人教版七年级上册数学教案第三章 一元一次方程

第三章一元一次方程

3.1从算式到方程

3.1.1一元一次方程

@教室目标

1.能根据题意用字母表示未知数,然后分析出等量关系，再根据等量

关系列出方程.

2.理解方程、一元一次方程的定义及解的概念.

3.掌握检验某个数值是不是方程的解的方法.

®预习导学

阅读教材P78〜80,完成下列内容.

1.含有未知数的等式叫方程.

2.只含有二个未知数(元)，未知数的次数都是L等号两边都是整式,

这样的方程叫做一元一次方程.

3.解方程就是求出使方程中等号左右两边相笠的未知数的值,这个值

就是方程的解.

4.判断下列各题是不是一元一次方程,是的打“J”，不是的打“X”.

⑴x+3=4.(J)

(2)42x+13=6-y.(X)

⑶二6.(X)

X

(4)2x-8>-10.(X)

5.根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程：

⑴练习本每本0.8元小明拿了10元钱买了若干本,还找回4.4元.

则小明买了几本练习本？

解:设小明买了x本练习本,列方程得:。建，长比宽多2cm,求长和宽

分别是多少.

解:设长为,依题意得方程:2(x+x-2)=24.

色典例剖析

【例1】(教材补充例题)下列方程是一元一次方程的是(B)

A.X2+X=5B.x+|=4C.x+y=7

D•普2

[]一元一次方程的四个组成要素：

(1)只含有一个未知数；

(2)未知数的次数是1;

(3)是方程；

(4)等号两边都是整式.

【跟踪训练1]已知式子:①3-4=-1;②2x-5y;③l+2x=0;④6x+4y=2;

⑤3X2-2X+1=0.其中是等式的有①③④⑤,是方程的有③④⑤.

【例2](教材补充例题)检验下列方程后面括号内的数是不是方程

的解.

(1)3x-l=2(x+1)-4(x=-l);

(2).=3(x-2)(x=I).

〔解答〕(1)把x=T代入方程，左边=-3-1=-4,

右边=2义(-1+1)-4=-4,

左边=右边，

故x=-1是方程的解.

(2)把代入方程,左边=子=.=-1,

右边=3X(}—2A5,

左边W右边，

则x三不是方程的解.

[]判断一个数是不是某个方程的解的方法：

根据方程的解的定义，只要用这个数代替方程中的未知数,看方程左

右两边的值是否相等即可,如果左边=右边,那么这个数就是方程的解;否

则,这个数就不是方程的解.

【跟踪训练2]检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解：

(1)2x-3=5(x-3){x=6,x=4};

解：x=6不是方程的解，

x=4是方程的解.

(2)4x+5=8x-3{x=3,x=2}.

解：x=3不是方程的解，

x=2是方程的解.

【例3】(教材P79例1)根据下列问题，设未知数并列出方程：

(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少？

(2)一台计算机已使用1700h,预计每月使用150h,经过多少月这台

计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h?

(3)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学

生？

〔解答)(1)设正方形的边长为xcm.

列方程4x=24.

(2)设x月后这台计算机的使用时间达到2450h,那么在x月里这台

计算机使用了150xh.

列方程1700+150x=2450.

(3)设这个学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,男生数为

(1-0.52)x.

列方程0.52x-(l-0.52)x=80.

[]设未知数,找等量关系，用方程表示简单实际问题中的相等关

系.

【跟踪训练3】(《全科王》3.1.1T7)某校组建了66人的合唱队和

14人的舞蹈队,根据实际需要,从合唱队中抽调了部分同学参加舞蹈队，

使合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的3倍,设从合唱队中抽调了x人参加

舞蹈队，则可列方程为(B)

A.3(66-x)=14+xB.66-x=3(14+x)

C.66-3x=14+xD.66+x=3(14-x)

金巩固训练

1.(《全科王》3.1.1T4)下列方程中，解是x=3的是(B)

A.3x-2=6B.6-x=-x2+l

3

C.2(x+l)=x+4D.1(x-l)-5=o

2.(《全科王》3.1.1T2)下列方程是一元一次方程的是(B)

A.3+8=11B.3x+2=6

1

C.-=lD.3x+2y=6

X

3.“一个数比它的相反数大-4”，若设这个数是X,则可列出关于x的方程

为(B)

A.x=-x+4B.x=-x+(-4)

C.x=-x-(-4)D.x-(-x)=4

4.小丁今年5岁，妈妈今年30岁，几年后,妈妈的年龄是小丁的2倍?设x

年后,妈妈的年龄是小丁的2倍,则x年后小丁的年龄为(x+5)岁,妈妈的年

龄为(x+30)岁.根据题意列出方程为2(x+5)=x+30.

值课堂小结

1.方程及一元一次方程的定义.

2.如何列方程，什么是方程的解.

3.1.2等式的性质

©教要目标

1.了解等式的两条性质.

2.会用等式的性质解简单的一元一次方程.

@预旦导手

阅读教材P8「82,完成下列内容.

1.等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.

