人教版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》单元导学案及答案

人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》单元导学案

(8.1基本立体图形》导学案

第1课时棱柱、棱锥、棱台

【学习目标】

1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征

2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系

3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题

【自主学习】

知识点1空间几何体

1.空间几何体的定义

空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小,

而不考虑其他因素，

那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

2.空间几何体的分类

(1)多面体：由若干个壬面的M围成的几何体叫做多面体.

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；

两个面的公共边叫做多面体的棱；

棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

(2)旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定置线旋转所形成的曲面

叫做旋转面,

封闭的旋转面围成的几何体叫做雌体，这条定直线叫做旋转体的轴.

知识点2棱柱的结构特征

1.有两个面互相壬立，其余各面都是四边蜃，并且相邻两个四边形的公共边都互相壬

红，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是金笠的多边形；

其余各面叫做棱柱的侧面,它们都是平行四边形；

相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；

侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的项点.

2.一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做更棱柱,

侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱拄，

底面是正多边形的直楂柱叫做正楂柱,

底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.

知识点3棱锥的结构特征

有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角丧，

由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做楂锥的底面;

有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的蛔；

相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧接；

各侧面的公共顶点叫做楂锥的顶点.底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直

于底面的棱锥叫做正校筵.

知识点4棱台的结构特征

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱

台♦

在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做楼台的1面和上底面.

【合作探究】

探究一棱柱的结构特征

【例1】下列关于棱柱的说法：

(1)所有的面都是平行四边形；

(2)每一个面都不会是三角形；

(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；

(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.

其中正确说法的序号是.

【答案】⑶⑷

［分析］根据棱柱的结构特征进行判断.

［解析］(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；

(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；

(3)正确，由棱柱的定义易知；

(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.

所以说法正确的序号是(3)(4).

归纳总结：棱柱的结构特征：(1)有两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)相邻两

个四边形的公共边都互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满

足其他特征

【练习1】如图，已知长方体ABCD-ABCD.

、、

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是,

是几棱柱？如果不是，请说明理由.

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱.因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四

边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行.

(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEBLCFG,其中△BEB】和△CFG是底面.

械面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA「DCFDi,其中四边形ABEA1和四边形

DCF»是底面.

探究二棱锥、棱台的结构特征

【例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②棱锥的侧面只能是三角形；

③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是—_____.

⑵如图，在三棱台6V%中,截去三棱锥H•力比；则剩余部分是()

\\

/mi-----

A.三棱锥B.四棱锥

C.三棱柱D.三棱台

【答案】(D①②③(2)B

［分析］根据棱锥、棱台的结构特征进行判断.

［解析］

(1)①正确，棱台的侧面都是梯形.

②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.

③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.

④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

(2)由题图知，在三棱台A，B，C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC,剩下的部分如图所

示，故剩余部分是四棱锥A'・BB'C'C.故选笈

归纳总结：判断棱锥、棱台形状的两个方法

(1)举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.

(2)直接法:

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

【练习2］下列特征不是棱台必须具有的是()

A.两底面平行

B.侧面都是梯形

C.侧棱长都相等

D.侧棱延长后相交于一点

【答案】C

解析：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台，A,B,D正

确，选c.

<8.1基本立体图形》导学案

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

【学习目标】

L记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征

2,能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题

3.了解组合体的概念

【自主学习】

知识点1圆柱

1.以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做

圆柱.

2.旋转轴叫做圆柱的轴：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的

边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的

母线.

3.棱柱和圆柱统称为柱体.

知识点2圆锥

1.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成

的旋转体叫做圆锥.

2.按筵与圆维统称为锥体.

知识点3圆台

1.用灯于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

2.棱台与圆台统称为台体.

知识点4球

生圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转

体叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做球的典；

连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径;连接球面上两点并且经过球心的线段

叫做球的直径.

知识点5简单组合体的结构特征

1.定义：由简里岫住组合而成的几何体称为简单组合体.

2.简单组合体构成的两种基本形式

简单卅J由简单几何体血而成；

I由简单几何体截去或挖去一部分而成.

