广东省部分学校2024-2025学年高三8月入学考试 数学试题（含解析）

高三数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，则（）A．B．C．D．2．若,则（）A．B．13C．5D．253．若函数的最小正周期不小于，则（）A．的最小值为B．的最大值为C．的最小值为D．的最大值为4．若两个等比数列的公比相等，且,则的前6项和为（）A．B．C．124D．2525．若离心率为的双曲线的左、右焦点分别为,右顶点为A,则（）A．B．C．D．6．若随机变量Z服从正态分布，则．为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值,样本方差．已知该果园使用新技术前的亩收入X（单位：万元）服从正态分布,假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布,则（）A．B．C．D．7．曲线的周长为（）A．B．C．D．8．若,则（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某部门30名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有请假天数为0的未显示）如图所示，则（）A．该部门一年中请假天数为0的人数为10B．该部门一年中请假天数大于5的人数为10C．这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4D．这30名员工一年中请假天数的平均数小于410．已知函数,则（）A．为奇函数B．在上为增函数C．曲线的切线的斜率的最大值为2D．曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值11．若S,T为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度．已知圆锥的底面直径与线长度分别为2,4，正四棱台的线长度为6,且,则（）A．圆锥的体积为B．与底面所成角的正切值为3C．圆锥内切球的线长度为D．正四棱台外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若,则__________．13．已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是__________．14．如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________．15．（13分）在中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且．（1）若,且的面积为，求A;（2）若,求．16．（15分）已知是抛物线上的两点．（1）求C的准线方程；（2）若直线经过C的焦点，且与C交于P,Q两点，求的最小值．17．（15分）如图，在直三棱柱中，D为的中点．（1）证明：平面．（2）若,求二面角的余弦值．18．（17分）在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器．提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答．当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人．假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为．（1）求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率；（2）在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率．19．（17分）已知二阶行列式,三阶行列式,其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．（1）计算．（2）设函数．（i）若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求;（ii）若且,函数,证明：．

高三数学参考答案1．A【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养，因为,所以．2．C【解析】本题考查复数相等与复数的模，考查数学运算的核心素养．由,得且,解得，则3．D【解析】本题考查三角函数的周期，考查逻辑推理的核心素养．因为,所以，解得．4．B【解析】本题考查等比数列，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．由，得的公比，所以的公比为，则的前6项和为．5．C【解析】本题考查双曲线的离心率与平面向量，考查直观想象的核心素养．依题意可得，所以．因为与同向，所以．6．D【解析】本题考查正态分布，考查应用意识以及逻辑推理的核心素养．依题可知，,所以,故．因为,所以，所以．7．C【解析】本题考查圆的方程，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．由,得,即，即或,所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为，所以曲线C的周长为．8．A【解析】本题考查两角和与差的正切公式，考查数学运算的核心素养．因为，所以,故．9．ACD【解析】本题考查统计，考查数据处理能力．该部门一年中请假犬数为0的人数为，A正确．该部门一年中请假天数大于5的人数为，B错误．因为，且请假天数为0的人数为10,请假天数为4的人数为6，所以这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4，C正确．这30名员工一年中请假天数的平均数为,D正确．10．ABD【解析】本题考查函数的性质、导数的几何意义、直线的斜率，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．因为的定义域为，且,所以为奇函数，A正确．在上为增函数，B正确．当时，，则曲线的切线的斜率小于2，C错误．设曲线上任意一点为,则,则,D正确．11．BC【解析】本题考查空间几何体的新概念、体积、线面角以及外接球的表面积，考查空间想象能力与直观想象、数学运算的核心素养．