如果a=b,那么a±c-b±c.

2.等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为2的数,结

果仍相等.如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,那么也2(cW0).

------------------CC-

3.已知a=b，请用或“力"填空：

(l)3a=3b;(2)-=-;(3)-5a=-5b.

-4-4-

4.利用等式的性质解下列方程：

(l)x-9=6;(2)-0.2x=10.

解:(l)x=15.(2)x=-50.

®典例剖析

【例1】(教材补充例题)(1)若m+2n=p+2n,则m=R,依据等式的性质

1等式两边都减去2n;

(2)若2a=2b,则a=b,根据等式的性质2,等式两边都除以2.

[]利用等式的性质对等式进行恒等变形的“三点注意”：

(1)等式性质1和等式性质2是等式恒等变形的重要依据；

(2)利用等式的性质1,等式的两边必须同加或同减一个数(或式子);

(3)利用等式的性质2,等式两边必须同乘或同除以一个不为0的数.

【跟踪训练11说出下列各等式变形的依据：

⑴由x-5=0,得x=5;

解:根据等式的性质1,等式两边同时加5.

⑵由苫=10,得y=-30;

解:根据等式的性质2,等式两边同时乘-3.

(3)由2=x-3,得-x=-3-2.

解:根据等式的性质1,等式两边同时减(x+2).

【例2］(教材P82例2)利用等式的性质解下列方程：

(l)x+7=26;(2)-5x=20;(3)-1x-5=4.

［分析］要使方程x+7=26转化为x=a(常数)的形式,需去掉方程左

边的7,利用等式的性质1,方程两边减7就得出x的值,可以类似地考虑另

两个方程如何转化为x=a的形式.

〔解答)(1)两边减7,得x+7-7=26-7.

于是x=19.

(2)两边除以-5,得多

-5-5

于是x=-4.

(3)两边加5,得-京-5+5=4+5.

化简，得-京=9.

两边乘-3,得邛的步骤:

(1)利用等式的性质1将已知方程化为ax=b的形式(即方程左边只含

未知项,右边是常数)；

(2)利用等式的性质2将方程ax=b(aNO)化为x=2的形式(即方程左边

a

未知数的系数是1,右边是常数).

【跟踪训练2]利用等式的性质解方程：

(l)8+x=-5;

解:两边减8,得x=-13.

(2)4x=16;

解:两边除以4,得x=4.

(3)3x-4=ll.

解:两边加4,得3x=15.

两边除以3,得x=5.

®巩固训练

1.方程-6x=3的两边都除以-6,得(C)

1

A.x=-2B.x=-

2

1

C.x=--D.x=2

2

2.下列结论中，正确的是(B)

A.在等式3a-6=3b+5的两边都除以3,可得等式a-2=b+5

B.如果2=-x,那么x=-2

C.在等式5=0.lx的两边都除以0.1,可得等式x=0.5

D.在等式7x=5x+3的两边都减去（x—3）,口J得等式6x_3=4x+6

3.（《全科王》3.1.2丁1）若2=1）,则下列等式不一定成立的是（D）

A.a+5=5+bB,

C.m-a=m-bD.am=bn

4.利用等式的性质解下列方程：

（1）-^-3=5;（2）3x+6=31+2x.

解：（l）a=-16.（2）x=25.

@课“'缉

1.等式有哪些性质？

2.应用等式的性质对等式进行变形时的注意点：

（1）等式两边都要参加运算,并且是做同一种运算；（2）等式两边加、减、

乘、除以的数或式子一定相同；（3）0不能作除数；（4）不能像算式那样写连

贯的等号.

3.2解一元一次方程（一）一一合并同类项与移项

第一课时利用合并同类项解一元一次方程

®教学目标

经历把方程等号两边分别合并同类项的过程,能用合并同类项解一元

一次方程.

©预习导售.

阅读教材P86〜87”问题1及例1”，完成下列内容.

1.形如“ax+bx=c”的方程,先合并同类项,再把未知数系数化为1.

2.补全下列解方程的过程：

(1)6x-x=4.

解:合并同类项，得5x=4.

系数化为1,得x=1.

(2)-4x+6x-0.5x=-0.3.

解:合并同类项,得1.5x=-0.3.

系数化为1,得x=-

-5

0典例剖析

【例】(教材P87例1变式)解下列方程：

(l)-+x+2x=140;

(2)3x-l.3x+5x-2.7x=-12X3-6X4.

〔解答)(l)x=40.

(2)x=-15.

[]利用合并同类项解一元一次方程的步骤：

(1)合并同类项,把原方程化为ax=b(a#0)的形式.

(2)系数化为1,若合并后未知数的系数是1,则没有这个步骤.

系数化为1的技巧：

①若未知数的系数是不等于0和1的整数,则方程两边除以这个整数;

②若未知数的系数是分数二则方程两边乘它的倒数，即乘二；

nm

③若未知数的系数是带分数(小数)，则先化为假分数(分数)，再按情

形②处理.总之,不要一律地除以未知数的系数,要视具体情况灵活处理.

