1.4数学归纳法课件高二上学期数学选择性

*1.4数学归纳法第1章数列湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.了解数学归纳法的原理;2.能够用数学归纳法证明一些简单的命题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

基础落实·必备知识一遍过知识点数学归纳法在证明一个与正整数有关的命题时,可采用下面两个步骤:(1)证明

(n0∈N+)时命题成立;

(2)假设

时命题成立,证明当

时命题也成立.

只要完成这两个步骤,就可以知道:对任何从n0开始的正整数n,命题成立.满足命题的最小的正整数的值

这种证明方法叫作

.

n=n0n=k(k∈N+,k≥n0)n=k+1数学归纳法

名师点睛1.数学归纳法是一种直接证明的方法.一般地,与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项公式及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.2.步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键.假设“当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立”起着已知的作用,证明“当n=k+1时命题也成立”的过程中,必须用到假设,再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n=k+1时命题也成立.而不能直接将n=k+1代入假设,此时n=k+1时命题成立也是假设,命题并没有得证.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(

)(2)用数学归纳法证明问题时,假设可以不用.(

)(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1,项数都增加了一项.(

)×××2.第一个值n0是命题成立的第一个正整数,n0的值都是1吗?3.与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法?提示n0只是满足命题的最小的正整数,但不一定是1.提示不能.重难探究·能力素养速提升探究点一用数学归纳法证明等式这表明,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可以断定,对于任何n∈N+,等式都成立.规律方法

用数学归纳法证明等式的方法

[提醒]用数学归纳法证明等式的易错之处:(1)正确分析由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障;(2)在证明“当n=k+1时命题也成立”中一定要利用假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.变式训练1用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,其中n∈N+.证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,那么,当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2.这表明,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可以断定,等式对任何正整数n都成立.探究点二归纳—猜想—证明S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.分析

根据递推关系式,依次求出n=1,2,3,4时的Sn与项数n的关系,归纳、猜想Sn与项数n的关系后利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明:这表明,当n=k+1时,猜想也成立.由(1)和(2)可以断定,对任意正整数n,猜想均成立.规律方法

“归纳—猜想—证明”的一般步骤

变式训练2(1)求出a2,a3并猜想an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.本节要点归纳1.知识清单:数学归纳法的两个步骤:(1)证明n=n0(n0∈N+)时命题成立;(2)假设n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.2.方法归纳:利用两个步骤证明等式,归纳—猜想—证明.3.常见误区:验证n=n0时不能准确找到n0,在证明步骤(2)时没有利用假设.学以致用·随堂检测促达标A级必备知识基础练123456789101112131.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步验证(

)A.n=1 B.n=2

C.n=3

D.n=4C解析

由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.12345678910111213这表明,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可以断定,不等式对任何正整数n都成立.则上述证法(

)A.过程全部正确 B.n=1的验证不正确C.n=k的假设不正确 D.从n=k到n=k+1的递推不正确D123456789101112133.（多选题）一个关于自然数n的命题,如果证得当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N+)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于(

)A.一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立C.一切正偶数命题成立D.以上都不对BC123456789101112134.已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),则(

)A.f(k+1)-f(k)=2k+2B.f(k+1)-f(k)=3k+3C.f(k+1)-f(k)=4k+2D.f(k+1)-f(k)=4k+3B解析

由f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),可知f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-[k+(k+1)+(k+2)+…+2k]=3(k+1).故选B.12345678910111213D.以上结论都不正确

C123456789101112136.用数学归纳法证明下列各式:(1)12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N+);(2)12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).证明(1)①当n=1时,左边=12=1,12345678910111213这表明,当n=k+1时,等式也成立.根据①和②可以断定,对于任何n∈N+,等式都成立.(2)①当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),那么,当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1].这表明,当n=k+1时,等式也成立.由①和②可以断定,等式对任何n∈N+都成立.12345678910111213B级关键能力提升练C123456789101112138.在数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是(

)A.an=3n-2 B.an=n2C.an=3n-1

D.an=4n-3B解析

计算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想an的表达式是an=n2,故选B.12345678910111213D1234567891011121310.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=

.

12345678910111213证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.这表明,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可以断定,不等式对任意n∈N+都成立.1234567891011121312.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明你的猜想.1234567891011121312345678910111213C级学科素养创新练13.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+),其中λ>0.(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.(1)解

由a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n,可得a2=λ2+22,a3=2λ3+23,a4=3λ4+24,猜想an=(n-1)λn+2n.12345678910111213(2)证明①当n=1时,a1=(1-1)λ+2=2,猜想成立.②假设当n=k时,猜想成立,即ak=(k-1)λk