应用 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.2 第2课时 函数最值的求法教案 新人教B版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2第2课时函数最值的求法教案新人教B版选择性必修第三册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析“2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2第2课时函数最值的求法教案新人教B版选择性必修第三册”的内容主要包括利用导数研究函数的单调性以及利用单调性求函数的最值。本课时主要让学生掌握利用导数研究函数单调性的方法，以及如何利用单调性求函数的最值。

本节课的内容与学生的日常生活和实际应用密切相关，能够激发学生的学习兴趣。同时，本节课的内容也是后续深入学习高中数学的基础，对于学生来说具有重要的意义。

在教学过程中，应注重引导学生通过自主学习、合作讨论等方式，深入理解导数与函数单调性之间的关系，掌握利用单调性求函数最值的方法，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。二、核心素养目标本节课的核心素养目标包括：逻辑推理、数学建模、数学抽象和数学运算。通过本节课的学习，学生应能够：

1.逻辑推理：学生能够通过导数与函数单调性之间的关系，推理出利用单调性求函数最值的方法，并能够运用这一方法解决实际问题。

2.数学建模：学生能够通过实例，建立数学模型，利用导数研究函数的单调性，并求出函数的最值。

3.数学抽象：学生能够理解导数与函数单调性之间的关系，并能够将其抽象为一般的数学规律。

4.数学运算：学生能够熟练运用导数求函数的单调性，并利用单调性求函数的最值。三、教学难点与重点1.教学重点

（1）理解导数与函数单调性的关系：学生需要掌握导数的概念，了解导数与函数单调性之间的关系，能够通过导数判断函数的单调性。

（2）掌握利用单调性求函数最值的方法：学生应能够根据函数的单调性，判断函数的最值所在，并能够运用这一方法求解实际问题。

（3）熟练运用导数研究函数的单调性和最值：学生需要通过实例，掌握如何利用导数研究函数的单调性，并求出函数的最值。

2.教学难点

（1）导数与函数单调性的关系：学生难以理解导数的概念，以及导数如何反映函数的单调性，需要通过大量的实例和练习，让学生感受导数与单调性之间的关系。

（2）利用单调性求函数最值的方法：学生难以把握利用单调性求函数最值的方法，需要通过具体的实例，引导学生掌握这一方法。

（3）解决实际问题：学生难以将所学的知识应用于解决实际问题，需要通过一些生活化的实例，让学生体会数学与生活的联系，提高学生解决实际问题的能力。

（4）数学思维的培养：学生在学习过程中，需要培养数学思维，掌握从实际问题中抽象出数学模型的方法，以及运用数学知识解决实际问题的能力。四、教学方法与策略1.教学方法

（1）讲授法：在课堂上，教师将利用导数研究函数单调性以及求函数最值的基本原理和思路进行讲解，帮助学生理解并掌握相关知识点。

（2）案例研究法：通过分析具体的实例，让学生理解导数与函数单调性之间的关系，以及如何利用单调性求函数最值。

（3）小组讨论法：在课堂上，教师将组织学生进行小组讨论，让学生分享自己的学习心得，互相学习和交流，提高学生的合作能力和沟通能力。

2.教学活动

（1）角色扮演：教师可以让学生扮演导数和函数的角色，通过角色扮演，让学生更加生动地理解导数与函数之间的关系。

（2）实验：教师可以组织学生进行数学实验，让学生通过实验验证导数与函数单调性之间的关系，提高学生的实践能力和创新能力。

（3）游戏：教师可以设计一些与导数和函数相关的游戏，让学生在游戏中学习，提高学生的学习兴趣和学习积极性。

3.教学媒体和资源

（1）PPT：教师可以使用PPT辅助教学，通过生动的图片和动画，让学生更加直观地理解导数与函数之间的关系。

（2）视频：教师可以播放一些与导数和函数相关的视频，让学生通过视频学习，提高学生的学习效果。

（3）在线工具：教师可以引导学生使用在线数学工具，如计算器、绘图软件等，帮助学生求解函数最值等问题，提高学生的操作能力和应用能力。五、教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对导数及其应用的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道导数是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于导数的图片或视频片段，让学生初步感受导数的美妙和应用广泛性。