【跟踪训练】解下列方程：

(1)6x-5x=3;

解:合并同类项，得x=3.

(2)-x+3x=7-l;

解:合并同类项,得2x=6.

系数化为1,得x=3.

(3)-+—=9;

22

解:合并同类项，得3x=9.

系数化为1,得x=3.

(4)6y+12y-9y=10+2+6.

解:合并同类项,得9y=18.

系数化为1,得y=2.

金巩固训练

1.对于方程8x+6xT0x=6进行合并正确的是(C)

A.3x=6B.2x=6C.4x=6

D.8x=6

2.方程18x-3x+5x=ll的解是(C)

2620

AA.x=—BD.x="-

liii

iiii

Cr.x=—Dn.x=一

2010

3.方程10x-2x=6+l两边合并后的结果为8x=7,其解为

4.解下列方程：

(l)-10x-6x=-7+15;

(2)-x--x=--;

367

(3)^x-|x=-7-6;

(4)-|y-3y=|-2.

解：(l)x=g.(2)x=y.(3)x=52.(4)y=-1.

@课堂小结

1.你今天学习的解方程有哪些步骤？

合并同类项,系数化为1(等式的性质2).

2.合并同类项即将方程中含未知数的项和常数项分别合并，系数化为

1的依据是等式的性质2.

第二课时利用合并同类项解一元一次方程的实际问题

金教学目标

经历用“总量=各部分量的和”这一基本关系列一元一次方程解决实

际问题的过程,掌握一元一次方程的简单应用.

©预习导售.

阅读教材P86“问题1”，完成下列内容.

学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数

量是去年购置计算机数量的3倍,求今年购置计算机的数量.

解:设今年购置计算机x台，则去年购置计算机;x台.根据题意，得

x+-x=100,解得x=75.

一3---------

答:今年购置计算机运台.

®典例剖析

【例】（教材P86问题1变式）某明星与某公司签约，该明星作为该

公司的形象代言人,三年获酬金1400万美元,若前一年的酬金是后一年的

一半,且不考虑税金,则他第一年应得酬金多少万美元？

（解答）设该明星第一年的酬金为x万美元,则第二年的酬金为2x

万美元,第三年的酬金为4x万美元，由题意，

得x+2x+4x=1400,即7x=1400.

等式两边都除以7,得x=200.

答:该明星第一年应得酬金200万美元.

【】列一元一次方程解实际问题的一般方法如图.

实际句题|-£鬻数学问题（一元一次方程）|

解方程

--------1方程的解一

【跟踪训练】某集团三个季度共销售冰箱2800台,第一季度销售量

是第二季度的2倍,第三季度销售量是第一季度的2倍,则该集团第二季度

销售冰箱多少台？

解:设该集团第二季度销售冰箱x台，则第一季度销售量

为2x台，第三季度销售量为4x台.

根据总量等于各分量的和，得：

x+2x+4x=2800.解得x=400.

答:该集团第二季度销售冰箱400台.

®巩固训练

1.已知某数的3倍与这个数的2倍的和是30,求这个数.

解:设这个数是X.

根据题意，得3x+2x=30.

解得x=6.

答:这个数是6.

2.据某统计数据显示,在我国的700座城市中，按水资源情况可分为三类：

暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数是严

重缺水城市数的4倍,一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍,求严重缺

水的城市有多少座.

解:设严重缺水的城市有x座.

根据题意，得4x+2x+x=700.

解得x=100.

答:严重缺水的城市有100座.

3.(《全科王》3.2T13)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显

示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的右中、美两

国人均淡水资源占有量之和为13800则中、美两国人均淡水资源占有

量各为多少(单位:痛)？

解:设中国人均淡水资源占有量为I根据题意，得x+5x=13800.

解得I

@课U'缜

如何列方程?分哪些步骤？

(1)设未知数；

(2)分析题意，找出等量关系；

(3)根据等量关系列方程.

第三课时利用移项解一元一次方程

值教学目标

1.经历利用等式的性质解一元一次方程的过程，通过观察、比较、归

纳出移项的法则.

2.能用移项解一元一次方程.

色预可导学

阅读教材P88~89"问题2及例3”，完成下列内容.

1.把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.

2.补全下列解方程的过程：

(l)5x-8=-3x-2.

解:移项,得5x+3x=-2+8.

合并同类项，得也［=6

系数化为1,得x4

(2)3x+7=32-2x.

解:移项，得3x+2x=32-7.

合并同类项，得显=甚.

系数化为1,得x=5.

国典例剖析

【例】(教材P89例3变式)解下列方程：

(1)x-2=3一x;

(2)-x=l-2x;

(3)x-2x=l-|x;

(4)x-3x-l.2=4.8-5x.

〔解答)(l)x=|.(2)x=l.(3)x=-3.(4)x=2.

［］移项时要改变项的符号,通常把含未知数的项移到方程的左边,

而常数项移到方程的右边.

【跟踪训练】解下列方程：

(1)4x=9+x;

解:移项，得4x-=3.

