专题22任意角与弧度制8种常见考法归类（75题）（原卷版）

专题22任意角与弧度制8种常见考法归类（75题）考点一任意角的概念考点二终边相同的角找终边相同的角终边在某条直线上的角的集合考点三象限角及区域角的表示（一）确定角所在的象限（二）区域角考点四弧度制的概念考点五角度制与弧度制的互化考点六用弧度制表示有关的角考点七扇形的弧长、面积考点八扇形中的最值问题知识点1：任意角1、任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.(3)角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角2、角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．知识点2：象限角1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.注：“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．2、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或知识点3：轴线角1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.2、轴线角的表示：①终边落在轴非负半轴②终边落在轴非负半轴③终边落在轴非正半轴或④终边落在轴非正半轴或⑤终边落在轴⑥终边落在轴或⑦终边落在坐标轴知识点4：终边相同的角的集合所有与角终边相同的角为知识点5：角度制与弧度制的概念1、弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：，3、常用的角度与弧度对应表角度制弧制度知识点6：扇形中的弧长公式和面积公式弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.解题策略12、理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．2、终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．(2)终边相同的角相差360°的整数倍．3、象限角的判定方法①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．4、表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．5、确定nα及eq\f(α,n)所在的象限分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．6、角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq\f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数．7、用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．(2)注意角度制与弧度制不能混用．8、扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．考点一任意角的概念1.（2023秋·高一课时练习）【多选】下列说法错误的是（）A．钝角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于的角是钝角D．是第二象限角2．（2024·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.3.（2023秋·高一课时练习）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为，分针转过的角的度数为．4．（2024·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则．5．（2024·湖南·高一南县第一中学校联考阶段练习）第24届冬季奥运会于2023年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，共获得9枚金牌，列金牌榜第三名，创造了冬奥会上新的辉煌.在冬奥会的比赛中有一位滑地运动员做了一个空中翻腾五周的高难度动作，那么“空中翻腾五周”等于度（不考虑符号）.6．（2024·高一校考课时练习）已知集合A={|为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D7．（2024·高一课时练习）求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义．(1)；(2)；(3)．8．（2024·全国·高一课堂例题）下列所示图形中，的是；的是．

考点二终边相同的角（一）找终边相同的角9.【多选】（2023·全国·高一课堂例题）与角终边相同的角的集合是（

）A． B．C． D．10．（2024·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．11．（2024·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）下列各角中，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．12.（2023春·广西北海·高一统考期末）下列各角中，与角终边相同的是（

）A． B． C． D．13．（2024·广东东莞·高一校考期中）请写出与终边相同的最小正角：.14.（2023春·高一课时练习）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α=．15．（2024·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)；(2)；(3)．16．（2024·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：(1)；(2)；(3)；(4)．17.（2023春·山东威海·高一统考期末）下列角的终边与角的终边关于轴对称的是（

）A． B． C． D．（二）终边在某条直线上的角的集合18.（2023·全国·高三专题练习）若角的终边在函数的图象上，试写出角的集合为．19.（2023春·高一课时练习）在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在轴的非负半轴上；(2)终边在上．20.（2023·全国·高一假期作业）写出终边在如图所示的直线上的角的集合．

考点三象限角及区域角的表示（一）确定角所在的象限21．（2024·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限22.（2024·全国·高一专题练习）角是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限23．（2024·全国·高一专题练习）若，，则所在象限是（

）A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限24．【多选】（2024·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（

）A．① B．② C．③ D．④25．（2024·全国·随堂练习）如果角α为锐角，那么，所在的象限是．26.（2024·全国·高一专题练习）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限27．（2024·天津河东·高三校考阶段练习）若是第二象限角，则是象限28.（2023春·江西抚州·高一资溪县第一中学校考期中）已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角29.（2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角30.【多选】（2023春·江西宜春·高一校考阶段练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限31．（2024·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．（二）区域角32．（2024·四川眉山·高一校考期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．

（2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角．33．（2024·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为．

34．（2024·高一课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是．35.（2023秋·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．(1)

(2)

36.（2023秋·高一课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是．考点四弧度制的概念37.（2023春·高一课时练习）下列说法正确的是（）A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角38.（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是（

）A． B． C． D．39.（2023·全国·高一专题练习）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为.40.【多选】（2023春·高一课时练习）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（

）A．小赵同学说：“经过了5h，时针转了．”B．小钱同学说：“经过了40min，分针转了．”C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为．”D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．”41.（2023秋·高一课时练习）若，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点五角度制与弧度制的互化42.（2023·全国·高一课堂例题）把下列各角从度化为弧度：(1)；(2)．43．（2024·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)44.（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）化为角度是（

）A． B． C． D．45．（2024·江苏·高一专题练习）将下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)346．（2024·全国·高一随堂练习）把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．47．（2024·江西赣州·高一校联考期中）已知.(1)将写成的形式，并指出它是第几象限角；(2)求与终边相同的角，满足．考点六用弧度制表示有关的角48.（2023·全国·高一专题练习）下列与终边相同角的集合中正确的是（

）A． B．C． D．49．（2024·全国·高三专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．50．（2024·高一课时练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（

）A． B．C． D．51.（2023·全国·高一专题练习）将－1485°化成的形式是（

）A． B． C． D．52.（2023·全国·高一专题练习）写出一个与角终边相同的正角：（用弧度数表示）.53.（2023春·江西赣州·高一校联考期中）已知.(1)将写成的形式，并指出它是第几象限角；(2)求与终边相同的角，满足．54．（2024·全国·高三专题练习）终边在直线上的角的集合为．55．（2024·高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：(1)

(2)

56.（2023·全国·高一课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）

57.（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

考点七扇形的弧长、面积58.（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为.59．（2024·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为.60．（2024·山东淄博·高一校联考期中）已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（

）A． B． C． D．61.（2023春·江西吉安·高一校联考期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为.62．（2024·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．63．（2024·全国·高一专题练习）已知扇形的圆心角为，其弧长为，则这个扇形的面积为．64.（2023·全国·高一课堂例题）若扇形的面积是，它的周长是，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（

）A． B． C． D．65．（2024·全国·高一专题练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形的半径为，弧长为.66．（2024·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知某时钟的分针长，时间经过5分钟，则时针转过的角为弧度，分针扫过的扇形的面积为67．（2024·上海·高三上海市进才中学校考期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为．

68.（2023春·上海松江·高一统考期中）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