【合作探究】

探究一旋转体的结构特征

［例1］下列命题正确的是.

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线：

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成

的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；

⑦球面上任意三点可能在一条直线上；

⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

【答案】®®®

［分析］准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才能更好地把握它

们的结构特征，以作出准确的判断.

［解析］①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；②圆

柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段,且这条线段与轴平行,故②错误;

③它们的底面为圆面，故③错误；④正确：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点,

则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共

线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确.

归纳总结：简单旋转体判断问题的解题策略,（1）准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成

过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.，（2）解题时要注意两个明确：，①明确由哪个

平面图形旋转而成；，②明确旋转轴是哪条直线

【练习1］下列命题：

①任意平面截圆柱，截面都是圆面；

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，

其中正确的是（）

A.①0B.②®C.①③D.②

【答案】D

解析：过圆柱两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错误；圆台的母线不是

上底面和下底面上任意两点的连线，③错误；由圆锥母线的定义知②正确，故选D.

探究二圆柱、圆锥、圆台的计算问题

【例2】已知一个圆台的母线长为12。制两底面的面积分别为4"和25开c/,

求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长.

［分析］在解答有关台体的问题时，一般要把台体还原成锥体，这就是常应用的“还台

为锥”的思想，不仅在作图时应用，而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系，以便

解决问题.

［解］(1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示).

由题意可得上底的一半UA=2cm,下底的一半0B=5cm,腰长AB=12cm,所以圆台

的高AM=^/122-(5-2)2=3^15(cm).

(2)如图，延长BA,00.,CD,交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为1cm,

1—122

则由△SAOIS^SBO,得一：—=-,

15

解得1=20.

故截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

归纳总结：旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问

题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用

的方法

【练习2】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下

底面的面积之比为116,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台0'。的母线长.

解：设圆台的母线长为1cm,由截得圆台上、下底面面积之比为116,可设截得圆台

的上、下底面的半径分别为r、4r.过轴SO作截面,

如图所示.则△5()'A'^ASOA,SA'=3cm.

.SA'_0'A，.3_r_1

,*"sF=OA*•，m=4r=4，

解得1=9.

即圆台的母线长为9cm.

探究三球的截面问题

【例3］已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12不和16八求这两个截面

间的距离.

［分析］画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于截面所在的平面，构造直角三角

形解决.对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解.

［解］设球的大圆为圆0,C,D两点为两截面圆的圆心，AB为经过C,0,D三点的直

径且两截面圆的半径分别是6和8.

当两截面在球心同侧时，如图（D,此时CD=0C-0D=46距菽一轲匚而=8-6=

2.

当两截面在球心两侧时，如图（2）,此时CD=OC+OD=dOE2—EC?+d（）F—DF'=8+6=

14.

故两截面间的距离为2或14.

归纳总结：利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键

【练习3］一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为乐则球的直径为2啦.

解析：设球心到平面的距离为d,截面圆的半径为r,则不r=才，.・.r=i,

设球的半径为R,则口=后彳=/，故球的直径为2班.

探究四简单组合体的结构特征

【例4】（1）如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的.

(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征.

［分析］由多面体和旋转体的结构特征进行判断.

［解］(1)题图①中的几何体可以看作是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体，也

可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示).

割去―一1/V补上两个

四棱柱四棱柱

(2)(4)中的几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切于三

棱柱.

(而中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆

锥.

(6)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成.其中三棱锥内接于球.

归纳总结:会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体,

然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力

【练习4】如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？

解：如图所示，由一个圆锥0G,一个圆柱02」及一个圆台0旧3中挖去圆锥0。2组成的.

探究五与球有关的“切”与“接”问题

【例5】已知正方体的校长为a,分别求出它的内切球及与各棱都相切的球的半径.

［分析］解决此题的关键是找准轴截面，建立半径与棱氏的关系.

［解］(1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对

两面的中心且与棱平行的截面，则球的•个大圆是其正方形截面的内切圆，如图⑴所示，

设球的半径为Ri,易得

(2)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各枝的中点，故应作出经

过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图(2)所示，

设球的半径为易求得球的半径R尸虫a.