系数化为1,得m=-5.

(3)4x+5=3x+3-2x;

解:移项，得4x-3x+2x=-5+3.

合并同类项，得3x=2.

系数化为1,得x=-|.

(4)8y-3=5y+3.

解:移项，得8y-5y=3+3.

合并同类项，得3y=6.

系数化为1,得y=2.

®巩固训练

1.(《全科王》3.2T3)一元一次方程3x+6=2x-8移项后正确的是

(D)

A.3x-2x=6-8B.3x-2x=8+6

C.3x-2x=8-6D.3x-2x=-6-8

2.对方程2x-3+x=6进行移项,下列正确的是(C)

A.2x-x=6+3B.2x-x=6-3

C.2x+x=6+3D.2x+x=6-3

3.方程3x+l=2x的解是(A)

A.x=-lB.x=l

C.x=-2D.x=2

4.解下列方程：

(l)5x=3x-12;

(2)8x-5=7x+2;

(3)12x-7=8x-3;

(4)7y+8=2y-5-3y.

解：(l)x=-6.

⑵x=7.

⑶x=l.

(4)y=-^.

o

色课”结

1.今天你又学会了解方程的哪些方法?有哪些步骤?每一步的依据是

什么？

2.移项的“两注意”：

(1)“两变”，即一变位置(从方程的一边移到另一边)，二变符号,不要

只变位置而不变符号；

(2)要与交换律加以区别，在方程的同一边交换项的位置时，符号不

变.

第四课时利用移项解一元一次方程的实际问题

@教学目标

经历用”表示同一个量的两个不同的式子相等”这一基本关系列一元

一次方程解决实际问题的过程,掌握一元一次方程的简单应用.

国^”要

阅读教材P90“例4”，完成下列内容.

某果园;的面积种植了苹果树,;的面积种植了葡萄树，其余40000m2

24

种植了桃树.求这个果园的面积.

解:设这个果园的面积是xm；根据题意，得

11

-x+-x+40000=x.

解得

®典例剖析

【例】（教材P90例4变式）将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，

如果每人2颗,那么就多8颗;如果每人3颗,那么就少12颗,这个班共有

多少名小朋友？

（解答）设这个班共有x名小朋友.

根据题意，得2x+8=3xT2,解得x=20.

答:这个班共有20名小朋友.

[]用“表示同一个量的两个不同的式子相等”列一元一次方程解

决实际问题的步骤：

(1)设两个未知量中的一个为未知数X；

(2)用含x的两个不同式子表示相等关系；

(3)建立一元一次方程；

(4)解方程；

(5)检验,作答.

【跟踪训练】(《全科王》3.2T14)小华的妈妈在25岁时生了小华,

现在小华妈妈的年龄比小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄.

解:设小华现在的年龄为x岁，则妈妈现在的年龄为(x+25)岁.

根据题意，得x+25=3x+5,解得x=10.

答:小华现在的年龄为10岁.

®巩固训练

1.用大小两台拖拉机耕地,每小时共耕地30亩.已知大拖拉机的效率是小

拖拉机的1.5倍,则小拖拉机每小时耕地多少亩？

解:设小拖拉机每小时耕地x亩.

根据题意，得30-x=l.5x.

解得x=12.

答:小拖拉机每小时耕地12亩.

2.学校举办秋季田径运动会,八年级（1）班班委会为班上参加比赛的运动

员购买了8箱饮料,如果每人发2瓶,那么剩余16瓶;如果每人发3瓶,那

么少24瓶.则该班有多少人参加比赛？

解:设该班有x人参加比赛.

依题意，得2x+16=3x-24,

解得x=40.

答:该班有40人参加比赛.

3.根据图中的信息,求梅花鹿和长颈鹿现在的高度.

我现在的高度比

你现在高度的3

倍还多1m.

解:设梅花鹿现在高Xm.

根据题意，得3x+l=.

也课堂小结

1.本节课学了哪些内容？

2.本节课讨论的问题中的相等关系有何共同特点?

3.3解一元一次方程（二）一一去括号与去分母

第一课时用去括号法解一元一次方程

@教要目.标.

1.经历从实际问题中抽象出一元一次方程,且用去括号法则化简、求

解方程的过程.

2.会解含有括号的一元一次方程.

年预习导学

阅读教材P93〜94”问题1及例1”，完成下列内容.

1.要去括号,就要根据去括号法则及乘法分配律,特别是当括号前是

”号时,去括号时,括号内各项都要变号,若括号前有数字,则要乘遍括

号内所有项,不能漏乘并注意符号.

2.补全下列解方程的过程：

(l)2(x-2)=-(x+3);

解:去括号,得2x-4=-x-3.

移项,得2x+x=-3+4.

合并同类项，得3x=l.

系数化为1,得x=1.

一3

(2)2(x-4)+2x=7-(x-l).

解:去括号,得2x-8+2x=7-x+l.

移项,得2x+2x+x=7+l+8.

合并同类项，得5x=16.