因为圆锥的底直径与线长度分别为2,4，所以圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为，A错误．设圆锥内切球的半径为r,则，解得，所以圆锥内切球的线长度为,C正确．因为,所以,所以．过A,C作的垂线，垂足分别为E,F,则,所以，则．与底面所成的角为,且,B正确．设正四棱台外接球的半径为R,球心为N,设正四棱台上、下底面的中心分别为,则，且N在上．设,由,得，解得，则正四棱台外接球的表面积为，D错误．12．8【解析】本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养．因为,所以．13．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的长轴长，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．将代入，得,则,解得．因为C的长轴长为,所以C的长轴长的取值范围是．14．【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识与分类讨论的数学思想．甲、乙、丙3人的座位互不相邻的情况分为三种：第一种，这3人都在第二排，共有种不同的安排方法；第二种，这3人中1人在第一排，2人在第二排，共有种不同的安排方法；第三种，这3人中2人在第一排，1人在第二排，若第二排的这1人安排在中间的位置，则有种不同的安排方法，若第二排的这1人不安排在中间的位置，则有种不同的安排方法．故甲、乙、丙3人的座位互不相邻的概率为．15．【解析】本题考查解三角形与平面向量的数量积，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．解：（1）因为,所以,2分又,所以，3分所以的面积，4分则，因为，所以或．6分（2）因为,所以,所以．7分由余弦定理得,8分因为,所以或,9分又,所以,所以,10分所以．13分评分细则：【1】第（1）间中，未写“”,但得到或，不扣分；若得到后只写了,扣1分．【2】第（2）问中，由及,得,不扣分．16．【解析】本题考查直线与抛物线、基本不等式的综合，考查数学运算与数学抽象的核心素养．解：（1）因为是抛物线上的两点，所以2分则，整理得,解得．4分当时，,解得，不合题意；5分当时，,解得．6分故C的准线方程为．7分（2）由（1）知C的焦点为，8分联立得．9分设,则，10分所以，12分所以,13分当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．15分评分细则：【1】第（1）问中，C的准线方程还可以写为，第（2）问中，未写取等条件扣1分．【2】第（2）问中，也可以用弦长公式求得，不扣分．17．【解析】本题考查立体几何与空间向量的综合，考查空间想象能力与数学运算、直观想象的核心素养．（1）证明：连接交于点E,1分则E为的中点．2分连接．因为D为的中点，所以,3分又平面平面,所以平面．5分（2）解：取的中点O,连接．因为,所以,且．7分以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则,8分所以．9分设平面的法向量为，则10分令,得．11分易知平面的一个法向量为．12分．13分由图可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．15分评分细则：【1】第（1）问还可以先证明平面平面,再证明平面,阅卷时，请按照步骤给分．【2】第（2）问中，两个平面的法向量均不唯一，只要与对应法向量共线即可．【3】第（2）问还可以用这样的方法求解：取的中点O,连接．依题意可得四边形为正方形．6分因为,所以,7分且．8分在直三棱柱中，底面,则．9分因为,所以平面．10分取的中点F,连接,则．11分易证,12分所以为二面角的补角．13分因为,所以，14分所以二面角的余弦值为．15分18．【解析】本题考查相互独立事件的概率、条件概率、全概率，考查应用意识与数据分析、逻辑推理的核心素养．解：不妨设提出的问题的3个选项依次为1,2,3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3，记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第i个选项，记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项．（1）1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率为．6分（2）当机器重复回答问题改变选项时，测试者误判的情况有三种：①若第一次答题时人和机器都选择1，则当重复提问时，人选择2，机器选择2或3，且测试者随机判断机器为人，则；9分②若第一次答题时人和机器都选择2，则当重复提问时，机器和人都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2且机器选择1，或人选择2，机器选择3且测试者随机判断机器为人，则；12分③若第一次答题时人选择2，机器选择3，则当重复提问时，人和机器都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2，机器选择1，或人选择2，机器选择2且测试者随机判断机器为人，则．15分又,所以．17分评分细则：【1】未写“不妨设提出的问题的3个选项依次为1,2,3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3，记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第个选项，记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项”，但是每一问的步骤都正确，不扣分．第（1）问中，“”写为“”，不扣分．【2】本题还可以这样解答：（1）由题意可知，第一次提问时人回答正确的概率为，机器回答正确的概率为，2分设“1位测试者在图灵测试中不需要重复提问”为事件A,则．6分（2）设“第一次提问机器和人均回答正确，测试者重复提问且机器改变选项”为事件B,“第一次提问机器和人均回答错误，测试者重复提问且机器改变选项”为事件C,“测试者误判”为事件D,“测试者重复提问且机器改变选项”为事件E,B与C互斥，且．，9分，12分,15分则，所以在测试