归纳总结：组合体问题应分清各部分之间是如何组合起米的，以便转化为平面图形进行

计算.正方体的内切球直径等于正方体的楂长；外接球直径等于其体对角线的长；球与正方

体各棱都相切，则球的直径等于正方体面对角线的长

【练习5】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图形是

()

【答案】C

解析：正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过••条侧棱和高

的截面必过该校所对面的高线，故C正确.

《8.2立体图形的直观图》导学案

【学习目标】

1.掌握斜二测画法的步骤

2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图

【自主学习】

知识点1斜二测画法的步骤

1.画轴：在已知图形中取互相垂直的A•轴和y轴，两轴相交于点0.画直观图时，把它

们画成对应的/轴与/轴，两轴相交于点疗，且使N/°/=45°（或135°）,它

们确定的平面表示水平面.

2.画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于♦轴或.

轴的线段.

3.取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变,平行于p轴

的线段，在直观图中长度为原来的一半.

知识点2空间几何体直观图的画法

1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个二轴.

2.画平面：平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示竖直平面.

3.取长度：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度

都不变.

4.成图处理：成图后，去掉铺助线，将被遮挡的部分改为虚线.

【合作探究】

探究一水平放置的平面图形直观图的画法

【例1】如图所示，梯形ABCD中，AB//CD,AB=4cm,CD=2err.ZDAB=30°,AD=

3cm,试画出它的直观图.

DC

AB

［分析］以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系.只需确定四个顶点

A,B,C,D在直观图中的相应点即可.

［解］画法步骤：

（1）如图甲所示，在梯形彼O?中，以边力8所在的直线为x轴，点力为原点，建立平面

直角坐标系彳勿如图乙所示，画出对应的/轴，y'轴，使Nx'O'y'=45°.

⑵在图甲中，过〃点作废'J_x轴，垂足为£在犬轴上取/B'=AB=4cm,A'F

3、/5I13

=AE=^-^2.598(cm)；过点少作炉Df〃/轴，使fD'=-ED=-X-=Q.75(cm),

再过点〃'作〃C〃/轴，且使〃C=DC=2cm.

(3)连接4D,BY,并擦去V轴与/轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则

四边形HB'CD'就是所求作的直观图.

归纳总结：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，

一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中

仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是

平行线.本题中，关键在于点〃的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足£

的对应点少,再去确定〃的位置

【练习1］画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图.

解：⑴如图①所示，以砥边所在直线为x轴，以比边上的高线力。所在直线为y轴，

再画对应的/轴与/轴，两轴相交于点。‘，使Nx'0/=45°,如图②所示.

A,

B'/O'C

②

(2)在/轴上截取。B'=0'C=0.5cm,在/轴上截取f=2A0=Acm,

连接4、片C1,则B'C即为正三角形力阿的直观图.

(3)擦去/、y'轴得直观图8'C,如图③所示.

探究二画空间几何体的直观图

【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体力收办"B'CI)'

的直观图.

［分析］利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图.

［解］(1)画轴.如图①所示，画*轴、y轴、z轴，三轴相交于点0,使//0=45°,

Nx0z=9O°.

(2)画底面.以点。为中心，在x轴上取线段极：使加V=4cm；在y轴上取线段PQ,

使PQ=5cm,分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作/轴的平行线，设它们的

交点分别为力、B、C、1),四边形仍少就是长方体的底面总比。

(3)画侧棱.过力、B、C、〃各点分别作z轴的平行线，并在这些立行线上分别截取2cm

长的线段加'、劭'、s、如「

(4)成图.顺次连接H、夕、6"、〃'，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改

为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②).

归纳总结：

(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴.此外，坐标系

的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；

(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以

便可以又快又准的画出

【练习2]•个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是•个圆锥，并且圆锥的底面与圆

柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm,高为4cm,圆锥的高为3cm,画出此几何体的

直观图.

图2

解：(1)画轴，如图1所示，画＞轴、y轴、z轴，三轴相交于点0,使/也0=45°,

Nx0z=9O°.

(2)画圆柱