系数化为1,得普

®典例剖析

【例】(教材P94例1变式)解方程：

(l)4x+2(x-2)=12-(x+4);

1x-4)+2x=7-g%-l);

(3)3(x-2)+l=x-(2x-l).

3

X--

1解答)(l)x=y.(2)x=6.2

(1)如果括号外的因数是负数，去括号后.

去括号必须原括号内各项的符号要改变_________

注意的事项|4(2)乘数与括号内的多项式相乘，乘数

」应乘括号内的每一项，不要漏乘

【跟踪训练】解下列方程：

(l)3(x-4)=12;

解:去括号，得3x-12=12.

移项,得3x=12+12.

合并同类项，得3x=24.

系数化为1,得x=8.

(2)2(3x-2)-5x=0;

解：去括号，得6x-4-5x=0.

移项，得6x-5x=4.

合并同类项，得x=4.

(3)5-(2x-l)=x;

解：去括号，得5-2x+l=x.

移项,得-2x-x=-5-1.

合并同类项，得-3x=-6.

系数化为1,得x=2.

(4)-(x-2)=3--(x-2).

22

解:去括号，得与-1=3-3+1.

移项，得$+$=3+1+1.

合并同类项，得x=5.

也巩固训练

1.(《全科王》3.3第一课时11)解方程1-(2*+3)=6,去括号的结果是

A.l+2x+3=6B.l-2x-3=6

C.l-2x+3=6D.2x+1-3=6

2.方程2(x-l)=x+2的解是(D)

3.解方程:3(3x+5)=2(2x-l).

解:去括号,得9x+15=4x-2.

移项,得移-4x=-2-15.

合并同类项，得5x=T7.

系数化为1,得匕

4.解下列方程：

⑴2-(l-x)=-2;(2)4(2-x)-4(x+1)=60.

解：(l)x=-3.(2)x=-7.

@课堂小结

用去括号法解一元一次方程的步骤：(1)去括号；(2)移项；(3)合并同

类项；(4)系数化为1.

第二课时用去括号法解一元一次方程的实际问题

®教学目标

经历解决在水中航行的问题的过程，会列含括号的一元一次方程解决

实际问题.

@预3号手

阅读教材P94“例2”，完成下列内容.

学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖,初一的同学每人搬6块,

其他年级的同学每人搬8块,总共搬了400块,则初一的同学有多少人参加

了搬砖？

解:设初一的同学有x人参加了搬砖.

根据题意，得6x+8(65-x)-400.

去括号，得6x+520-8x=400.

移项,得6x-8x=400-520.

合并同类项，得-2x=-120.

系数化为1,得x=60.

答:初一的同学有世人参加了搬砖.

®典例剖析

【例】(教材P94例2变式)一艘船从甲码头到乙码头顺流而行,用

了2h;从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h.已知水流的速度是3

km/h,求甲、乙两码头之间的距离.

〔解答)设船在静水中的速度为/h,逆流速度为(x-3)km/h.

依题意,得2(x+3)=2.5(x-3),

解得x=27,则2(.

[]解决水中航行问题的关键：

(1)弄清以下数量关系:①路程=速度X时间.②顺流行驶速度=静水中

的速度+水的流速,即v顺士静+v水;逆流行驶速度=静水中的速度-水的流速，

即V逆=丫静-V水.③V顺一V水=丫逆+v水.

(2)确定建立方程的根据:①求速度时，根据往返的路程相等列方程.

②求两码头间的距离时，既可设间接未知数,也可设直接未知数,若是前者,

则根据往返路程相等列方程;若是后者,则根据“表示静水中速度的两个不

同的式子相等”列方程.

【跟踪训练】(《全科王》3.3第一课时T13)某校举办“创建全国

文明城市”知识竞赛,计划购买甲、乙两种奖品共30件.其中甲种奖品每

件30元，乙种奖品每件20元.如果购买甲、乙两种奖品共花费800元,那

么这两种奖品分别购买了多少件？

解:设甲种奖品购买了x件,则乙种奖品购买了(30-x)件，

根据题意，得30x+20(30-x)=800,

解得x=20,则30-x=10.

答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件.

®巩固训练

1.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h;从乙码头返回甲码头逆流

而行,用了2.5h.已知船在静水中的平均速度为27km/h,求水流的速度.

解:设水流的速度为xkm/h.

根据题意,得2(27+x)=2.5(27-x),解得/h.

2.甲粮仓存粮1000吨，乙粮仓存粮798吨,现要从两个粮仓中共运走212

吨粮食，使两仓库剩余的粮食数量相等,那么应从这两个粮仓各运出多少

吨？

解:设从甲粮仓运出x吨,则从乙粮仓运出(212-x)吨.

由题意，得1000-x=798-(212-x).

解得x=207.则212-207=5(吨).

答:应从甲粮仓运出207吨,从乙粮仓运出5吨.

3.杭州新西湖建成后,某班40名同学去划船游湖,一共租了8条小船,其中

有可坐4人的小船和可坐6人的小船,40名同学刚好坐满8条小船,则这

两种小船各租了几条？

解:设可坐4人的小船租了x条.