简短介绍导数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.导数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解导数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解导数的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍导数的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.导数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解导数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的导数案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解导数的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用导数解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论导数的未来发展或改进方向，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与导数相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对导数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调导数及其应用的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括导数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调导数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用导数。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于导数及其应用的短文或报告，以巩固学习效果。六、学生学习效果1.知识掌握：学生将掌握导数的基本概念，了解导数与函数单调性的关系，并能够运用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最值。

2.逻辑推理能力：通过学习导数与函数单调性的关系，学生能够培养逻辑推理能力，学会从已知信息中推导出结论，并能够运用这一逻辑思维解决实际问题。

3.数学建模能力：学生能够通过实例，建立数学模型，利用导数研究函数的单调性，并求出函数的最值，提高数学建模能力。

4.数学抽象能力：学生能够理解导数与函数单调性之间的关系，并能够将其抽象为一般的数学规律，提高数学抽象能力。

5.数学运算能力：学生能够熟练运用导数求函数的单调性，并利用单调性求函数的最值，提高数学运算能力。

6.解决实际问题的能力：学生能够将所学的知识应用于解决实际问题，通过实例了解导数在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。

7.合作与沟通能力：在小组讨论的过程中，学生能够与他人合作，分享自己的学习心得，互相学习和交流，提高合作与沟通能力。

8.创新与思考能力：在讨论导数的未来发展或改进方向时，学生能够提出创新性的想法或建议，培养创新与思考能力。七、教学评价与反馈1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及与同学之间的互动。重点关注学生对导数概念的理解以及对导数求函数单调性和最值方法的掌握。

2.小组讨论成果展示：评估学生在小组讨论中的表现，包括他们的合作能力、分享观点的清晰度和逻辑性，以及对导数应用的理解深度。

3.随堂测试：设计一些与本节课内容相关的随堂测试题目，用以检验学生对导数及其应用知识的掌握程度，包括导数的定义、单调性的判断以及最值的求法。

4.作业完成情况：评估学生完成关于导数及其应用的短文或报告的质量，检查他们对课堂所学知识的巩固和应用能力。

5.教师评价与反馈：根据学生在课堂表现、小组讨论、随堂测试和作业中的表现，教师应提供具体的评价和反馈，指出学生的优点和需要改进的地方，鼓励学生继续努力。同时，教师应根据学生的整体表现调整教学方法，以确保教学效果的最大化。八、板书设计1.板书内容：

（1）导数的概念及其与函数单调性的关系。

（2）利用导数求函数单调性的步骤。

（3）求函数最值的方法及其应用。

2.板书布局：

（1）导数的概念及其与函数单调性的关系：以图表的形式展示导数的定义，并强调导数与函数单调性之间的关系。

（2）利用导数求函数单调性的步骤：以流程图的形式展示求函数单调性的步骤，让学生一目了然。

（3）求函数最值的方法及其应用：以实例的形式展示求函数最值的方法，并强调其在实际应用中的重要性。

3.艺术性与趣味性：

（1）利用鲜艳的颜色和图形，突出重点内容，提高学生的注意力。

（2）设计一些有趣的图案或符号，如导数的符号“△”，来吸引学生的兴趣。

（3）在板书上留有一些空白区域，鼓励学生进行思考和互动，激发他们的主动性。重点题型整理1.导数的定义及计算

（1）求函数在某一点的导数。

（2）求函数的导数表达式。

（3）求函数导数的几何意义。

2.导数与函数单调性的关系

（1）判断函数的单调性。

（2）利用导数求函数的单调区间。

（3）导数与函数单调性的应用。

3.利用导数求函数的最值

（1）求函数的局部极值。

（2）求函数的全局极值。

（3）导数与函数最值的实际应用。

4.导数在实际问题中的应用

（1）求物体运动的瞬时速度和加速度。

（2）求函数的最大利润或最小成本。

（3）利用导数解决其他实际问题。

5.高阶导数

（1）求函数的二阶导数。

（2）利用高阶导数求函数的凹凸性。

（3）高阶导数的其他应用。

例题1：求函数f(x)=x^2的导数。

答案：f'(x)=2x。

例题2：判断函数f(x)=x^3的单调性。

答案：f'(x)=3x^2，因为f'(x)>0对所有x>0成立，f'(x)<0对所有x<0成立，所以函数f(x)=x^3在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。

例题3：求函数f(x)=x^3-3x在x=1时的局部极值。

答案：f'(x)=3x^2-3，在x=1时，f'(1)=0，所以f(1)是局部极值。计算f(1)得到f(1)=