根据题意,得4x+6(8-x)=40.

解得x=4,所以8-x=4.

答:可坐4人的小船租了4条,可坐6人的小船租了4条.

@课刎、结

通过这节课,你在用一元一次方程解决实际问题方面又有哪些收获？

第三课时用去分母法解一元一次方程

®教学目标

1.经历利用等式的性质2,将方程中系数都化为整数并求解的过程，

会解含有分母的一元一次方程.

2.经历用一元一次方程解决实际问题的过程,会列含分母的一元一次

方程解决实际问题.

色预可导学

阅读教材P95~97”问题2及例3”，完成下列内容.

1.解一元一次方程的一般步骤包括:去分母、去括号、移项、合并同

类项、系数化为1等.通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着

正生的形式转化,这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等.

2.解方程：3*+曰=把二出.

243

解:两边都乘12,去分母，

得12X3x+6(x-l)=3(x+1)-4(2xT).

去括号,得36x+6x-6=3x+3-8x+4.

移项,得36x+6x-3x+8x=3+4+6.

合并同类项，得47x=13.

系数化为1,得x*

3.碧空万里,一群大雁在飞翔,迎面又飞来一只小灰雁,它对群雁说：

“你们好，百只雁!你们百雁齐飞，好气派!可怜我是孤雁独飞.”群雁中一

只领头的老雁说:“不对!小朋友,我们远远不足100只.将我们这一群加倍,

再加上半群,又加上四分之一群,最后还得请你也凑上,那才一共是100只

呢”.这群大雁有多少只？

解:设这群大雁有x只.

由题意，得2x+-x+-x+1=100.

一2~4~

解得x=36.

答:这群大雁有36只.

典例剖析

【例11(教材P97例3变式)解方程：

(1\)-5%--1=-3x-4--1--2-x；

423

/c\2x+lx+2

⑵丁1

(3)3x--=2-—.

25

〔解答)⑴乂=4

(2)x=2.

⑶

22

[]解含分母的一元一次方程的注意点:

⑴去分母时；如果分子是一个多项式,要将分子作为一个整体加上括

号;

⑵去分母时一,整数项不要漏乘各分母的最小公倍数;

⑶去括号时容易出现漏乘现象和符号错误.

【跟踪训练I】(《全科王》3.3第二课时T5)解下列方程:

⑴”乙①；

46

⑵?-呼=x+l;

(3)——=1.2.

0.30.5

解：(I)去分母，得3(y+2)-12=2(2y-l),

去括号，得3y+6-l2=4y-2,

移项，得3y-4y=l2-6-2,

合并同类项，得-y=4,

系数化为1,得y=-4.

(2)去分母,得3(x+7)-4(x-l)=12(x+1),

去括号，得3x+21-4x+4=12x+12,

移项，得3x-4x-12x=12-4-21,

合并同类项，得T3x=-13,

系数化为1,得x=l.

⑶原方程变为10x-10_10x+20=1.2,

35

去分母，得5(lOx-10)-3(10x+20)=1.2X15,

去括号，得50x-50-30x-60=18,

合并同类项，得20x=128,

系数化为1,得x亭

【例2]（教材补充例题）书正和子轩两人登一座山，书正每分钟登

高10米,并且先出发30分钟,子轩每分钟登高15米,两人同时登上山顶.

这座山有多高？

〔解答）设这座山高x米，依题意，

有且%=土，解得x=900.

1015

答:这座山高900米.

【跟踪训练2]某船从A地顺流而下到达B地,然后逆流返回，到达

A,B两地之间的C地,一共航行了7小时一，已知此船在静水中的速度为8千

米/时，水流速度为2千米/时.A,C两地之间的距离为10千米,求A,B两地

之间的距离.

解:设A,B两地之间的距离为x千米,则B,C两地之间的距离为(x-10)

千米，

由题意,得去+学7,解得x=32.5.

8+28-2

答:A,B两地之间的距离为32.5千米.

色巩固训练

1.(《全科王》3.3第二课时T2)解一元一次方程/x+lhl^x时,去分母正

确的是(D)

A.3(x+l)=l-2xB.2(x+l)=l-3x

C.2(x+l)=6-3xD.3(x+l)=6-2x

2.如果式子詈的值等于5,那么x的值是(B)

A.-5B.-7

C.3D.5

3.解下列方程:

2x~22x~31

⑴号当(2)------------------二］.

36

7

解：(l)y=3.(2)X二一.

2

4.(《全科王》3.3第二课时T12)课外活动中一些学生分组参加活动，原来

每组6人,后来重新编组,每组8人,这样就比原来减少2组,则这些学生共

有多少人？

解:设这些学生共有X人，

根据题意得9^2,解得x=48.

6o

答:这些学生共有48人.

@课堂小结

1.去分母解一元一次方程时要注意什么？

2.去分母解一元一次方程时,在方程两边同时乘各分母最小公倍数的

目的是什么？

3.4实际问题与一元一次方程

第一课时和差倍分问题

®教学目标

能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系，

列一元一次方程解决和差倍分问题.

◎预3号手

青青林场今年植树2800棵，比去年植树棵数的2倍还多400棵,去年

植树多少棵？

(1)这个题目中的已知量是今年植树棵数,未知量是去年植树棵数;

(2)这个题目中的等量关系是今年植树棵数=2X去年植树棵数+400

援;

(3)列出方程解答这个问题.

解:设去年植树x棵.根据题意，

得2800=2x+400.

解得x=1200.

答:去年植树1200棵.

®典例剖析

【例】清池中学少年宫为鼓励阳光少年自尊自爱，勤奋学习，准备对

五名表现相当优秀的阳光少年进行奖励.通过了解,好乐多超市每支钢笔

的价格比每本笔记本高8元，用124元恰好可以买到3支钢笔和2本笔记

本.每支钢笔和每本笔记本的价格各是多少元？

【分析】设每支钢笔的价格为x元,则每本笔记本的价格为(x-8)

元.根据用124元恰好可以买到3支钢笔和2本笔记本,列一元一次方程求

解.

1解答)设每支钢笔的价格为x元,则每本笔记本的价格为(x-8)

元.根据题意，

得3x+2(x-8)=124.解得x=28.

则x-8=20(元).

答:每支钢笔的价格为28元,每本笔记本的价格为20元.

[]用“各分量之和等于总量”列一元一次方程.

【跟踪训练】为促进教育均衡发展,A市实行“阳光分班”，某校七

年级一班共有新生45人,其中男生比女生多3人,求该班男生、女生各有

多少人.

解:设女生有x人,根据题意，

得x+x+3=45.

解得x=21.

则x+3=24.

答:该班男生有24人,女生有21人.

®巩固训练

1.某市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树,

要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等,如果每隔5米栽1棵，

那么树苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵,那么树苗正好用完,设原有树苗x

棵，则根据题意列出方程正确的是(A)

A.5(x+21-l)=6(x-l)

B.5(x+21)=6(x-1)

C.5(x+21-l)=6x

D.5(x+21)=6x

2.把300个苹果按4：5：6分给幼儿园的小、中、大三个班.小班、中班、

大班各分得多少个苹果？

解:设一份为x个苹果，则小班、中班、大班分别分得4x,5x,6x个苹果.

根据题意，得4x+5x+6x=300.

解方程，得x=20.

则4x=80,5x=100,6x=120.

答:小班、中班、大班分别分得80,100,120个苹果.

©课等

用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:

这一过程一般包括设、歹U、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、

解方程、检验所得结果、确定答案，正确分析问题中的相等关系是列方程

的基础.

第二课时数字问题

值教学目标

能够列一元一次方程解决数字问题.

@预亘导手

1.数的表示方法:一个三位数,一般可设百位数字为a,十位数字是b,

个位数字为c（其中a,b,c均为「9之间的整数），则这个三位数表示

为：100a+10b+c.

2.数字问题中常见数的表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较

小的大L偶数用&L表示,与之相邻的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用

2n+l或2nT表示.

®典例剖析

【例】一个两位数,个位上的数字是1,把这个两位数的数字对调后,

得到的新数比原两位数小18,求原两位数.

【分析】设原两位数的十位数字为x,则原两位数可以表示为lOx+1,

十位数字与个位数字对调后得到的新两位数为10+x.根据等量关系“原两

位数-新两位数=18”即可列方程求解.

1解答）设原两位数的十位数字为x,由题意，

得10x+l-（10+x）=18.

解得x=3.

答:原两位数为31.

【跟踪训练】一个三位数,十位上的数字比个位上的数字大3,且比

百位上的数字小1,三个数字的和的50倍比这个三位数小2,求这个三位

数.

解:设十位数字为X,则个位数字为X-3,百位数字为x+1,这个三位数

为100(x+l)+10x+x-3.根据题意，

得50(x+x-3+x+l)=100(x+1)+10x+x-3-2.

解得x=5.

则这个三位数为:100X6+10X5+5-3=652.

@巩固训练

一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大5,且个位上的数字与十位

上的数字的和比这个两位数的巳大6,求这个两位数.

解:设十位上的数字为x,则个位上的数字为(x+5).

根据题意，得x+x+5=|[10x+(x+5)]+6.

解得x=4.

则个位上的数字为:x+5=9.

答:这个两位数为49.

值课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？

第三课时行程问题

@教室目标

利用路程、时间、速度之间的关系，能通过画示意图列一元一次方程

解决行程问题.

@预旦导手

甲、乙两人同时出发,相对而行,距离是50km,甲每小时走3km,乙每

小时走2km,则他们几小时可以相遇？

【分析与解答】甲、乙相遇时，他们共行的路程为50遇.

从路程角度分析：甲行走的路程+乙行走的路程=50km.

从时间角度分析：甲行走的时间=乙行走的时间.

如果设甲、乙.

即甲行走的速度X甲行走的时间+乙行走的速度X乙行走的时间=或

km.

则可得方程:3x+2x=50.

解得x=10.

所以他们10小时可以相遇.

@典例剖析

【例】有一所中学组织学生到校外参加义务植树活动.一部分学生

骑自行车先走,速度为9千米/时;40分钟后其余同学坐汽车出发,速度为

45千米/时,结果他们同时到达目的地.目的地距学校多少千米？

【分析】设目的地距学校x千米.路程、速度、时间之间的关系如

下表:

路程/千速度/(千米/

时间/时

米时)

X

骑自行车X9

9

X

乘汽车x45

45

根据题目中的等量关系“骑自行车所用时间-乘汽车所用时间=40分

钟”列方程求解.

1解答)设目的地距学校x千米.

根据题意,得

XX40

——____二____

94560,

解得X音.

答：目的地距学校当千米.

[]行程问题常见关系式如下：

⑴路程=速度义时间；

(2)相遇问题:总路程=甲走的路程+乙走的路程；

(3)追及问题：同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程；同时不

同地出发:前者走的路程+两地距离=追者走的路程.

(4)航行问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水

流速度.

【跟踪训练】一队学生去校外进行训练,他们以5千米/时的速度行

进,走了18分钟的时候,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校

出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员需多长时间可

以追上学生队伍？

解:设通讯员需x小时可以追上学生队伍.

由题意,得

5X^+5x=14x,解得x=1.

答:通讯员需沙时可以追上学生队伍.

6

®巩固训练

1.一列火车长150m,以15m/s的速度通过600m的隧道，从火车进入隧

道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是(C)

A.30sB.40s

C.50sD.60s

2.一架飞机在两个城市间飞行,无风时每小时飞行552千米,在一次往返

飞行中，飞机顺风飞行用了5.5小时,逆风飞行用了6小时,求这次飞行的

风速.

解:设这次飞行的风速为x千米/时，

依题意,得

5.5(552+x)=6(552-x).

解得x=24.

答:这次飞行的风速为24千米/时.

3.某体育场的环形跑道长400米，甲、乙两人在跑道上练习跑步，甲平均每

分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同地同向出发,经

过多长时间两人再次相遇？

解:设经过x分钟两人再次相遇，

则甲跑的路程为250x米，乙跑的路程为290x米.

由题意，得290x-250x=400.

解得x=10.

答:经过10分钟两人再次相遇.

@课刎、结

解决行程问题的关键是什么？如何找出等量关系？

第四课时产品配套问题

色教学目标

会用一元一次方程解决产品配套问题.

@预包导手

阅读教材P100例1,完成下列内容.

某服装厂有工人54人,每人每天可加工上衣8件或裤子10条,应怎样

分配人数,才能使每天生产的上衣和裤子配套?设x人做上衣,则做裤子的

人数为(54-x)人,根据题意,可列方程为8x=10(54-x),解得x=30.

®典例剖析

【例】（教材P100例1）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200

个螺柱或个螺母.1个螺柱需要配2个螺母,为使每天生产的螺柱和螺母刚

好配套,应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？

【分析】每天生产的螺母数量是螺柱数量的2倍时,它们刚好配套.

〔解答〕设应安排x名工人生产螺柱，（22-x）名工人生产螺母.

根据螺母数量应是螺柱数量的2倍,列出方程

（22-x）=2X1200x.

解方程，得5（22-x）=6x,

110-5x=6x,

llx=110,

x=10.

22-x=12.

答:应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母.

[]解决有关配套问题的应用题时，关键是明确配套的物品之间的

数量关系,它是列方程的依据.若m个A与n个B配套,则A的个数：B的

个数=m:n.

【跟踪训练】（《全科王》3.4第一课时T3）用白铁皮做罐头盒，每

张铁皮可制盒身16个或制盒底43个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头

盒.现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底,可以正好制成整

套罐头盒？

解:设用x张制盒身,则用(150-x)张制盒底.

根据题意，得16xX2=43(150-x),解得x=86.

所以150-x=150-86=64.

答:用86张制盒身,64张制盒底,可以正好制成整套罐头盒.

色巩固训练

1.某土建工程共需动用15台挖运机械，每台机械每小时能挖土81n或者

运土4m：i,为了使挖出的土能及时运走,安排了x台机械运土,则x应满足

方程(A)

A.4x=8(15-x)B.8x=4(15-x)

C.15-4x=8xD.8x-4x=15

2.东方红机械厂加工车间有90名工人,平均每人每天加工大齿轮20个或

小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,则一天最多可以生

产多少套这样成套的产品？

解:设安排x名工人加工大齿轮.

由题意，得|x20x=15(90-x),解得x=30.

则90-x=60.

故需要安排30名工人加工大齿轮,60名工人加工小齿轮,才能使每天加工

的大小齿轮刚好配套.

60X15+3=300（套）.

答:一天最多可以生产300套这样成套的产品.

◎课堂少结

本节课主要学习了配套问题，配套问题通常从配套后各量间的倍、分

关系寻找相等关系,建立方程.

第五课时工程问题

口教学目标

会用一元一次方程解决工程问题.